高中物理研究極值問題的幾種方法

吳曉明

合肥市第一中學，合肥 230601

在高中物理學習中，我們不僅借助于數(shù)學學習中嚴密的邏輯思維能力，還需要運用各類數(shù)學方法進行分析、討論、推理、演算，從而最終得出結果。如果在物理學習中，依據物理原理建立起若干方程，卻不會運用數(shù)學方法進行求解，依然功敗垂成。因此，在高考考場上，凡是中學階段學到的數(shù)學，如代數(shù)、三角、幾何、解析幾何等，都可以成為求解高考物理試題的數(shù)學工具。物理極值問題是物理與數(shù)學融合的典范，它既要求學生能正確分析物理情境、建立合理的物理模型，又要求學生具有較高的數(shù)學解題技巧[1]。通過大量的教學實踐總結，高中物理中研究極值問題一般有以下幾種方法。

1 運用一元二次方程的判別式求解極值問題

如果方程ax2+bx+c=0有實根，那么它的判別式一定滿足條件Δ=b2-4ac≥0，利用這一性質，我們可以將待求物理量與自變量之間建立起一元二次函數(shù)關系，通過解不等式Δ=b2-4ac≥0，找出函數(shù)的極值。

例1如圖1所示，用細線豎直懸掛一個質量為M的圓環(huán)，在環(huán)上套有兩個相同的、質量均為m的光滑小球，現(xiàn)設法使兩球從圓環(huán)最高點沿兩側由靜止滑下，若下滑至某處懸繩的拉力恰好等于零，則m至少多大？

圖1 例1圖示

解析設圓環(huán)半徑為R，取其中一個小球為研究對象，如圖2所示，某時刻小球下滑到A點，此時小球與圓環(huán)圓心連線和豎直方向成θ角。

圖2 例1解析圖示

根據牛頓第二定律可知

整個下滑過程中，由機械能守恒可知

聯(lián)立（1）（2）兩式得

以圓環(huán)為研究對象，由平衡條件可知

將（3）式代入（4）式，得

2 運用三角函數(shù)求解極值問題

根據高中數(shù)學知識可知，函數(shù)y=acosθ+bsinθ，我們可以變化為：

例2如圖3所示，質量為m的滑塊以初速度v0從斜面底端沿斜面向上運動，滑塊和斜面之間的動摩擦因數(shù)，重力加速度為g。若斜面傾斜角度可以調節(jié)，求：當斜面傾角為多大時，滑塊滑行的最大距離最小？最小值是多少？

圖3 例2圖示

解：當θ變化時，設沿斜面向上為正方向，滑塊的加速度為a，則：

滑塊的滑行距離x滿足：

3 運用物理圖像求解極值問題

中學數(shù)學學習中，我們常常借助圖像來研究函數(shù)性質，如何將函數(shù)圖像的幾何特征與代數(shù)特征進行緊密結合，往往也是求解問題的關鍵所在。在高中物理定量分析問題中，除了通過物理規(guī)律建立起各種物理量的函數(shù)關系、進行代數(shù)聯(lián)立求解以外，圖像這種語言在傳遞信息的同時，也可以在特定情境下幫助我們簡化代數(shù)運算、尋找出問題的答案。

例3如圖4所示，在光滑的水平面上靜置一質量為M、長度為L的木塊，現(xiàn)有一質量為m的子彈以水平速度v0射向木塊，若v0大小可隨意調整，請問v0滿足什么條件時，在整個子彈打擊木塊的過程中，木塊獲得的動能最大？不考慮子彈豎直方向的下落運動，假設子彈打入木塊時二者之間相互作用力f大小保持不變，重力加速度為g。

圖4 例3圖示

解析如果子彈初速度太小，打擊過程中，木塊獲得的動能肯定較少；子彈初速度不斷增大時，木塊動能是否持續(xù)增加呢？這顯然需要定量的分析，如果以子彈初速度v0為自變量，木塊動能為因變量，建立起函數(shù)關系尋找極值，代數(shù)運算會比較繁瑣，我們不妨用v-t圖像來展現(xiàn)這個過程，尋找答案。

如圖5所示，v-t圖像中陰影部分面積為子彈擊穿木塊的過程中二者的相對位移，即等于木塊長度L。對比圖6可知減小子彈初速度v0，由于子彈擊穿木塊的過程二者的相對位移保持不變，故而木塊在此過程中獲得的速度更大。由此分析可知，當滿足子彈剛好擊穿木塊二者共速時，木塊獲得的動能最大。

圖 5 v-t圖

圖 6 v-t圖

根據系統(tǒng)動量守恒定律可知

由能量守恒可知

4 運用矢量三角形求解極值問題

由幾何知識可知，從一點到某一直線垂線段最短。這一幾何特征運用于高中物理求解問題時，往往被構建在矢量三角形中，利用矢量三角形分析求解動態(tài)平衡問題就是最好的例子（受篇幅限制，本文不再探討該問題）。但是受這個知識點影響，在思維方式中，學生常常固化地認為矢量三角形只能求解動態(tài)平衡問題，其實矢量三角形也可以在分析其他矢量運算時助力極值問題求解。

例4某同學在距離地面高度h處以一定大小的速度v0斜拋一小球，當其速度與水平方向夾角不同時，落地點與拋出點的水平距離即射程大小也不同，不計空氣阻力，則最大射程是多少？

解析設小球初速度方向與水平面夾角為α，空中運動時間為t，落地速度大小為v，與水平方向夾角為β，由機械能守恒可知：

圖7 例4解析圖示

該三角形面積為

故當 α+β=90°時，S面積取極大值。

代入（1）（4）（5）式解得

5 運用費馬原理求解運動中的極值問題

1662年法國科學家皮埃爾·德·費馬提出：過空間中兩定點的光，實際路徑總是光程（或者時間）最短。這是幾何光學中一個最普通的基本原理，稱為費馬原理。用微分或變分法可以從費馬原理導出以下三條幾何光學定律：光在均勻介質（或者真空）中沿直線傳播、光的反射定律、光的折射定律。折射定律涉及的介質折射率定義為，其中v是光在介質中的傳播速度，c是光在真空中的傳播速度，而光在兩種不同介質面上折射時，有[2]。這一規(guī)律可以被用于運動學中當物體在兩個不同的速度區(qū)域運動時與時間相關的問題，即類折射問題。

例5如圖8所示，MN為沿著湖岸的一條筆直馬路，路人甲行走到A點位置時，忽然聽見湖中C點傳來路人乙落水的求救聲，落水點到馬路的垂線段長，路人甲急忙奔跑至C點救人。已知xAB=30 m，路人甲在馬路上奔跑速度v1=7 m/s，在水中游泳速度v2=1 m/s，請問路人甲奔跑至哪個位置入水游泳到C點位置所需時間最短？最短時間是多少？[3]

圖8 例5圖示

解析把路人甲視為光子，馬路相當于“光疏介質”，湖水相當于“光密介質”。

如圖9所示，路人甲沿著馬路運動至D點跳入湖中，沿DC方向游向C點，類比折射定律可知

圖9 例5解析圖示

6 運用不等式求解極值問題

當我們根據物理條件列出不等式求解問題時，對計算式中“≤”“≥”符號的解讀非常重要，其等號一般包含了極值條件。高中物理學習階段，應用到的主要不等式為均值等式，即：

當且僅當a1=a2=a3=…=an時等號成立。

例6如圖10所示，一根長為L的輕繩一端懸于O點，另一端連接一質量為m的小球（小球可視為質點），現(xiàn)將輕繩拉直至水平方向，此時小球處于與O點同一水平高度的M點，由靜止釋放，在小球下擺至最低點N的過程中，請問小球所受重力的最大瞬時功率是多少？

圖10 例6圖示

解析1如圖11所示，設某時刻小球擺到A點，輕繩與水平方向的夾角為θ，小球速度為v。

圖11 例6解析1圖示

小球從M點擺到A點的過程中由機械能守恒可知：

聯(lián)立（1）（2）式解得：

本題除了運用不等式求解問題，也可以應用物理原理分析問題找到答案。

解析2如圖12所示，以釋放點為原點建立直角坐標系。

圖12 例6解析2圖示

7 總結

在高中物理學習中，選擇合理的數(shù)學運算方法是高效求解物理問題的關鍵。同時，我們也要結合高中物理教學要求與高中生的實際數(shù)學能力，不能一味地把所有物理問題數(shù)學化，譬如例6向我們展示了只有抽象的物理分析與合理的數(shù)學工具相結合，才能事半功倍。