“老鼠出洞”問題的另兩種奇思妙解

郭 蓉

甘肅省武威第一中學，甘肅 武威 733000

“老鼠出洞”問題，是一個經典而有趣的物理競賽問題。經查閱大量對該問題研究的文獻資料，發現文獻[1-3]中只給出了積分法（或者微元法）和圖像法兩種求解的方法。因此，文獻[1]認為因高中數學知識不足，直接應用積分法（或微元法）求解難度大，圖像法是唯一的方法。文獻[2]也用圖像法做了分析。本文介紹競賽訓練時學生想到的另兩種奇思妙解，以饗讀者。

1 常見分析方法

問題一只老鼠出洞后沿直線奔跑，其速率與離開洞口的距離成反比。已知老鼠在距洞口距離為a的甲處時，其速率為v0。那么，當老鼠從甲處跑到距洞口距離為b（b＞a）的乙處，所需時間是多少？

1.1 積分法

以洞口為坐標原點，以老鼠奔跑的直線建立直線坐標系。設老鼠在任意位置x處時的速率為v，則，k 為常數。由題意，x=a時，v=v0，則 k=av0。

點評積分法的實質是微元求和取極限，即積分法和微元法的本質相同。由于大部分高中生沒有熟練掌握數學積分知識，因此競賽輔導中常用微元法分析。

1.2 圖像法

圖1 圖像

點評圖像法是物理解題中常用的方法，在某些問題的求解中，物理圖像可起到意想不到的效果。

2 另兩種奇思妙解

2.1 等效轉化法

等效轉化法是常用的物理方法，也是高中生必備的物理學科核心素養。等效轉化法的原則是效果要相同。實際應用時，一定要在保證效果相同的前提下，將陌生的、復雜的、不熟悉的、難處理的實際問題的分析，轉化為與其等效的簡單的、熟悉的問題的分析，以便抓住問題的本質，從而找到復雜問題的規律。

獨特的設想若能找到一個簡單而又熟悉的運動與老鼠的運動等效，則通過求解這個熟悉的運動所需的時間，可知道老鼠運動所需的時間。

精巧的構思由于老鼠運動速率v與位置坐標x成反比，即。設想一根彈簧一端固定在圖2中坐標原點的左側，另一端固定在一小滑塊上，彈簧自由伸長時，滑塊在洞口位置（坐標原點）?；瑝K離開洞口后向右運動，在光滑水平面上受向左的彈簧彈力，并設彈簧彈力F=k0x（k0為彈簧勁度系數）對滑塊做功的功率P恒定不變，由力做功的功率公式P=Fv得滑塊運動的速度

圖2 等效轉化的運動模型圖

巧妙的計算由題意，當x=a時，v=v0，將其代入（1）式得

滑塊從甲處到乙處的運動過程中，彈簧彈力對滑塊做的功為

由（2）（3）式易得滑塊從甲處運動到乙處的時間為

點評從獨特的設想，到精巧的構思，再到巧妙的計算，體現了學生思維的獨特性和創造性，也體現了學生解決問題中構建物理模型的能力。

2.2 類比猜想法

類比猜想法，是根據兩個事物在某些屬性上的相似性，類比猜想出其他屬性也有可能具有相似性的認知思維方法。類比的基礎，是要發現兩個不同事物之間有某些相似性，從而利用已知事物的規律去類比探尋（猜想）未知事物的規律。類比猜想法具有一定的認知價值，是科學探究中常用的方法。

但是，類比猜想法是由個別到個別的非邏輯推理。因此，其結論的正確性需要用實驗（或者其他方法）來進一步檢驗。如果類比的兩個對象之間共有的屬性越多，則類比出的結論的可靠性越大。

在“老鼠出洞”問題中，老鼠的運動雖然不能直接用已學過的運動學公式求解，但只要能找到描述老鼠運動的公式和學過的物理公式的數學形式相似，便可類比學過的公式形式推測出解決“老鼠出洞”問題的公式形式。但這樣類比出的結果不一定正確，其結果還有待于用其他辦法（或者實驗）進一步驗證。

類比對象初速度v0=0的勻加速直線運動的兩個公式Δs=vΔt和v=at（式中Δs是極短時間Δt內的位移），所以在t時刻到t+Δt時刻所發生的位移為

顯然，（5）（6）式的數學形式極為相似。

因此，由（5）（6）式找到物理量之間的對應關系：“老鼠出洞”問題中的時間t、位置坐標x、分別對應初速度為零的勻加速直線運動中的位移 s、時間 t、加速度 a 。

由于從洞口到甲處的時間為t1時，x1=a；從洞口到乙處的時間為 t2時，x2=b，則由（7）式得

所以，老鼠從甲處到乙處所需時間為

點評類比猜想法，是科學研究中的一種很重要的科學方法，也是一種創造性思維方法。上述求解方法也是一種奇思妙解，但考試中學生若采用這種方法，即使得出正確的結果，評卷判分時其思考的過程也可能并不能得分，這或許也是我們教學中值得深思的問題。