實心定子磁懸浮軸承功率放大器穩定性研究

紀歷，馬雪晴，陳震民

(1.杭州電子科技大學 信息工程學院，浙江 杭州 310011； 2.浙江中源磁懸浮技術有限公司，浙江 杭州 310011)

0 引 言

磁懸浮軸承是通過定子鐵心與轉子鐵心之間的磁場力將轉子無接觸地懸浮起來的一種新型軸承，由于不存在機械接觸，其與傳統機械軸承相比具有明顯的優越性[1-4]。完整的磁懸浮軸承系統通常由磁懸浮軸承機械部分(定轉子)、位移傳感器、控制器以及功率放大器組成。其中功率放大器用來控制定子線圈中的電流，從而產生磁場力使轉子穩定懸浮，其性能對于磁懸浮系統至關重要。

通常情況下，磁懸浮軸承的定、轉子均采用疊片結構以減小磁路中的渦流效應，進而減小損耗、提高效率。然而疊片結構本身工藝復雜，生產效率低下，此外考慮磁懸浮軸承對加工精度的要求，沖片加工得到的定子疊片在裝配后通常還需要進行二次精加工，多道工序延長了磁懸浮軸承的加工周期，阻礙了磁懸浮產品的批量生產。若采用實心鐵磁材料加工定子，則可以顯著地提高生產效率，但是實心結構有較大的渦流效應，一方面導致發熱損耗，一方面會對磁懸浮系統的控制造成負面的影響。

文獻[4-6]對磁懸浮系統的損耗進行分析，可知鐵心本身的損耗相對于磁懸浮設備(如磁懸浮鼓風機、磁懸浮壓縮機)的功率來說并不高，若具有良好的散熱條件，定子溫升完全可以控制在可接受的范圍。但其對控制的影響不能忽略，一個典型的例子就是導致控制電流的高頻振蕩。關于電流的高頻振蕩，現有研究普遍認為其由開關功率放大器的非線性導致，文獻[7-14]針對功率放大器或變換器的非線性模型進行研究，文獻[15-16]證明在磁懸浮功率放大器中存在分岔及混沌現象。文獻[17-18]研究了功率放大器調制技術及由于不同的載波形式產生的失效機制。但較少研究關注由于負載特性變化引起的系統不穩定及振蕩。

本文著重研究了實心定子結構對磁懸浮功率放大器穩定性的影響，考慮渦流效應建立了負載線圈的數學模型，并計及功率放大器本身的非線性特性及數字延時研究了勵磁電流自激振蕩的機理。在此基礎上提出勵磁電流控制系統穩定性的分析方法及控制器的設計原則，并通過仿真與試驗對提出的理論進行驗證，所得結論能夠為磁懸浮技術在工業中的推廣應用提供理論依據。

1 磁懸浮勵磁控制系統數學模型

磁懸浮功率放大器及勵磁電流控制系統的原理如圖1所示。該系統主要由控制器C(s)、PWM調制器、功率放大器主電路KV、定子線圈負載G(s)和電流互感器KS組成。

1.1 功率放大器的數學模型

磁懸浮控制系統中最常用的功率放大器是基于H橋的三電平變換器[16]。其主電路拓撲結構如圖2(a)所示，其中主電路由電壓源E、開關管S1～S4及負載組成。S1(S2)與S3(S4)互補導通，其負載等效為L和R串聯的形式。根據S1～S4不同的開關情況，該變換器有三種工作狀態：

狀態1：開關S1與S4導通，S2與S3關斷，此時變換器輸出電壓E，負載電流上升；

狀態2：開關S2與S3導通，S1與S4關斷，此時變換器輸出電壓-E，負載電流下降；

狀態3：開關S1與S2導通，S3與S4關斷或開關S3與S4導通，S1與S2關斷，此時變換器輸出電壓為0，負載電流通過開關管與二極管續流。

變換器在每一個控制周期中包含兩種開關狀態，以輸出正電壓，負載電流上升過程為例。其調制原理如圖2(b)所示，圖中：uT+、uT-為一組幅值與頻率相同、相位相反的三角載波；uin為控制器輸入的控制信號；ug1、ug4分別表示開關管S1與S4的驅動信號。

控制信號uin分別與兩個三角波進行比較，當uin大于uT+時，ug1輸出高電平、S1開通，當uin大于uT-時，ug4輸出高電平、S4開通，反之S1、S4關斷。根據圖2(a)主電路結構以及圖2(b)中的開關時序圖，此時變換器包含狀態1與狀態3兩種開關狀態，對負載輸出等效的正向PWM電壓。將控制信號與載波信號做歸一化處理，即uTmax=1、uTmin=-1、uin∈[-1, 1]、占空比d=|uin|，則可以推導出該H橋變換器的輸出模型為：

uout=

(1)

式(1)描述了功率放大器的PWM調制及主電路部分的非線性模型，實際上由于功放系統的控制頻率很高，由PWM調制引入的非線性對系統性能的影響較小，因此，在分析穩定性時可以用一個電壓放大倍數KV進行等效。

1.2 定子線圈負載數學模型

電流控制回路中負載為磁懸浮軸承的定子線圈，使用疊片定子結構時，可以等效為阻感負載R、L串聯的形式，其傳遞函數為

(2)

式中L=N2/R0，N為繞組匝數，R0為靜態磁阻，分為氣隙磁阻與鐵心磁阻兩部分，表達式為

(3)

式中：δ0為氣隙長度；A為磁極面積；lm為鐵心等效長度；μ0為真空磁導率；μr為鐵心的相對磁導率。

采用實心定子結構時，磁路中的渦流效應不能忽略，鐵心部分磁阻將隨頻率發生變化，根據文獻[19]中的推導，此時磁阻可以表示為靜態磁阻R0與動態磁阻Rt之和的形式，其中動態磁阻表達式為

(4)

將式(3)、式(4)代入式(2)，得到渦流效應影響下磁懸浮定子線圈的數學模型為

(5)

兩種負載的頻率特性如圖3所示。可以看出，相比于疊片結構(整數階負載)，實心結構(分數階負載)在幅頻特性上表現出更低的轉折頻率，其中高頻段的衰減較大；而在相頻特性方面，其相位在低、中頻段滯后更為嚴重。

1.3 控制器數學模型

磁懸浮電流環控制器常采用PI(比例-積分)的形式，對于線性負載，該控制器完全可以達到較好的控制效果，其形式為

(6)

式中KP、KI為控制器的比例和積分系數，KP可以提高電流的響應速度，KI用來消除靜態誤差。對于數字控制系統，必須考慮由數字控制引入的延時，結合功率放大器的調制原理，延時通常為1.5個開關周期[20]，因此在傳遞函數中需要加入e-1.5Ts的延時環節。

輸出電流由互感器檢測并轉換為電壓信號用于反饋控制，該環節用增益KS來表示，通常情況下傳感器及其檢測電路帶有低通濾波器，可以由一個一階慣性環節來描述，表達式為

(7)

式中Ti為慣性環節的時間常數。

2 電流環控制系統穩定性分析

功放電路環的主要參數如表1所示，根據圖1所示閉環控制系統，代入表1中的參數，研究兩種負載情況下磁懸浮勵磁電流控制系統的穩定性。

表1 功放電路環的主要參數

首先，疊片定子結構(整數階負載)時，電流環控制系統閉環傳遞函數的特征方程為

1+KVC(s)G1(s)H(s)=0。

(8)

以KP為變量求解出考慮延時環節及不考慮延時環節的根軌跡曲線如圖4所示，圖中KP的變化范圍為0.1～5。可以看出，若不考慮控制延時，整數階系統在整個比例系數的調節范圍內都穩定，而考慮延時環節后，系統有一對特征根在KP>2.65后跨越至正半平面，可知系統在KP∈[0.1, 2.65]范圍內保持穩定。

在參數不變的情況下，代入實心定子(分數階負載)的數學模型式(5)重新計算閉環系統根軌跡，結果如圖5所示。根據分數階系統穩定性判據定理，系統穩定的充要條件為

(9)

式中α為所含分數階的階數，即對于式(5)所示分數階系統，每個特征根相角的絕對值大于45°，則系統穩定，如圖5所示。可以看出，若不考慮延時環節，系統在整個KP變化范圍內始終穩定，而考慮延時環節后，當比例系數KP增大到0.75時，系統將失穩。對比整數階負載控制系統，KP穩定的范圍大幅減小。

3 控制器設計及仿真

磁懸浮定子采用實心結構并考慮渦流效應后，磁懸浮定子線圈負載由一階慣性環節變為分數階環節，系統的控制性能發生較大改變，文中以系統的相位裕度為優化目標對控制器參數進行設計。

根據圖1所示勵磁電流控制系統的結構，系統開環傳遞函數的頻率形式為

GH(jω)=C(jω)G2(jω)H(jω)。

(10)

在此基礎上給定系統相角裕度φm，并按以下條件對控制器參數進行整定：

1)控制系統開環傳遞函數截止頻率ωc處的相角特性為

Arg[GH(jωc)]=-π+φm。

(11)

2)控制系統開環傳遞函數在ωc處的幅值特性為

|GH(jωc)|dB=0。

(12)

3)為保證系統對增益變化的魯棒性，要求系統開環傳遞函數的相位在截止頻率ωc附近是平坦的，即滿足

(13)

結合以上優化條件，代入表1中的數據，設置相角裕度φm=45°，求解得到優化后PI控制器的參數KP=0.172 8、KI=730.170。將該控制參數代入系統，可得優化后控制系統的開環、閉環Bode圖如圖6所示。經計算，優化后控制系統的截止頻率ωc=4 236 rad/s、相角裕度φm=44.99°、閉環系統的帶寬為8 500 rad/s，性能滿足磁懸浮控制系統要求。

為驗證理論分析的正確性，在MATLAB/Simulink平臺建立磁懸浮功率放大器的仿真模型，研究疊片結構(整數階負載)與實心結構(分數階負載)情況下磁懸浮勵磁電流的響應情況。模型中功率放大器使用如式(1)所示的非線性模型，且設置了1.5個周期的控制延時。仿真得到電流階躍響應波形如圖7所示。

圖7(a)為疊片結構(整數階負載)時，不同比例系數控制下磁懸浮勵磁電流的階躍響應波形，可以看出，當KP=0.8時，控制系統性能良好。當KP上升到2.6時，電流的調節時間明顯增大。而KP=2.8時，系統失穩，勵磁電流產生自激振蕩，且該比例系數與第2節中分析相符。圖7(b)為實心結構(分數階負載)時的電流波形，3條曲線分別對應KP=0.17、0.7、0.8。可以看出，當KP設置為0.17時，控制系統具有較好的動態性能，但隨著比例系數的增大，電流波形逐漸變差，當KP=0.8時，系統發生自激振蕩，同樣與第2節中的理論分析一致。此外，當考慮分數階負載時，系統穩定時的比例系數調節范圍明顯小于整數階負載。

4 試驗研究

為驗證數學模型及理論分析的正確性，基于賽米控公司的IGBT模塊SK25GH063建立磁懸浮功率放大器及電流控制系統如圖8所示，并進行試驗研究，以下試驗波形均由示波器實采數據繪制。

圖9為定子采用實心結構(分數階負載)時，改變控制器比例系數得到的輸出電流波形。可以看出，在該負載特性下，當比例系數KP=0.17時，輸出電流能夠很好地跟蹤給定參考電流2 A，系統也具有較好的動態性能。當KP增大到0.6時，輸出電流的超調量及調節時間明顯變大，但最終趨于穩定。而當KP增大至0.7時，輸出電流發生了高頻振蕩，其結果與理論計算值存在微小的偏差(理論計算的臨界點為KP=0.75)，因為實際系統中不可避免地存在測量噪聲等外界干擾。但是，該試驗結果仍然較好地驗證了理論分析的結論，使用實心鐵磁材料時，比例系數增大，系統的穩定裕度降低，更進一步致使電流發生高頻振蕩。

根據前文的分析，采用疊片定子后，磁路中的渦流效應將大幅減小，負載變為一階系統，具有更寬的比例系數調節范圍。為驗證結論，文中更換疊片定子重復上述試驗，其電流響應波形如圖10所示。可以看出，在同樣的比例系數下，系統未出現失穩及自激振蕩現象，與理論分析結果相同，但是同樣可以看出，同樣的比例系數下，電流的響應過程由欠阻尼變成了過阻尼，調節時間明顯加大，可見使用疊片定子時需要配置較大的比例系數，否則動態性能將難以滿足磁懸浮控制的需要。

根據理論分析，數字控制導致延時影響系統的穩定性是引發電流自激振蕩的重要原因。因此，減小控制延時是增加系統穩定性的有效措施。試驗利用模擬電路實現了PI控制及載波比較的功能，在實心定子(分數階負載)上進行試驗，結果如圖11所示，可以看出，在比例系數0.6～1.0范圍內，系統穩定，未出現振蕩現象，且電流響應速度較快，系統具有較好的動態性能。

5 結 論

本文研究了渦流效應對磁懸浮軸承功率放大器性能的影響。文中詳細對比了實心及疊片兩種定子結構，分別建立負載的數學模型，考慮控制系統的延時，研究磁懸浮勵磁電流控制系統的穩定性及動態性能，并通過仿真與試驗對提出的理論進行驗證，可以得到以下結論：

1)實心定子結構的磁懸浮軸承由于渦流效應的影響，其電磁線圈的負載特性表現為分數階的形式，相比疊片的結構(整數階負載)，其幅頻特性表現出更低的轉折頻率和較小的下降斜率。

2)與疊片結構相比，實心定子的結構(分數階負載)對于勵磁電流控制系統的穩定性有負面的影響，其控制器比例系數的調節范圍更小，且勵磁電流更容易發生自激振蕩。

3)對于實心和疊片兩種結構，由數字控制導致的延時對勵磁電流控制系統的穩定性有較大的負面影響，減小該延時能夠較大地提高系統的穩定性。

文中的研究工作存在一定的不足，主要表現在：

1)本文建立負載線圈的分數階模型時，假定所有的磁路都為實心鐵磁材料，而實際的對象只有定子部分使用了實心結構，轉子部分的磁路仍然是疊片結構，導致被控對象的理論模型與實際存在誤差。

2)在分析根軌跡時，雖然考慮了數控系統的延時，但是變換器部分使用了線性模型，與實際的開關功放存在一定的誤差。

3)試驗中存在大量的外界干擾，如開關功放的電磁噪聲、ADC轉換引入的采樣噪聲等，這些未知的噪聲將會對控制系統產生激勵，造成穩定性的下降。

綜上所述，理論模型的簡化以及外部噪聲使得理論分析與試驗結果存在一定誤差，在后續的研究中需要建立更加精確的模型并考慮噪聲的影響。