一道高考平面解析幾何試題的思考與探究

王雪堯

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南昆明，650500)

1 試題呈現(xiàn)

例1(2021年乙卷理科第21題)已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點的距離最小值為4.

(1)求p；

(2)若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值.

本題考查平面上一點與圓上點的距離的最值、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的幾何性質(zhì)，拋物線的切線，三角形面積及其最值的求法等相關(guān)知識，涉及的知識面廣，綜合性強.此外，該試題聚焦數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，蘊含數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，有效發(fā)揮了高考的選拔功能.

2 解法探究

第(1)問p=2.本文僅對第(2)問進(jìn)行探究.第(2)問屬于圓錐曲線中求解三角形面積的問題，解題的突破口是選擇合適的方式將三角形面積表示出來，結(jié)合本題的已知條件，可采用以下幾種方法解題.

由題意可得直線AB斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，

Δ=(-4k)2-4×(-4b)=16k2+16b>0，x1+x2=4k，x1x2=-4b，

因為P在M上，故4k2+(4-b)2=1，即(4-b)2=1-4k2≤1，

于是-1≤4-b≤1，即3≤b≤5.故，

4k2+4b=-b2+12b-15=-(b-6)2+21.

由3≤b≤5知，當(dāng)b=5時-(b-6)2+21取得最大值20.

解法2用三角形面積公式的向量坐標(biāo)形式求面積

命題：設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的面積.

點A，B坐標(biāo)滿足2y-x0x+2y0=0，

所以直線AB的方程為2y-x0x+2y0=0.

P點坐標(biāo)滿足：x02+(y0+4)2=1.

∴(y0+4)2=1-x02≤1∴-5≤y0≤-3.

∴x02-4y0=1-(y0+4)2-4y0=-(y0+6)2+21.

分析：該解法思路簡單明了，只需直接套用命題結(jié)論并利用韋達(dá)定理進(jìn)行化簡，即可依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，但該方法屬于知識拓展性的解題策略，需要學(xué)生掌握向量方法表示的三角形面積公式，學(xué)生相對來說比較陌生.

解法3利用阿基米德三角形的性質(zhì)求面積

觀察圖1可知，當(dāng)P點位于圓偏上的位置，如P′，A′、B′兩點在拋物線靠下方，此時開口小，A、B兩點間的距離小；讓P點沿圓順時針旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)，當(dāng)P點位于圓偏下的位置，如P″，A″、B″兩點在拋物線靠上方，此時開口大，A、B兩點間的距離大.所以，當(dāng)P點位于圓的最下方，即圓與y軸的交點(0，-5)時，此時A，B間的距離最大.

圖1

解：P點坐標(biāo)為(0，-5)時，△PAB的面積最大.

由極點極線原則[1]可知P為極點，AB為極線，AB的直線方程為y=5.

分析：利用阿基米德三角形的性質(zhì)，由圖可直觀得出三角形面積取最大值時點P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出面積的最大值，顯示了阿基米德三角形的“威力”，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.若學(xué)生了解阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì)，該題的解答將手到擒來.

該解法揭示了本題的背景知識——阿基米德三角形，拋物線弦的兩個端點以及在這兩端點處的切線的交點所構(gòu)成的三角形就稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形具有深厚的背景和豐富的內(nèi)涵，高考命題者對此圖形青睞有加.阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì)也是命題者的熱點素材，在高考試題中屢見不鮮，如2019年全國3卷理科第21題、2006年全國2卷理第21題、2012年江西(理)第21題、2013年遼寧(理)第21題.“對該三角形的性質(zhì)作進(jìn)一步的研究對于提高學(xué)生對拋物線幾何性質(zhì)的認(rèn)識以及培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)美學(xué)意識是必要的、有益的.”[2]

3 教學(xué)建議

3.1 研究背景知識，拓寬解題思路

高考試題具有較深的背景知識，但由于不了解試題背景，學(xué)生在解題過程中可能會出現(xiàn)解題思路不簡潔、解題方法不優(yōu)化等解題障礙，加強試題背景知識的學(xué)習(xí)可以拓寬學(xué)生的解題思路、優(yōu)化解法方法，還能加深學(xué)生對知識發(fā)生發(fā)展過程的理解，增強學(xué)習(xí)熱情與信心.因此在教學(xué)中，教師要深入挖掘試題背景知識，進(jìn)一步分析研究背景知識，引導(dǎo)學(xué)生探究拓展學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握更多的解題方法.此外，追根溯源是加強背景知識學(xué)習(xí)的有效途徑.教師應(yīng)多鉆研高等數(shù)學(xué)知識，用“高觀點”來研究中學(xué)數(shù)學(xué)，厘清知識的來龍去脈，以便能將知識深入淺出地教授給學(xué)生.

3.2 落實核心素養(yǎng)，滲透思想方法

“不管平面解析幾何試題的背景知識是什么，落腳點都在考查學(xué)生的基本思想方法與能力，關(guān)注的不是學(xué)生對背景知識的熟悉程度，而是學(xué)生核心素養(yǎng)的落實.”[3]不管高考試題怎樣千變?nèi)f化，都是以考查基礎(chǔ)知識與基本方法為落腳點的，都是聚焦核心素養(yǎng)的落實，發(fā)揮其選拔的功能.特別地，對于平面解析幾何試題，聚焦學(xué)生的“轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、探索實踐”等基本思想方法和能力，關(guān)注的是“數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象”等核心素養(yǎng)的落實.在教學(xué)中，教師要著重培養(yǎng)學(xué)生的“四基”“四能”，關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效落實，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的全面育人價值和創(chuàng)新應(yīng)用價值.

3.3 提倡一題多解，優(yōu)化解題方法

教師在平時的解題教學(xué)中，不能盲目采用“題海戰(zhàn)術(shù)”，而應(yīng)該追求試題的典型性與拓展性，講清楚試題的內(nèi)涵與外延，提倡一題多解，尋求最優(yōu)解題方法.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生深入分析題目的條件與結(jié)論，從不同角度不斷挖掘二者之間的聯(lián)系，盡可能多的發(fā)現(xiàn)問題的不同解法，并分析哪種解法是最優(yōu)且有效的，經(jīng)過這樣的訓(xùn)練，有助于學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)問題的不同解法并選擇最優(yōu)且有效的方法解題；其次是在解題教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題方法.考查某一個知識點的題目千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，要幫助學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，分析問題特征，不斷總結(jié)解題經(jīng)驗，通過解一道題就會解一類題，達(dá)到舉一反三的教學(xué)效果；最后要關(guān)注問題情境，對學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，從而提高學(xué)生應(yīng)對多變問題情境的能力，發(fā)展思維的靈活性.