厘清物理公式本質(zhì)解決初中物理疑難問題
——以“判斷不同氣壓下液體壓強(qiáng)大小”為例

曹可攀 ，黃致新

1.華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢 430079

2.武漢市曬湖中學(xué)，武漢 430064

初中物理實際教學(xué)中考慮到初中生的思維能力有限以及物理知識本身的復(fù)雜性，教材中對部分物理公式加以簡化便于學(xué)生的學(xué)習(xí)。但面對一些涉及物理本質(zhì)的問題時，不理解公式本質(zhì)直接套用公式，不僅無法解決這一類問題，反而會讓學(xué)生陷于矛盾當(dāng)中，不利于學(xué)生物理核心素養(yǎng)的提升。

1 問題的提出

作為判斷液體壓強(qiáng)大小的公式p=ρgh普遍被老師和學(xué)生所接受，但是在學(xué)習(xí)中碰到的不同氣壓下的液體時，選擇不同的液面，對于同一位置的液體壓強(qiáng)采用液體壓強(qiáng)公式p=ρgh，卻會得到相反的結(jié)論。如圖1所示，自制氣壓計從樓下到樓上，觀察玻璃管內(nèi)水柱高度的變化情況，并判斷自制氣壓計瓶底受到液體壓強(qiáng)的變化。通常的解釋是分析自制氣壓計的原理：p內(nèi)=ρgh+p外，當(dāng)外界高度升高時，p外減小，在p內(nèi)不變的情況下，h2就會變大，所以可以看到水柱高度上升，氣壓計瓶底受到液體壓強(qiáng)就變大了。這種解釋可以說明自制氣壓計玻璃管內(nèi)水柱高度的變化情況，但是對于瓶底受到液體壓強(qiáng)的變化卻飽受爭議。因為自制氣壓計玻璃管內(nèi)水柱上升時，必然會造成瓶內(nèi)水面下降，h1變小，按照液體壓強(qiáng)計算公式p=ρgh判斷壓強(qiáng)就會變小。

圖1 自制氣壓計

2 產(chǎn)生問題的原因分析

計算液體壓強(qiáng)的大小關(guān)鍵是看液體深度，而深度的大小又取決于自由液面的選擇。教材中選擇的是標(biāo)準(zhǔn)大氣壓環(huán)境中的液面為自由液面，但是對于自制氣壓計中的大氣環(huán)境，瓶外大氣壓隨著高度升高而降低，瓶內(nèi)氣壓隨著水面下降也會降低，不管是瓶內(nèi)還是瓶外，氣壓都發(fā)生了變化。沒有固定不變的氣壓選作標(biāo)準(zhǔn)，也就沒辦法用p=ρgh合理解釋瓶底液體壓強(qiáng)變化。

3 解決問題的思路

分析物理概念的形成過程。液體壓強(qiáng)也是壓強(qiáng)的一種，所以先從壓強(qiáng)的概念本質(zhì)分析入手。在教材中壓強(qiáng)的定義是正壓力與接觸面面積的比值，是用來描述壓力的作用效果的物理量。從這個角度來分析，壓強(qiáng)由壓力和受力面積所決定。在學(xué)習(xí)這兩個因素時，需要重點(diǎn)分析的是壓力。壓力是與重力有著本質(zhì)區(qū)別的力，壓力大小有時等于重力的大小，有時又與重力毫無關(guān)系，壓力的大小受各種因素影響，初中階段我們更多的是區(qū)分壓力與重力的不同，對于大小的判斷往往要借助于受力分析。

重現(xiàn)物理公式的推導(dǎo)過程。對于水平地面的固體對地面產(chǎn)生的壓強(qiáng)，由于壓力大小等于重力，計算固體壓力時一般都會先計算壓力后計算壓強(qiáng)，所以F=G在固體中經(jīng)常用到，但同時我們又要明確知道壓力與重力的不同。對于液體計算公式的由來，教材中首先是通過探究實驗得出液體壓強(qiáng)的特點(diǎn)：同一深度朝各個方向都有壓強(qiáng)且相等；密度相同時，深度越深壓強(qiáng)越大；深度相同時，密度越大壓強(qiáng)越大。這只是定性的關(guān)系，對于定量關(guān)系則是建立了一個規(guī)則形狀的液柱，設(shè)想液柱下方平面的壓強(qiáng)就是該位置的液體壓強(qiáng)大小。如圖2所示，液柱對平面的壓力等于液柱所受的重力，借助于公式的變形 F=G=mg=ρVg=ρgSh，從而推出p=F/S=ρgh。由于液體同一深度朝各個方向都有壓強(qiáng)且相等，所以這個公式就可以普遍計算同一深度其他位置的液體壓強(qiáng)大小。對照壓力與重力的區(qū)別，我們不難得知液體壓強(qiáng)中液柱模型的建立是有前提條件的。模型中沒有考慮外界對液體的壓力，只考慮了液體本身受到的重力，所以才有壓力等于重力的推導(dǎo)。如果考慮外界對液體的壓力，那么此時的壓力就不等于液體本身受到的重力，公式的推導(dǎo)就會發(fā)生變化。

圖2 液體壓強(qiáng)液柱模型

厘清體現(xiàn)物理本質(zhì)的公式。教材中的液體壓強(qiáng)計算公式p=ρgh沒有考慮大氣壓力的影響。有部分老師認(rèn)為液體壓強(qiáng)就只需要考慮液體內(nèi)部的作用，筆者認(rèn)為這是偷換概念的一種說法。這就好比固體壓強(qiáng)實驗中，在下端墊有海綿的木桌上面放一個砝碼，問木桌對海綿產(chǎn)生的壓強(qiáng)，那么考慮木桌對海綿產(chǎn)生的壓力不需要考慮砝碼對木桌的壓力嗎？還有部分老師通過“壓強(qiáng)”和“液體壓強(qiáng)”來告訴學(xué)生解題中要不要考慮大氣壓的問題，顯然這都是不太合理的。教材中對液體壓強(qiáng)的處理，更多的鑒于大氣壓的普遍性而沒有考慮大氣壓力對液體壓強(qiáng)的影響，當(dāng)然也沒有考慮其他外力對液體壓強(qiáng)的影響，所以導(dǎo)致液體壓強(qiáng)的計算公式p=ρgh具有相對性。當(dāng)考慮外界因素時，液體壓強(qiáng)就等于p=ρgh+p外，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的液體壓強(qiáng)公式就應(yīng)該變?yōu)閜=ρgh+p0，這才是液體壓強(qiáng)的本質(zhì)公式。

圖1中自制氣壓計的液體壓強(qiáng)大小問題實際上就是考查對液體壓強(qiáng)本質(zhì)的理解，判斷瓶底的液體壓強(qiáng)必須考慮外界因素的影響。瓶底的壓強(qiáng)可以用兩種方式來表示 p=ρgh1+p內(nèi)；p=ρgh2+p外。由于h1變小，瓶內(nèi)氣壓p內(nèi)也會降低，所以p會變小。第二種方式h2變大，p外變小，不易判斷。

理解了液體壓強(qiáng)的本質(zhì)公式可以幫助我們更好地分析一些物理原理。如圖3所示，在用微小壓強(qiáng)計測液體壓強(qiáng)的實驗中，用U型管兩邊液面高度差來表示液體壓強(qiáng)大小。按照液體壓強(qiáng)本質(zhì)進(jìn)行分析，橡皮膜受到的液體壓強(qiáng)p=ρ0gh0+p0，所以橡皮管內(nèi)的氣壓 p=ρgh0+p0。管內(nèi)氣壓大小在U型管中又可以表示為p=ρgh+p0。由這兩個等式可以推出ρ0gh0等于ρgh，當(dāng)h0變大時，h也會變大，這就是微小壓強(qiáng)計的原理。

圖3 探究液體壓強(qiáng)特點(diǎn)實驗

反之，如果沒有理解液體壓強(qiáng)的本質(zhì)，往往只狹隘地認(rèn)識到液體壓強(qiáng)就是去看深度和密度，不僅無法解決不同氣壓下的液體壓強(qiáng)問題，甚至?xí)诿}當(dāng)中引發(fā)一些爭議性問題。例如2020年某省的中考題：負(fù)壓魚缸是寧夏科技館的一件展品，如圖4甲所示，其縱截面示意圖如圖4乙所示，整個魚缸只有投料口與大氣相通，魚缸內(nèi)高于投料口水面以上的水不能從投料口流出，是因為受到________作用，水對魚缸底部的壓強(qiáng)p=_______（深度用圖乙中的相關(guān)字母表示，水的密度用ρ水表示）。

圖4 負(fù)壓魚缸

查閱相關(guān)資料，該題的參考答案是水對魚缸底部的壓強(qiáng)p=ρ水gh。這道題以負(fù)壓魚缸為背景,考慮了大氣壓對液體的作用。如果不是以負(fù)壓為背景，按照通常的習(xí)慣計算液體壓強(qiáng)，參考答案p=ρ水gh是沒有問題的。但是，若在本題中要計算水對魚缸頂部的壓強(qiáng)，則應(yīng)為 p1=p0-ρ水g（H-h）。由此反推魚缸底部受到水的壓強(qiáng)則應(yīng)為p=ρ水gh+p0，這樣本題就會有兩個答案。在同一道題中，計算魚缸底部受到的壓強(qiáng)時不考慮大氣壓，而計算頂部的壓強(qiáng)時又要考慮大氣壓，難免不妥。結(jié)合本題的負(fù)壓背景，筆者認(rèn)為水對魚缸底部的壓強(qiáng)為 ρ水gh+p0比 ρ水gh 更合適。

4 教學(xué)建議

教材中為了降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，液體壓強(qiáng)的計算公式是基于液體壓力等于液體所受重力的推導(dǎo)。老師在教學(xué)中可以補(bǔ)充說明，由于人們生活在大氣壓環(huán)境中，液體壓強(qiáng)公式?jīng)]有考慮大氣壓等外界壓力的影響，對于一般的液體壓強(qiáng)計算所選擇的自由液面是與大氣接觸的液面，都默認(rèn)為該液體表面處的壓強(qiáng)為0，液體內(nèi)部壓強(qiáng)大小都用公式p=ρgh計算。當(dāng)面對不同氣壓的環(huán)境，就需要考慮大氣壓的影響，此時液體壓強(qiáng)應(yīng)該用更具本質(zhì)性的p=ρgh+p外來計算。在具體的習(xí)題編制中最好也能像理想環(huán)境中不考慮空氣阻力一樣，提示不考慮大氣壓的影響，這樣便于學(xué)生應(yīng)用p=ρgh解決物理問題，也不影響對液體壓強(qiáng)本質(zhì)的理解，有助于學(xué)生進(jìn)入高中、大學(xué)以后對于液體壓強(qiáng)的學(xué)習(xí)。

5 結(jié)語

厘清液體壓強(qiáng)公式的本質(zhì)，認(rèn)識到液體壓強(qiáng)計算公式p=ρgh的相對性，才能解決疑難問題。這樣碰到諸如此類大氣壓發(fā)生變化的液面，選擇不同氣壓的液面意味著參照物不一樣，用相對計算公式計算同一位置的液體壓強(qiáng)自然沒有意義，此時的液體壓強(qiáng)用p=ρgh+p外計算才符合物理本質(zhì)。有學(xué)者用流體力學(xué)的知識，嘗試對基礎(chǔ)物理教學(xué)中液體的壓強(qiáng)進(jìn)行分析，得出當(dāng)液體同時受到表面力和質(zhì)量力時，其所具有的絕對壓強(qiáng)大小應(yīng)用p=ρgh+C來計算。其中，C就是液體所處環(huán)境對自由液面產(chǎn)生的壓強(qiáng)，屬于表面力的作用。而ρgh是自由液面到測量點(diǎn)的單位面積的液柱的重量，是因重力產(chǎn)生的壓強(qiáng)[1]。這也從力學(xué)本質(zhì)的角度印證了初中物理液體壓強(qiáng)計算公式的相對性。由于初中物理處于啟蒙階段，教材的編寫要考慮學(xué)生的思維發(fā)展水平等實際因素，存在一些公式?jīng)]有基于物理本質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)說明和處理的情況，雖然這些公式可以幫助學(xué)生和老師解決部分表面的物理問題，但是對于涉及本質(zhì)的物理現(xiàn)象就無法解決。

除了文中談到的液體壓強(qiáng)，比如在滑輪組的機(jī)械效率的計算中，通常計算有用功的公式W有用=G物h，而真正體現(xiàn)物理本質(zhì)的公式應(yīng)該是W有用=F動S=G物h（F動指的是滑輪輸出的力），而且在水平方向使用滑輪或是從水中拉升物體時，W有用=G物h這個公式就無法計算了[2]。作為物理教師，在一線教學(xué)中要遵循教材又不拘泥于教材，從學(xué)生可以理解的角度，用已有的知識厘清物理公式的本質(zhì)，優(yōu)化、補(bǔ)充教材內(nèi)容，才能讓學(xué)生更好地掌握物理概念，解決疑難問題，提升物理核心素養(yǎng)。