關(guān)注課堂活動 發(fā)展核心素養(yǎng)
——以“事件的關(guān)系和運(yùn)算”為例

200433 復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué) 張建國

一、內(nèi)容分析

“事件的關(guān)系和運(yùn)算”是滬教版新教材必修第三冊第12章“概率初步”中第2節(jié)“古典概率”的第3課時.本節(jié)課通過類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，指出事件之間也是有關(guān)系的，事件是可以運(yùn)算的，這為后續(xù)研究古典概率模型的概率可加性做了鋪墊，因此本節(jié)課起到了承上啟下的作用.通過學(xué)習(xí)事件的關(guān)系和運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用簡單事件表示較復(fù)雜事件，為后續(xù)求較復(fù)雜事件的概率以及繼續(xù)推導(dǎo)概率的一些重要性質(zhì)打下基礎(chǔ)，同時也為大學(xué)概率論中將概率定義為樣本空間上的函數(shù)埋下伏筆.

二、學(xué)情分析

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)現(xiàn)象、樣本空間與事件、等可能性與概率等概念，掌握了樣本空間、事件(隨機(jī)事件)以及古典概率模型中的概率公式等，初步體會了集合作為工具描述這些概念的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性.本節(jié)課將類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，抽象出事件的關(guān)系和運(yùn)算的一般性描述，思維的跳躍性較大，抽象程度較高，因此需要設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，借助具體事例，讓學(xué)生通過思考、小組討論進(jìn)行探究，并進(jìn)一步抽象出一般的事件關(guān)系和運(yùn)算.

三、教學(xué)目標(biāo)

(1)通過觀察事件運(yùn)算的具體例子發(fā)現(xiàn)并提出問題，用集合的語言予以表達(dá)，能夠利用歸納和類比的方法解決問題，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

(2)從具體實(shí)例中理解事件的關(guān)系和運(yùn)算的含義，能夠抽象出事件的包含關(guān)系的含義，以及多個事件至少有一個發(fā)生、同時發(fā)生、互斥和對立的含義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

(3)能夠利用事件的關(guān)系和運(yùn)算解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識.

四、教學(xué)過程(課堂實(shí)錄)

(一)創(chuàng)設(shè)情境，引入問題

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)現(xiàn)象、樣本空間與事件、等可能性與概率，根據(jù)前面學(xué)習(xí)過的知識和方法，請同學(xué)們看下面的引例.

引例擲兩顆骰子，分別觀察得到的點(diǎn)數(shù)(數(shù)字1至6).請同學(xué)們提出一些事件，探究這些事件之間的關(guān)系.

學(xué)生活動開展小組討論，各小組提出事件.

總之，教師的主體意識為教師的專業(yè)發(fā)展提供強(qiáng)大的支撐力量，而教師職業(yè)規(guī)劃是管理部門和教師間有力的溝通平臺，有利于教師目標(biāo)的確定，從而更能激發(fā)教師的工作熱忱和主觀能動性，提高他們的教育教學(xué)能力。

師：同學(xué)們都提出了哪些事件？請各小組派代表交流一下.

中職衛(wèi)生檢驗(yàn)專業(yè)的無機(jī)化學(xué)教授的內(nèi)容是比較枯燥，學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較困惑，但只要教師認(rèn)真改善教學(xué)方法，專研教學(xué)技巧，拓寬教學(xué)思路，那么無機(jī)化學(xué)的教學(xué)質(zhì)量肯定會有提高，促進(jìn)中職衛(wèi)生檢驗(yàn)專業(yè)學(xué)生無機(jī)化學(xué)的學(xué)習(xí)效果。

生：事件A，一個點(diǎn)數(shù)是5，另一個點(diǎn)數(shù)是6.

生：事件B，一個點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，另一個點(diǎn)數(shù)是偶數(shù).

生：事件C，兩個點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù).

生：事件D，兩個點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù).

師：很好.我也提出事件E，兩個點(diǎn)數(shù)中至少有一個是偶數(shù).

問題1根據(jù)上面所提出的事件，你能利用集合的關(guān)系和運(yùn)算探究它們的關(guān)系嗎？

學(xué)生活動開展小組討論，利用集合的關(guān)系和運(yùn)算，探究這些事件之間的關(guān)系和運(yùn)算.

還有學(xué)者對語言遷移中文化負(fù)遷移現(xiàn)象的分析中，論證了文化負(fù)遷移現(xiàn)象對外語交際的影響，以及通過對文化負(fù)遷移的認(rèn)識避免文化差異對語言交際的干擾。影響母語遷移不僅有文化因素，還有社會因素。

師：請同學(xué)們根據(jù)上面提出的事件，類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能探究這些事件之間有哪些關(guān)系嗎？

生：把事件B、事件C和事件E對應(yīng)的集合分別記作集合B，C，E，那么上述事件的關(guān)系表示為E=B∪C.

師：很好，請同學(xué)們進(jìn)一步探究表示式E=B∪C的含義，能得到什么結(jié)論？

(2)A∩B={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}.

生：事件B發(fā)生或事件C發(fā)生，事件E就發(fā)生.

師：很好，這說明相對于事件B和事件C，事件E是較復(fù)雜的事件，我們可以把較復(fù)雜的事件分解為簡單事件的運(yùn)算，或者反過來說，可以用較簡單的事件表示較復(fù)雜的事件.這為我們后續(xù)研究較復(fù)雜的事件帶來了方便.

師：受此啟發(fā)，今天我們就全面類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，研究事件的關(guān)系和運(yùn)算.因此，今天我們學(xué)習(xí)的主題就是“事件的關(guān)系和運(yùn)算”.

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)“擲兩顆骰子”的情境，讓學(xué)生發(fā)揮想象力，提出事件，引導(dǎo)學(xué)生把較復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為簡單事件，即用簡單事件表示較復(fù)雜事件，從而引出用集合的運(yùn)算來表示事件的運(yùn)算.

(二)生成概念，解決問題

問題2類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，你認(rèn)為事件都有哪些關(guān)系和運(yùn)算？

需要特別說明的是，與Freebase[13] 等完全結(jié)構(gòu)化的知識庫不同，本文使用的知識包含的未“規(guī)整化(normalized)”事實(shí)。一方面，知識庫可能使用不同的符號表示具有相同概念的實(shí)體和屬性，例如，謂詞“出生地”、“出生的地方”和“生于”都表示相同的語義關(guān)系“出生地點(diǎn)”。另一方面，事實(shí)三元組的賓語部分(及尾部實(shí)體)常常是未鏈接到實(shí)體上的字符串，未鏈接有兩種情況，一種是可以鏈接但是沒有鏈接(如“出生地”為“中國北京”可以鏈接到實(shí)體“中國北京市”)，而另一種是無法鏈接(如“三度榮登時代周刊年度風(fēng)云人物”)。

學(xué)生活動在解決問題1的基礎(chǔ)上進(jìn)行類比和聯(lián)想，概括出事件的關(guān)系和運(yùn)算的含義，并用集合的語言表示.

設(shè)計(jì)意圖：本題是對“事件的關(guān)系和運(yùn)算”概念的理解和應(yīng)用.方法1是分別寫出事件A和B所包含的基本事件，然后根據(jù)集合的運(yùn)算寫出相應(yīng)的結(jié)果，這是最根本的方法，是通法，應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào).方法2是把較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為簡單的事件的運(yùn)算，即用簡單事件表示較復(fù)雜事件，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.通過兩種方法的對比，學(xué)生體會用簡單事件的運(yùn)算表示較復(fù)雜事件的便捷性，體現(xiàn)本節(jié)課學(xué)習(xí)的必要性.

生：根據(jù)前面的討論，我們小組首先類比了集合的并集運(yùn)算，得到對應(yīng)的事件的運(yùn)算是兩個事件A與B中的基本事件至少有一個發(fā)生，得到的事件對應(yīng)的集合是A∪B.

師：還有其他描述嗎？

用連乘法解決問題是人教版義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)課程三年級下冊8單元內(nèi)容，教材采用學(xué)生排隊(duì)做操的圖案作為引導(dǎo)新知識的開始。

生：兩個事件A與B中的基本事件至少有一個發(fā)生，事件A與B就至少有一個發(fā)生，對應(yīng)的集合是A∪B.

提升工程的重點(diǎn)是教師能夠?qū)⑿畔⒓夹g(shù)應(yīng)用到教育教學(xué)實(shí)踐和自身專業(yè)發(fā)展中，如果沒有將教師實(shí)際能力和教學(xué)情境的關(guān)系聯(lián)系起來，僅通過創(chuàng)建試題庫使用孤立的問題來測評教師的信息技術(shù)應(yīng)用能力，而不是在真實(shí)情境中考察教師教學(xué)能力的變化，評價者很難得到客觀準(zhǔn)確的評價，也就無法為教師的專業(yè)發(fā)展提供科學(xué)有效地支持。

KOH甲醇溶液質(zhì)量濃度和提取溫度對稻谷中葉黃素提取量影響的響應(yīng)面（a）和等高線（b）見圖6。如圖6所示，固定水平為四氫呋喃用量15mL，當(dāng)提取溫度不變，KOH甲醇溶液質(zhì)量濃度在0.05～0.1g/mL時，稻谷中葉黃素的提取量隨KOH甲醇溶液質(zhì)量濃度的增加而快速提高；當(dāng)KOH甲醇溶液質(zhì)量濃度大于0.1g/mL時，葉黃素的提取量快速下降；在KOH甲醇溶液質(zhì)量濃度恒定時，隨著溫度的升高，稻谷中葉黃素的提取量不斷增加；當(dāng)溫度高于50℃時，葉黃素提取量呈現(xiàn)下降的趨勢。

進(jìn)一步，如果三個事件A，B，C至少有一個發(fā)生，其對應(yīng)的子集是A∪B∪C.

方法2：利用事件的運(yùn)算，把事件A和事件B轉(zhuǎn)化為簡單事件的運(yùn)算后求得結(jié)果.

生：我們小組類比了集合的交集運(yùn)算，得到對應(yīng)的事件運(yùn)算是，兩個事件A與B某個共同的基本事件發(fā)生，則事件A與B同時發(fā)生，對應(yīng)的集合是A∩B.

師：很明顯，和第一次相比，同學(xué)們這次描述事件的運(yùn)算要準(zhǔn)確多了.我們將其嚴(yán)格地寫出來.“兩個事件A與B同時發(fā)生”本身也是一個事件，是指兩個事件的某個共同的基本事件發(fā)生，對應(yīng)的子集是A∩B(如圖2所示).

進(jìn)一步，如果三個事件A，B，C同時發(fā)生，對應(yīng)的子集是A∩B∩C.

師：集合還有哪些運(yùn)算？請同學(xué)們繼續(xù)類比.

問題3能用前面兩個事件的運(yùn)算描述事件的第三個運(yùn)算的性質(zhì)嗎？

學(xué)生活動開展小組討論，再次理解“兩個事件至少有一個發(fā)生”和“兩個事件同時發(fā)生”的含義，并討論如何把事件的這兩個運(yùn)算運(yùn)用到描述事件的第三個運(yùn)算中.

師：前面我們學(xué)習(xí)了事件的兩個運(yùn)算“兩個事件A與B至少有一個發(fā)生”與“兩個事件A與B同時發(fā)生”，同學(xué)們能用事件的這兩個運(yùn)算描述事件的第三個運(yùn)算的性質(zhì)嗎？

例1擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù).設(shè)A：至少一個點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，B：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù).求：(1)A∪B；(2)A∩B.

師：很好，這就是事件和其對立事件的關(guān)系.

2013年，寶碩管業(yè)完成了安哥拉市政供水項(xiàng)目、內(nèi)蒙古呼和浩特市大青山南坡生態(tài)保護(hù)綠化工程、遼寧省開原市節(jié)水增糧行動工程、山東省濱州市無棣縣王山水庫增容工程等項(xiàng)目。

問題4如果事件A和事件B對應(yīng)的集合滿足A∩B=?，那么事件A和事件B是對立事件嗎？

學(xué)生活動進(jìn)一步思考對立事件的含義，從而引出新的事件運(yùn)算.

如圖4C所示，在處理過程中，增溫處理下美國薄荷葉片超氧自由基產(chǎn)生速率較對照呈先下降后上升的趨勢。處理7 d時，增溫處理下美國薄荷葉片的超氧自由基產(chǎn)生速率較對照下降了2.1%。而在處理 14 d時則較對照顯著上升了 15.5%（P=0.038<0.05）。且第14天測定的薄荷葉片的O2-·產(chǎn)生速率均顯著高于第7天，這說明后期的增溫處理引起的活性氧毒害作用加強(qiáng)。

師：如果事件A和事件B對應(yīng)的集合滿足A∩B=?，事件A和事件B是對立事件嗎？請同學(xué)們思考并回答.

生：不是.因?yàn)槭录嗀和事件B還有可能都不發(fā)生，這不滿足對立事件的定義.

師：是的，我們把這種事件稱為互斥事件，具體描述如下.如果事件A和事件B沒有共同的基本事件，即對應(yīng)的兩個子集的交集是空集，也即A∩B=?，則稱事件A和事件B不可能同時發(fā)生，或者說互斥(如圖4所示).

進(jìn)一步，如果是三個事件A，B，C滿足A∩B=?,A∩C=?,B∩C=?，則稱事件A，B，C兩兩互斥.

問題5A∪B和A∩B的對立事件如何表示？

師：很好！我們將其嚴(yán)格地寫出來.記樣本空間為Ω，事件A對應(yīng)于集合A，事件B對應(yīng)于集合B.“兩個事件A與B中至少有一個發(fā)生”本身也是一個事件，是指在兩個事件所包含的基本事件中至少有一個發(fā)生，對應(yīng)的子集是A∪B(如圖1所示).

學(xué)生活動類比集合的運(yùn)算，推導(dǎo)較復(fù)雜事件的對立事件公式.

問題6類比集合的關(guān)系，事件之間有關(guān)系嗎？如何描述？

學(xué)生活動類比集合的關(guān)系，給出事件關(guān)系的一般性描述.

本文對生態(tài)視角下，我國村鎮(zhèn)規(guī)劃與發(fā)展的現(xiàn)狀及其存在的問題進(jìn)行了簡要的分析，并提出了幾點(diǎn)建議。增強(qiáng)我國村鎮(zhèn)的生態(tài)性、傳統(tǒng)性、特色性是我國存儲規(guī)劃發(fā)展的主要方向，既要注重經(jīng)濟(jì)發(fā)展也要實(shí)現(xiàn)環(huán)境保護(hù)，建設(shè)具有現(xiàn)代化特色的社會主義村鎮(zhèn)，形成獨(dú)有的發(fā)展特色。

師：上面我們類比集合的三種運(yùn)算，給出事件對應(yīng)的運(yùn)算的含義.我們知道某些集合之間是有關(guān)系的，同學(xué)們能類比集合的關(guān)系描述事件的關(guān)系嗎？

生：事件A中的基本事件都在事件B中，則事件A和事件B對應(yīng)的集合滿足A?B.

師：進(jìn)一步，如果事件A中的基本事件都在事件B中，那么事件A發(fā)生，事件B是否發(fā)生？

生：事件A發(fā)生時，事件B必然發(fā)生.

師：因此，類比集合的關(guān)系，我們得到事件的關(guān)系如下.某些事件之間是有關(guān)系的，如果A的基本事件都在B中，那么A發(fā)生必然B發(fā)生(或者說B不發(fā)生則A也不發(fā)生).此時，稱B包含A或者A包含于B，記作A?B(如圖5所示).

設(shè)計(jì)意圖：從具體實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的研究問題的過程，同時運(yùn)用類比的方法把集合的關(guān)系和運(yùn)算運(yùn)用到事件的關(guān)系和運(yùn)算上，引導(dǎo)學(xué)生對具體實(shí)例進(jìn)行概括、歸納，從而用數(shù)學(xué)語言表示事件的關(guān)系和運(yùn)算的一般含義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

(三)應(yīng)用概念，加深理解

方法1：分別寫出A和B中所包含的基本事件，然后根據(jù)集合的運(yùn)算求得結(jié)果.

師：請同學(xué)們繼續(xù)類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，你還能得到事件的哪些關(guān)系和運(yùn)算？

方法1 解答：樣本空間Ω={(i,j)|i=1,2,…,6；j=1,2,…,6}，其中i,j分別是擲第一顆與第二顆骰子所得的點(diǎn)數(shù).

其次，龍?zhí)撞豢苫蛉保執(zhí)椎闹匾砸膊谎远鳌]有士兵的司令是“光桿”，戰(zhàn)勝不了任何敵人。沒有龍?zhí)椎闹鹘切螁斡爸唬堇[不了任何波瀾壯闊的劇情。越是宏大的場面，越是需要眾多的龍?zhí)祝磁浣牵辉绞莻ゴ蟮氖聵I(yè)，也越是需要各個方面的參與者。眾人拾柴火焰高，即此之謂也。

A={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}，

B={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}，

則(1)A∪B=Ω；

從圖6和圖7可以看出，粒子速度峰值和比例粒子位移峰值均隨波傳播距離的增加而減小；單段線性擬合結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏差較大，而雙段線性擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好。從雙段線性擬合結(jié)果可以看出：粒子速度峰值和比例粒子位移峰值在不同區(qū)域內(nèi)的衰減規(guī)律是不同的，離爆心較近的區(qū)域衰減較慢，離爆心較遠(yuǎn)的區(qū)域粒子衰減較快。可見，花崗巖中球形波的衰減不僅包含了傳播距離的幾何衰減，還包含其非線性動力學(xué)特性引入的黏性衰減。

方法2 解答：記A0：兩個數(shù)都是偶數(shù);A1：一個數(shù)是奇數(shù)，一個數(shù)是偶數(shù);A2：兩個數(shù)都是奇數(shù).

因?yàn)锳=A0∪A1，B=A0∪A2，且事件A0，A1，A2兩兩互斥，所以(1)A∪B=(A0∪A1)∪(A0∪A2)=Ω；(2)A∩B=A0={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i,j都是偶數(shù)}.

師：同學(xué)們首先類比了集合的哪個運(yùn)算？如何描述對應(yīng)的事件的運(yùn)算？

首先，在2 000 mL四口瓶中，投入對硝基苯甲腈59.2 g（0.4 mol），制備甲醇鈉與對硝基苯甲腈的反應(yīng)液；然后將其平均分為4份，再與乙酸銨反應(yīng)8 h，研究乙酸銨與對硝基苯甲腈物質(zhì)的量比對收率的影響。結(jié)果如表2所示。

(四)課后總結(jié)，凝煉升華

知識內(nèi)容：本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容是事件的關(guān)系和運(yùn)算.

思想方法：本節(jié)課采用的學(xué)習(xí)方法是通過歸納特例，類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，采用從特殊到一般的方法給出事件的關(guān)系和運(yùn)算的一般含義.

(五)課后作業(yè)，鞏固提高

1.擲一顆骰子，設(shè)事件A：落地時得到的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件B：落地時得到的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件C：落地時得到的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，事件D：落地時得到的點(diǎn)數(shù)是4.則下列每對事件中，不是互斥事件的為( )

A.A與BB.B與C

C.A與DD.C與D

2.把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分別寫在10張相同的卡片上，并隨機(jī)抽取1張，設(shè)A：出現(xiàn)偶數(shù)，B：出現(xiàn)3的倍數(shù).則事件A，B至少有一個發(fā)生對應(yīng)的子集是______；A，B同時發(fā)生對應(yīng)的子集是______.

3.在分別寫有數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的11張相同的卡片中隨機(jī)抽取1張，設(shè)A：出現(xiàn)奇數(shù)，B：出現(xiàn)偶數(shù)，C：數(shù)字大于4.寫出下列事件對應(yīng)的子集：(1)A，C同時發(fā)生；(2)B，C至少有一個發(fā)生；(3)A，B同時發(fā)生.

4.除了集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算外，集合的運(yùn)算還有哪些？請查閱相關(guān)資料，并思考如何從事件的角度來理解集合的這些運(yùn)算.

5.根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，請查閱關(guān)于概率定義的發(fā)展過程中與公理化形成有關(guān)的資料，從中體驗(yàn)和感悟概率論公理化體系的思想.

五、教學(xué)反思

(一)創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計(jì)小組活動，通過活動解決問題(串),發(fā)展核心素養(yǎng)

本節(jié)課在開始時設(shè)置“擲兩顆骰子”的游戲，這是學(xué)生比較熟悉的游戲，教師引導(dǎo)學(xué)生開展小組活動，提出一些事件，然后探究這些事件之間的關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)問題，目的是培養(yǎng)學(xué)生提出和發(fā)現(xiàn)問題的能力，這是發(fā)展學(xué)生“四能”的基礎(chǔ).

(二)以問題(串)的解決引導(dǎo)學(xué)習(xí)

本節(jié)課的教學(xué)過程充滿了恰時恰點(diǎn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究，必要時小組合作交流，學(xué)生認(rèn)知能力的每一次提升都是通過問題的解決達(dá)到的，學(xué)生思維的深刻性進(jìn)一步得到提升，邏輯推理等核心素養(yǎng)也會得到發(fā)展.

(三)開展過程教學(xué)，抓住三個“什么”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)激情

本節(jié)課通過不斷設(shè)置問題串和一個個問題的解決，展現(xiàn)了“事件的關(guān)系和運(yùn)算”這一概念的生成過程，做到了以理服人，把 “事件的關(guān)系和運(yùn)算”“是什么”“為什么”以及“還有什么”以說理的形式展現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維和科學(xué)精神，從而發(fā)展了核心素養(yǎng).