關(guān)注課堂活動(dòng) 發(fā)展核心素養(yǎng)
——以“事件的關(guān)系和運(yùn)算”為例

200433 復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué) 張建國(guó)

一、內(nèi)容分析

“事件的關(guān)系和運(yùn)算”是滬教版新教材必修第三冊(cè)第12章“概率初步”中第2節(jié)“古典概率”的第3課時(shí).本節(jié)課通過類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，指出事件之間也是有關(guān)系的，事件是可以運(yùn)算的，這為后續(xù)研究古典概率模型的概率可加性做了鋪墊，因此本節(jié)課起到了承上啟下的作用.通過學(xué)習(xí)事件的關(guān)系和運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用簡(jiǎn)單事件表示較復(fù)雜事件，為后續(xù)求較復(fù)雜事件的概率以及繼續(xù)推導(dǎo)概率的一些重要性質(zhì)打下基礎(chǔ)，同時(shí)也為大學(xué)概率論中將概率定義為樣本空間上的函數(shù)埋下伏筆.

二、學(xué)情分析

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)現(xiàn)象、樣本空間與事件、等可能性與概率等概念，掌握了樣本空間、事件(隨機(jī)事件)以及古典概率模型中的概率公式等，初步體會(huì)了集合作為工具描述這些概念的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性.本節(jié)課將類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，抽象出事件的關(guān)系和運(yùn)算的一般性描述，思維的跳躍性較大，抽象程度較高，因此需要設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，借助具體事例，讓學(xué)生通過思考、小組討論進(jìn)行探究，并進(jìn)一步抽象出一般的事件關(guān)系和運(yùn)算.

三、教學(xué)目標(biāo)

(1)通過觀察事件運(yùn)算的具體例子發(fā)現(xiàn)并提出問題，用集合的語言予以表達(dá)，能夠利用歸納和類比的方法解決問題，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

(2)從具體實(shí)例中理解事件的關(guān)系和運(yùn)算的含義，能夠抽象出事件的包含關(guān)系的含義，以及多個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生、同時(shí)發(fā)生、互斥和對(duì)立的含義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

(3)能夠利用事件的關(guān)系和運(yùn)算解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí).

四、教學(xué)過程(課堂實(shí)錄)

(一)創(chuàng)設(shè)情境，引入問題

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)現(xiàn)象、樣本空間與事件、等可能性與概率，根據(jù)前面學(xué)習(xí)過的知識(shí)和方法，請(qǐng)同學(xué)們看下面的引例.

引例擲兩顆骰子，分別觀察得到的點(diǎn)數(shù)(數(shù)字1至6).請(qǐng)同學(xué)們提出一些事件，探究這些事件之間的關(guān)系.

學(xué)生活動(dòng)開展小組討論，各小組提出事件.

師：同學(xué)們都提出了哪些事件？請(qǐng)各小組派代表交流一下.

生：事件A，一個(gè)點(diǎn)數(shù)是5，另一個(gè)點(diǎn)數(shù)是6.

生：事件B，一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，另一個(gè)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù).

生：事件C，兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù).

生：事件D，兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù).

師：很好.我也提出事件E，兩個(gè)點(diǎn)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).

問題1根據(jù)上面所提出的事件，你能利用集合的關(guān)系和運(yùn)算探究它們的關(guān)系嗎？

學(xué)生活動(dòng)開展小組討論，利用集合的關(guān)系和運(yùn)算，探究這些事件之間的關(guān)系和運(yùn)算.

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)上面提出的事件，類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能探究這些事件之間有哪些關(guān)系嗎？

生：把事件B、事件C和事件E對(duì)應(yīng)的集合分別記作集合B，C，E，那么上述事件的關(guān)系表示為E=B∪C.

師：很好，請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步探究表示式E=B∪C的含義，能得到什么結(jié)論？

生：事件B發(fā)生或事件C發(fā)生，事件E就發(fā)生.

師：很好，這說明相對(duì)于事件B和事件C，事件E是較復(fù)雜的事件，我們可以把較復(fù)雜的事件分解為簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算，或者反過來說，可以用較簡(jiǎn)單的事件表示較復(fù)雜的事件.這為我們后續(xù)研究較復(fù)雜的事件帶來了方便.

師：受此啟發(fā)，今天我們就全面類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，研究事件的關(guān)系和運(yùn)算.因此，今天我們學(xué)習(xí)的主題就是“事件的關(guān)系和運(yùn)算”.

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)“擲兩顆骰子”的情境，讓學(xué)生發(fā)揮想象力，提出事件，引導(dǎo)學(xué)生把較復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件，即用簡(jiǎn)單事件表示較復(fù)雜事件，從而引出用集合的運(yùn)算來表示事件的運(yùn)算.

(二)生成概念，解決問題

問題2類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，你認(rèn)為事件都有哪些關(guān)系和運(yùn)算？

學(xué)生活動(dòng)在解決問題1的基礎(chǔ)上進(jìn)行類比和聯(lián)想，概括出事件的關(guān)系和運(yùn)算的含義，并用集合的語言表示.

師：同學(xué)們首先類比了集合的哪個(gè)運(yùn)算？如何描述對(duì)應(yīng)的事件的運(yùn)算？

生：根據(jù)前面的討論，我們小組首先類比了集合的并集運(yùn)算，得到對(duì)應(yīng)的事件的運(yùn)算是兩個(gè)事件A與B中的基本事件至少有一個(gè)發(fā)生，得到的事件對(duì)應(yīng)的集合是A∪B.

師：還有其他描述嗎？

生：兩個(gè)事件A與B中的基本事件至少有一個(gè)發(fā)生，事件A與B就至少有一個(gè)發(fā)生，對(duì)應(yīng)的集合是A∪B.

師：很好！我們將其嚴(yán)格地寫出來.記樣本空間為Ω，事件A對(duì)應(yīng)于集合A，事件B對(duì)應(yīng)于集合B.“兩個(gè)事件A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”本身也是一個(gè)事件，是指在兩個(gè)事件所包含的基本事件中至少有一個(gè)發(fā)生，對(duì)應(yīng)的子集是A∪B(如圖1所示).

圖1

進(jìn)一步，如果三個(gè)事件A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生，其對(duì)應(yīng)的子集是A∪B∪C.

師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，你還能得到事件的哪些關(guān)系和運(yùn)算？

生：我們小組類比了集合的交集運(yùn)算，得到對(duì)應(yīng)的事件運(yùn)算是，兩個(gè)事件A與B某個(gè)共同的基本事件發(fā)生，則事件A與B同時(shí)發(fā)生，對(duì)應(yīng)的集合是A∩B.

師：很明顯，和第一次相比，同學(xué)們這次描述事件的運(yùn)算要準(zhǔn)確多了.我們將其嚴(yán)格地寫出來.“兩個(gè)事件A與B同時(shí)發(fā)生”本身也是一個(gè)事件，是指兩個(gè)事件的某個(gè)共同的基本事件發(fā)生，對(duì)應(yīng)的子集是A∩B(如圖2所示).

圖2

進(jìn)一步，如果三個(gè)事件A，B，C同時(shí)發(fā)生，對(duì)應(yīng)的子集是A∩B∩C.

師：集合還有哪些運(yùn)算？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)類比.

圖3

問題3能用前面兩個(gè)事件的運(yùn)算描述事件的第三個(gè)運(yùn)算的性質(zhì)嗎？

學(xué)生活動(dòng)開展小組討論，再次理解“兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生”和“兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的含義，并討論如何把事件的這兩個(gè)運(yùn)算運(yùn)用到描述事件的第三個(gè)運(yùn)算中.

師：前面我們學(xué)習(xí)了事件的兩個(gè)運(yùn)算“兩個(gè)事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”與“兩個(gè)事件A與B同時(shí)發(fā)生”，同學(xué)們能用事件的這兩個(gè)運(yùn)算描述事件的第三個(gè)運(yùn)算的性質(zhì)嗎？

師：很好，這就是事件和其對(duì)立事件的關(guān)系.

問題4如果事件A和事件B對(duì)應(yīng)的集合滿足A∩B=?，那么事件A和事件B是對(duì)立事件嗎？

學(xué)生活動(dòng)進(jìn)一步思考對(duì)立事件的含義，從而引出新的事件運(yùn)算.

師：如果事件A和事件B對(duì)應(yīng)的集合滿足A∩B=?，事件A和事件B是對(duì)立事件嗎？請(qǐng)同學(xué)們思考并回答.

生：不是.因?yàn)槭录嗀和事件B還有可能都不發(fā)生，這不滿足對(duì)立事件的定義.

師：是的，我們把這種事件稱為互斥事件，具體描述如下.如果事件A和事件B沒有共同的基本事件，即對(duì)應(yīng)的兩個(gè)子集的交集是空集，也即A∩B=?，則稱事件A和事件B不可能同時(shí)發(fā)生，或者說互斥(如圖4所示).

圖4

進(jìn)一步，如果是三個(gè)事件A，B，C滿足A∩B=?,A∩C=?,B∩C=?，則稱事件A，B，C兩兩互斥.

問題5A∪B和A∩B的對(duì)立事件如何表示？

學(xué)生活動(dòng)類比集合的運(yùn)算，推導(dǎo)較復(fù)雜事件的對(duì)立事件公式.

問題6類比集合的關(guān)系，事件之間有關(guān)系嗎？如何描述？

學(xué)生活動(dòng)類比集合的關(guān)系，給出事件關(guān)系的一般性描述.

師：上面我們類比集合的三種運(yùn)算，給出事件對(duì)應(yīng)的運(yùn)算的含義.我們知道某些集合之間是有關(guān)系的，同學(xué)們能類比集合的關(guān)系描述事件的關(guān)系嗎？

生：事件A中的基本事件都在事件B中，則事件A和事件B對(duì)應(yīng)的集合滿足A?B.

師：進(jìn)一步，如果事件A中的基本事件都在事件B中，那么事件A發(fā)生，事件B是否發(fā)生？

生：事件A發(fā)生時(shí)，事件B必然發(fā)生.

師：因此，類比集合的關(guān)系，我們得到事件的關(guān)系如下.某些事件之間是有關(guān)系的，如果A的基本事件都在B中，那么A發(fā)生必然B發(fā)生(或者說B不發(fā)生則A也不發(fā)生).此時(shí)，稱B包含A或者A包含于B，記作A?B(如圖5所示).

圖5

設(shè)計(jì)意圖：從具體實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的研究問題的過程，同時(shí)運(yùn)用類比的方法把集合的關(guān)系和運(yùn)算運(yùn)用到事件的關(guān)系和運(yùn)算上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體實(shí)例進(jìn)行概括、歸納，從而用數(shù)學(xué)語言表示事件的關(guān)系和運(yùn)算的一般含義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

(三)應(yīng)用概念，加深理解

例1擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù).設(shè)A：至少一個(gè)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，B：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù).求：(1)A∪B；(2)A∩B.

方法1：分別寫出A和B中所包含的基本事件，然后根據(jù)集合的運(yùn)算求得結(jié)果.

方法2：利用事件的運(yùn)算，把事件A和事件B轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算后求得結(jié)果.

方法1 解答：樣本空間Ω={(i,j)|i=1,2,…,6；j=1,2,…,6}，其中i,j分別是擲第一顆與第二顆骰子所得的點(diǎn)數(shù).

A={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}，

B={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}，

則(1)A∪B=Ω；

(2)A∩B={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}.

方法2 解答：記A0：兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù);A1：一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，一個(gè)數(shù)是偶數(shù);A2：兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù).

因?yàn)锳=A0∪A1，B=A0∪A2，且事件A0，A1，A2兩兩互斥，所以(1)A∪B=(A0∪A1)∪(A0∪A2)=Ω；(2)A∩B=A0={(i,j)|1≤i≤6,1≤j≤6,i,j都是偶數(shù)}.

設(shè)計(jì)意圖：本題是對(duì)“事件的關(guān)系和運(yùn)算”概念的理解和應(yīng)用.方法1是分別寫出事件A和B所包含的基本事件，然后根據(jù)集合的運(yùn)算寫出相應(yīng)的結(jié)果，這是最根本的方法，是通法，應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào).方法2是把較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的事件的運(yùn)算，即用簡(jiǎn)單事件表示較復(fù)雜事件，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.通過兩種方法的對(duì)比，學(xué)生體會(huì)用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算表示較復(fù)雜事件的便捷性，體現(xiàn)本節(jié)課學(xué)習(xí)的必要性.

(四)課后總結(jié)，凝煉升華

知識(shí)內(nèi)容：本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容是事件的關(guān)系和運(yùn)算.

思想方法：本節(jié)課采用的學(xué)習(xí)方法是通過歸納特例，類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，采用從特殊到一般的方法給出事件的關(guān)系和運(yùn)算的一般含義.

(五)課后作業(yè)，鞏固提高

1.擲一顆骰子，設(shè)事件A：落地時(shí)得到的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件B：落地時(shí)得到的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件C：落地時(shí)得到的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，事件D：落地時(shí)得到的點(diǎn)數(shù)是4.則下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為( )

A.A與BB.B與C

C.A與DD.C與D

2.把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分別寫在10張相同的卡片上，并隨機(jī)抽取1張，設(shè)A：出現(xiàn)偶數(shù)，B：出現(xiàn)3的倍數(shù).則事件A，B至少有一個(gè)發(fā)生對(duì)應(yīng)的子集是______；A，B同時(shí)發(fā)生對(duì)應(yīng)的子集是______.

3.在分別寫有數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的11張相同的卡片中隨機(jī)抽取1張，設(shè)A：出現(xiàn)奇數(shù)，B：出現(xiàn)偶數(shù)，C：數(shù)字大于4.寫出下列事件對(duì)應(yīng)的子集：(1)A，C同時(shí)發(fā)生；(2)B，C至少有一個(gè)發(fā)生；(3)A，B同時(shí)發(fā)生.

4.除了集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算外，集合的運(yùn)算還有哪些？請(qǐng)查閱相關(guān)資料，并思考如何從事件的角度來理解集合的這些運(yùn)算.

5.根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，請(qǐng)查閱關(guān)于概率定義的發(fā)展過程中與公理化形成有關(guān)的資料，從中體驗(yàn)和感悟概率論公理化體系的思想.

五、教學(xué)反思

(一)創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)計(jì)小組活動(dòng)，通過活動(dòng)解決問題(串),發(fā)展核心素養(yǎng)

本節(jié)課在開始時(shí)設(shè)置“擲兩顆骰子”的游戲，這是學(xué)生比較熟悉的游戲，教師引導(dǎo)學(xué)生開展小組活動(dòng)，提出一些事件，然后探究這些事件之間的關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)問題，目的是培養(yǎng)學(xué)生提出和發(fā)現(xiàn)問題的能力，這是發(fā)展學(xué)生“四能”的基礎(chǔ).

(二)以問題(串)的解決引導(dǎo)學(xué)習(xí)

本節(jié)課的教學(xué)過程充滿了恰時(shí)恰點(diǎn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究，必要時(shí)小組合作交流，學(xué)生認(rèn)知能力的每一次提升都是通過問題的解決達(dá)到的，學(xué)生思維的深刻性進(jìn)一步得到提升，邏輯推理等核心素養(yǎng)也會(huì)得到發(fā)展.

(三)開展過程教學(xué)，抓住三個(gè)“什么”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)激情

本節(jié)課通過不斷設(shè)置問題串和一個(gè)個(gè)問題的解決，展現(xiàn)了“事件的關(guān)系和運(yùn)算”這一概念的生成過程，做到了以理服人，把 “事件的關(guān)系和運(yùn)算”“是什么”“為什么”以及“還有什么”以說理的形式展現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維和科學(xué)精神，從而發(fā)展了核心素養(yǎng).