關注課堂活動 發展核心素養
——以“事件的關系和運算”為例

200433 復旦大學附屬中學 張建國

一、內容分析

“事件的關系和運算”是滬教版新教材必修第三冊第12章“概率初步”中第2節“古典概率”的第3課時.本節課通過類比集合的關系和運算，指出事件之間也是有關系的，事件是可以運算的，這為后續研究古典概率模型的概率可加性做了鋪墊，因此本節課起到了承上啟下的作用.通過學習事件的關系和運算，引導學生學會運用簡單事件表示較復雜事件，為后續求較復雜事件的概率以及繼續推導概率的一些重要性質打下基礎，同時也為大學概率論中將概率定義為樣本空間上的函數埋下伏筆.

二、學情分析

在本節課之前，學生已經學習了隨機現象、樣本空間與事件、等可能性與概率等概念，掌握了樣本空間、事件(隨機事件)以及古典概率模型中的概率公式等，初步體會了集合作為工具描述這些概念的科學性和嚴謹性.本節課將類比集合的關系和運算，抽象出事件的關系和運算的一般性描述，思維的跳躍性較大，抽象程度較高，因此需要設計適當的學習活動，借助具體事例，讓學生通過思考、小組討論進行探究，并進一步抽象出一般的事件關系和運算.

三、教學目標

(1)通過觀察事件運算的具體例子發現并提出問題，用集合的語言予以表達，能夠利用歸納和類比的方法解決問題，發展邏輯推理素養.

(2)從具體實例中理解事件的關系和運算的含義，能夠抽象出事件的包含關系的含義，以及多個事件至少有一個發生、同時發生、互斥和對立的含義，發展數學抽象等素養.

(3)能夠利用事件的關系和運算解決一些實際問題，培養數學應用的意識.

四、教學過程(課堂實錄)

(一)創設情境，引入問題

師：我們已經學習了隨機現象、樣本空間與事件、等可能性與概率，根據前面學習過的知識和方法，請同學們看下面的引例.

引例擲兩顆骰子，分別觀察得到的點數(數字1至6).請同學們提出一些事件，探究這些事件之間的關系.

學生活動開展小組討論，各小組提出事件.

師：同學們都提出了哪些事件？請各小組派代表交流一下.

生：事件A，一個點數是5，另一個點數是6.

生：事件B，一個點數是奇數，另一個點數是偶數.

生：事件C，兩個點數都是偶數.

生：事件D，兩個點數之和是3的倍數.

師：很好.我也提出事件E，兩個點數中至少有一個是偶數.

問題1根據上面所提出的事件，你能利用集合的關系和運算探究它們的關系嗎？

學生活動開展小組討論，利用集合的關系和運算，探究這些事件之間的關系和運算.

師：請同學們根據上面提出的事件，類比集合的關系和運算，你能探究這些事件之間有哪些關系嗎？

生：把事件B、事件C和事件E對應的集合分別記作集合B，C，E，那么上述事件的關系表示為E=B∪C.

師：很好，請同學們進一步探究表示式E=B∪C的含義，能得到什么結論？

生：事件B發生或事件C發生，事件E就發生.

師：很好，這說明相對于事件B和事件C，事件E是較復雜的事件，我們可以把較復雜的事件分解為簡單事件的運算，或者反過來說，可以用較簡單的事件表示較復雜的事件.這為我們后續研究較復雜的事件帶來了方便.

師：受此啟發，今天我們就全面類比集合的關系和運算，研究事件的關系和運算.因此，今天我們學習的主題就是“事件的關系和運算”.

設計意圖：創設“擲兩顆骰子”的情境，讓學生發揮想象力，提出事件，引導學生把較復雜事件轉化為簡單事件，即用簡單事件表示較復雜事件，從而引出用集合的運算來表示事件的運算.

(二)生成概念，解決問題

問題2類比集合的關系和運算，你認為事件都有哪些關系和運算？

學生活動在解決問題1的基礎上進行類比和聯想，概括出事件的關系和運算的含義，并用集合的語言表示.

師：同學們首先類比了集合的哪個運算？如何描述對應的事件的運算？

生：根據前面的討論，我們小組首先類比了集合的并集運算，得到對應的事件的運算是兩個事件A與B中的基本事件至少有一個發生，得到的事件對應的集合是A∪B.

師：還有其他描述嗎？

生：兩個事件A與B中的基本事件至少有一個發生，事件A與B就至少有一個發生，對應的集合是A∪B.

師：很好！我們將其嚴格地寫出來.記樣本空間為Ω，事件A對應于集合A，事件B對應于集合B.“兩個事件A與B中至少有一個發生”本身也是一個事件，是指在兩個事件所包含的基本事件中至少有一個發生，對應的子集是A∪B(如圖1所示).

圖1

進一步，如果三個事件A，B，C至少有一個發生，其對應的子集是A∪B∪C.

師：請同學們繼續類比集合的關系和運算，你還能得到事件的哪些關系和運算？

生：我們小組類比了集合的交集運算，得到對應的事件運算是，兩個事件A與B某個共同的基本事件發生，則事件A與B同時發生，對應的集合是A∩B.

師：很明顯，和第一次相比，同學們這次描述事件的運算要準確多了.我們將其嚴格地寫出來.“兩個事件A與B同時發生”本身也是一個事件，是指兩個事件的某個共同的基本事件發生，對應的子集是A∩B(如圖2所示).

圖2

進一步，如果三個事件A，B，C同時發生，對應的子集是A∩B∩C.

師：集合還有哪些運算？請同學們繼續類比.

圖3

問題3能用前面兩個事件的運算描述事件的第三個運算的性質嗎？

學生活動開展小組討論，再次理解“兩個事件至少有一個發生”和“兩個事件同時發生”的含義，并討論如何把事件的這兩個運算運用到描述事件的第三個運算中.

師：前面我們學習了事件的兩個運算“兩個事件A與B至少有一個發生”與“兩個事件A與B同時發生”，同學們能用事件的這兩個運算描述事件的第三個運算的性質嗎？

師：很好，這就是事件和其對立事件的關系.

問題4如果事件A和事件B對應的集合滿足A∩B=?，那么事件A和事件B是對立事件嗎？

學生活動進一步思考對立事件的含義，從而引出新的事件運算.

師：如果事件A和事件B對應的集合滿足A∩B=?，事件A和事件B是對立事件嗎？請同學們思考并回答.

生：不是.因為事件A和事件B還有可能都不發生，這不滿足對立事件的定義.

師：是的，我們把這種事件稱為互斥事件，具體描述如下.如果事件A和事件B沒有共同的基本事件，即對應的兩個子集的交集是空集，也即A∩B=?，則稱事件A和事件B不可能同時發生，或者說互斥(如圖4所示).

圖4

進一步，如果是三個事件A，B，C滿足A∩B=?,A∩C=?,B∩C=?，則稱事件A，B，C兩兩互斥.

問題5A∪B和A∩B的對立事件如何表示？

學生活動類比集合的運算，推導較復雜事件的對立事件公式.

問題6類比集合的關系，事件之間有關系嗎？如何描述？

學生活動類比集合的關系，給出事件關系的一般性描述.

師：上面我們類比集合的三種運算，給出事件對應的運算的含義.我們知道某些集合之間是有關系的，同學們能類比集合的關系描述事件的關系嗎？

生：事件A中的基本事件都在事件B中，則事件A和事件B對應的集合滿足A?B.

師：進一步，如果事件A中的基本事件都在事件B中，那么事件A發生，事件B是否發生？

生：事件A發生時，事件B必然發生.

師：因此，類比集合的關系，我們得到事件的關系如下.某些事件之間是有關系的，如果A的基本事件都在B中，那么A發生必然B發生(或者說B不發生則A也不發生).此時，稱B包含A或者A包含于B，記作A?B(如圖5所示).

圖5

設計意圖：從具體實例出發，讓學生經歷從特殊到一般、從具體到抽象的研究問題的過程，同時運用類比的方法把集合的關系和運算運用到事件的關系和運算上，引導學生對具體實例進行概括、歸納，從而用數學語言表示事件的關系和運算的一般含義，發展數學抽象和邏輯推理素養.

(三)應用概念，加深理解

例1擲兩顆骰子，觀察擲得的點數.設A：至少一個點數是偶數，B：點數之和是偶數.求：(1)A∪B；(2)A∩B.

方法1：分別寫出A和B中所包含的基本事件，然后根據集合的運算求得結果.

方法2：利用事件的運算，把事件A和事件B轉化為簡單事件的運算后求得結果.

方法1 解答：樣本空間Ω={(i,j)|i=1,2,…,6；j=1,2,…,6}，其中i,j分別是擲第一顆與第二顆骰子所得的點數.

A={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}，

B={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}，

則(1)A∪B=Ω；

(2)A∩B={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}.

方法2 解答：記A0：兩個數都是偶數;A1：一個數是奇數，一個數是偶數;A2：兩個數都是奇數.

因為A=A0∪A1，B=A0∪A2，且事件A0，A1，A2兩兩互斥，所以(1)A∪B=(A0∪A1)∪(A0∪A2)=Ω；(2)A∩B=A0={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i,j都是偶數}.

設計意圖：本題是對“事件的關系和運算”概念的理解和應用.方法1是分別寫出事件A和B所包含的基本事件，然后根據集合的運算寫出相應的結果，這是最根本的方法，是通法，應向學生強調.方法2是把較復雜的事件轉化為簡單的事件的運算，即用簡單事件表示較復雜事件，體現了轉化的思想.通過兩種方法的對比，學生體會用簡單事件的運算表示較復雜事件的便捷性，體現本節課學習的必要性.

(四)課后總結，凝煉升華

知識內容：本節課學習的知識內容是事件的關系和運算.

思想方法：本節課采用的學習方法是通過歸納特例，類比集合的關系和運算，采用從特殊到一般的方法給出事件的關系和運算的一般含義.

(五)課后作業，鞏固提高

1.擲一顆骰子，設事件A：落地時得到的點數是奇數，事件B：落地時得到的點數是偶數，事件C：落地時得到的點數是3的倍數，事件D：落地時得到的點數是4.則下列每對事件中，不是互斥事件的為( )

A.A與BB.B與C

C.A與DD.C與D

2.把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分別寫在10張相同的卡片上，并隨機抽取1張，設A：出現偶數，B：出現3的倍數.則事件A，B至少有一個發生對應的子集是______；A，B同時發生對應的子集是______.

3.在分別寫有數字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的11張相同的卡片中隨機抽取1張，設A：出現奇數，B：出現偶數，C：數字大于4.寫出下列事件對應的子集：(1)A，C同時發生；(2)B，C至少有一個發生；(3)A，B同時發生.

4.除了集合的交、并、補的運算外，集合的運算還有哪些？請查閱相關資料，并思考如何從事件的角度來理解集合的這些運算.

5.根據本節課學習的內容，請查閱關于概率定義的發展過程中與公理化形成有關的資料，從中體驗和感悟概率論公理化體系的思想.

五、教學反思

(一)創設情境，設計小組活動，通過活動解決問題(串),發展核心素養

本節課在開始時設置“擲兩顆骰子”的游戲，這是學生比較熟悉的游戲，教師引導學生開展小組活動，提出一些事件，然后探究這些事件之間的關系，并引導學生用數學語言表述數學問題，目的是培養學生提出和發現問題的能力，這是發展學生“四能”的基礎.

(二)以問題(串)的解決引導學習

本節課的教學過程充滿了恰時恰點的問題，引導學生獨立思考、自主探究，必要時小組合作交流，學生認知能力的每一次提升都是通過問題的解決達到的，學生思維的深刻性進一步得到提升，邏輯推理等核心素養也會得到發展.

(三)開展過程教學，抓住三個“什么”，激發學生的學習興趣和學習激情

本節課通過不斷設置問題串和一個個問題的解決，展現了“事件的關系和運算”這一概念的生成過程，做到了以理服人，把 “事件的關系和運算”“是什么”“為什么”以及“還有什么”以說理的形式展現給學生，使學生不僅知其然，而且知其所以然，培養了學生的理性思維和科學精神，從而發展了核心素養.