小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)推理的理論和實踐

朱 瑩

(江蘇省宿遷市南京師范大學(xué)附屬中學(xué)宿遷分校 江蘇 宿遷 223800)

數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，然而對推理的定義和數(shù)學(xué)推理的形式有許多不同的看法。首先分析了理解數(shù)學(xué)推理的4種不同視角，涵蓋結(jié)果視角、過程視角、結(jié)構(gòu)視角、模仿與創(chuàng)造視角。在此基礎(chǔ)上，以小學(xué)階段代數(shù)、比例和空間3個內(nèi)容為例，對數(shù)學(xué)推理能力在其中的具體體現(xiàn)和相關(guān)的推理教學(xué)進(jìn)行了分析。教師可通過在教學(xué)中設(shè)計創(chuàng)造性的推理任務(wù)以及鼓勵學(xué)生解釋與表達(dá)等方式促進(jìn)數(shù)學(xué)推理在課堂教學(xué)中的落實。

1.理解數(shù)學(xué)推理

什么是推理。推理是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式。不同學(xué)者對推理有不同的看法，總的來說，推理與論證、推斷、思考有緊密的聯(lián)系但又有不同。這里借鑒哲學(xué)家圖爾與教育心理學(xué)家莫什曼的觀點，來辨析這些與推理相似的概念，希望能為廣大研究者理解課堂中的推理教學(xué)，特別是數(shù)學(xué)推理提供一些參照。圖爾明認(rèn)為推理的重要特點在于其社會性。具體而言，個體本身及其所處環(huán)境的差異會造成觀點與判斷標(biāo)準(zhǔn)的不同，某一群體中“不證自明”的觀點并非適用于另一個群體，而推理便是人們在交流中為支持與維護(hù)某個主張而批判地檢驗與篩選觀點的過程。圖爾明關(guān)于推理的定義主要強(qiáng)調(diào)個人在推理活動中所處的情境和人際間的互動，注重考慮邏輯結(jié)構(gòu)的完整性和正確性，對學(xué)科知識的正確性涉及較少，其論證模式常常被用作分析學(xué)生論證的評價標(biāo)準(zhǔn)。教育心理學(xué)家莫什曼則從認(rèn)知心理學(xué)的視角對發(fā)展推理所需要的能力進(jìn)行探討，他認(rèn)為推斷和思考是推理能力發(fā)展的前提。推斷是最為基本與普遍的行為之一，例如嬰兒時期根據(jù)聲音推斷物體的位置、從成人的面部表情推斷其情感，在日常的對話、閱讀等活動中都離不開推斷。思考則是有意識、有目的地運(yùn)用推斷解決問題、做出決定、判斷與計劃等，是個體認(rèn)識與控制自己認(rèn)知過程的能力，即原認(rèn)知能力的體現(xiàn)。在具備推斷與思考能力的基礎(chǔ)上，個體進(jìn)行推理還要能夠?qū)⑼普撆c意圖同適當(dāng)?shù)耐普摐?zhǔn)則相結(jié)合，莫什曼稱之為知識認(rèn)知、認(rèn)知心理學(xué)視角對推理的理解，凸顯個體的認(rèn)知能力，以及程序與規(guī)則在推理中的必要性。以上從哲學(xué)和心理學(xué)層面關(guān)于推理的分析，指出了推理的內(nèi)涵和特點。這些觀點既重視推理的主要成分和邏輯結(jié)構(gòu)，也強(qiáng)調(diào)個體在推理活動中的心理歷程。課堂教學(xué)是涉及人的活動，師生與學(xué)生間互動和交流是培養(yǎng)推理的重要方面，它不僅僅是具有個人特質(zhì)的行為，更是由一系列集體性的實踐和準(zhǔn)則所構(gòu)成的活動。因此，數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行推理的教學(xué)，需要了解推理中涉及與學(xué)科知識相關(guān)的主張或結(jié)論、資料，以及理由或論據(jù)，在關(guān)注學(xué)生個體的心理歷程前提下，多鼓勵學(xué)生進(jìn)行推斷和思考，同時也考慮推理過程中邏輯結(jié)構(gòu)的完整性和正確性。下面結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的具體內(nèi)容分析數(shù)學(xué)推理的特點。

2.理解數(shù)學(xué)推理的3種視角

在現(xiàn)有關(guān)于數(shù)學(xué)推理的研究中，存在多種類別的劃分方式，而不同類別與表述的背后所反映出來的實際是研究者對數(shù)學(xué)推理不同方面的關(guān)注。例如，在課堂教學(xué)中應(yīng)將推理視為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果還是學(xué)習(xí)過程本身？推理教學(xué)應(yīng)著重于不同推理結(jié)構(gòu)的理解，還是關(guān)注推理策略得到的方式？下面將結(jié)合前文中提出的邏輯結(jié)構(gòu)與心理特征兩個方面對數(shù)學(xué)推理的界定從3個不同的視角進(jìn)行分析和總結(jié)。

視角1：結(jié)果視角，這一視角更關(guān)注推理中的邏輯結(jié)構(gòu)，著重推理所產(chǎn)出的結(jié)果，將推理視為在任務(wù)解決過程中形成主張并得出結(jié)論的一系列想法，強(qiáng)調(diào)推理所產(chǎn)生的新知識與新成果。這種看法并非否定推理的過程性，更多是出于對觀察與分析便利的考慮，從結(jié)果的視角來定義數(shù)學(xué)推理，看重學(xué)生思考分析、解決問題的結(jié)果。

視角2：結(jié)構(gòu)性視角，側(cè)重在推理中如何從主張走向結(jié)論，著重描述構(gòu)成推理邏輯結(jié)構(gòu)的各個要素及其相互關(guān)系，據(jù)此也有公認(rèn)的3種推理形式，它們是演繹)推理、歸納(inductive)推理和溯因推理。演繹推理和歸納推理是較為熟悉的類型。中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》將數(shù)學(xué)推理是劃分為合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等手段推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運(yùn)算的定義、法則、順序等)出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。最新修訂的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》中進(jìn)一步指出，邏輯推理主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。演繹推理被視為唯一一類能夠得到確定結(jié)論的推理，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中常常涉及的一種推理形式。而歸納推理在實踐中更多表現(xiàn)為對規(guī)律的找尋，通過猜想、尋找模式等提出一個具有一般性的結(jié)果。

視角3：模仿和創(chuàng)造性推理。較之前3種視角，利特納提出的模仿與創(chuàng)造性推理更加聚焦于推理策略得到的方式，也就是更關(guān)注推理中個體經(jīng)歷的心理過程。模仿推理是指通過回想或效仿某些既定程序而進(jìn)行的機(jī)械推理，主要包括記憶推理和算法推理兩類。當(dāng)學(xué)生進(jìn)行記憶推理時，問題解決策略的選擇是基于對一個完整答案的回憶，而策略的實施僅僅是將回憶出的答案抄寫下來。此類推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中也十分常見：學(xué)生將背誦的證明或解題步驟套用于新問題中；也會因“之前的題目有(沒有)這樣的答案”等理由而選擇(拒絕)某種作法。模仿推理中另一類是算法推理，這里的算法并非僅指計算中的步驟或方法，而是泛指一切預(yù)先制定的程序。學(xué)生在進(jìn)行算法推理時，會對全部已知的策略進(jìn)行篩選，在預(yù)測不同策略的可能結(jié)果后作出選擇，策略的實施等其余推理環(huán)節(jié)對于推理者則不太重要，除非由于粗心所造成的計算錯誤，否則一定會得到正確答案。換而言之，識別與選擇合適的程序是算法推理中的關(guān)鍵與主要任務(wù)。不同于傳統(tǒng)的演繹推理和歸納推理劃分，著重于推理邏輯結(jié)構(gòu)的各個要素及其相互關(guān)系，利特納所提出的推理類型更關(guān)注學(xué)生個體在推理中的心理歷程，為理解數(shù)學(xué)推理提供了新的視角，特別是幫助理解學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的過程，比如透過分析學(xué)生的推理過程，可以知道學(xué)生在問題解決過程中的策略和答案究竟是來源于對問題內(nèi)容的分析、比較等，還是僅僅是基于回憶與猜測。總的來說，盡管研究中存在對數(shù)學(xué)推理的不同理解，但還是脫離不開圖爾明提到的推理結(jié)構(gòu)中的各個要素及其相互關(guān)系。不同視角下的推理類型只是更強(qiáng)調(diào)這一邏輯結(jié)構(gòu)的某些部分，這些不同的理解會有助于研究者從不同角度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。例如，重視過程視角的數(shù)學(xué)推理促使教師關(guān)注推理所包含的具體環(huán)節(jié)，重視結(jié)構(gòu)視角的數(shù)學(xué)推理為教師設(shè)計與選擇教學(xué)任務(wù)提供依據(jù)，重視模仿與創(chuàng)造性推理，則能幫助教師對教學(xué)活動中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理進(jìn)行診斷和分析。

3.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)推理的體現(xiàn)

從理論層面對推理的概念進(jìn)行分析后，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)推理作為一種思維方式貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的全過程。因此，教師并非只有在特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容或特定的教學(xué)環(huán)節(jié)才適合培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。不過也應(yīng)看到，對于不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，數(shù)學(xué)推理的表現(xiàn)形式確有不同。故此，結(jié)合國內(nèi)外的相關(guān)研究，對學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中的代數(shù)推理、比例推理和空間推理3種常見的數(shù)學(xué)推理的特點進(jìn)行介紹，并結(jié)合具體的例子為教師如何進(jìn)行數(shù)學(xué)推理教學(xué)提供參考。

3.1 代數(shù)推理。代數(shù)推理往往涉及到對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探索，而這是進(jìn)行一切數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)，而且代數(shù)推理也滲透于日常生活的方方面面，諸如購物中對商品的比較，駕車時對行駛時間的估計，等等。另外，從小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到中學(xué)的一個明顯轉(zhuǎn)變就是正式開始代數(shù)學(xué)習(xí)，這一轉(zhuǎn)換對于大多數(shù)學(xué)生而言往往是十分困難的．研究表明，在小學(xué)階段有意識地培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力能夠為學(xué)生實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換提供相應(yīng)的支持。代數(shù)推理可以視作是對具體的數(shù)字與計算進(jìn)行概括，將所得到的結(jié)論用有意義的數(shù)學(xué)符號進(jìn)行表達(dá)，并對所得到的模式進(jìn)行探索。簡而言之，尋找、識別概括與運(yùn)用潛在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)構(gòu)成了代數(shù)推理的幾個重要方面。其中，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)既可以指代廣義的群、環(huán)、域等課題，也包括由具體運(yùn)算所抽象出的結(jié)構(gòu)、規(guī)則和一般化的算理等。這里主要基于后者對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的定義對小學(xué)階段的代數(shù)推理進(jìn)行分析。小學(xué)階段的代數(shù)推理主要體現(xiàn)在理解符號的意義與數(shù)字的不同屬性，明晰加減乘除運(yùn)算中的算理等。代數(shù)推理的核心是用符號表示出概括的結(jié)構(gòu)，但在正式的學(xué)習(xí)中，代數(shù)通常是以預(yù)定的規(guī)則語法和符號語言呈現(xiàn)，供學(xué)生記憶，學(xué)生幾乎沒有對符號意義及其規(guī)則進(jìn)行探索與表達(dá)的機(jī)會。那么要如何滲透代數(shù)推理？舉例來說，在早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師可采用實物或鼓勵學(xué)生使用自己“創(chuàng)造”的非正式符號表示算術(shù)屬性，如“★+★=2×★”，并對其中的關(guān)系進(jìn)行陳述與解釋。同樣，教師也可通過引導(dǎo)學(xué)生考慮奇數(shù)、偶數(shù)不同組合相加后所得結(jié)果的奇偶性，以促使學(xué)生從關(guān)注“和”的多少，到對“和”的不同屬性進(jìn)行代數(shù)思考。類似的例子還包括探索加法交換律與乘法交換律等。學(xué)生在這一過程中進(jìn)行猜想、比較與歸納等，在形成意義理解的同時也提高升了推理能力。再如教學(xué)8的乘法口訣，如果只是簡單引入口訣，然后請學(xué)生通過背的方式記憶口訣再應(yīng)用到問題解決中，那么學(xué)生就只是在應(yīng)用簡單的模仿推理。而如果將教學(xué)的過程豐富起來，引導(dǎo)學(xué)生思考并交流討論，提出諸如“八八六十四”這句口訣是怎么來的這樣的問題，學(xué)生就可能提出：(1)8×4=32(4個8相加)，那么8×8=64(8個8相加，就是4個8相加的翻倍)；(2)8×3=24(3個8相加)，8×5=40(5個8相加)，合起來就是8×8=64(8個8相加)等不同的思路，如果從過程的角度來看待這段教學(xué)，學(xué)生就是在經(jīng)歷“通過與自我對話或與他人進(jìn)行對話，而從一個數(shù)學(xué)觀點推斷出另一個數(shù)學(xué)觀點的過程”，這一過程中恰恰可以體現(xiàn)學(xué)生對內(nèi)容的“比較與分析”，創(chuàng)造性地解決問題。此外，“找規(guī)律”的形數(shù)問題也是代數(shù)領(lǐng)域推理能力的體現(xiàn)。小學(xué)階段可通過提供有一定規(guī)律的視覺圖片為學(xué)生提供探索與建立數(shù)量間的關(guān)系的機(jī)會。例如，圖4左邊是一種重復(fù)變化模式，為低年級學(xué)生創(chuàng)造了一種簡單的遞歸模式，體驗初步的模式分析與預(yù)測的推理過程；圖4右邊則屬增長變化模式，可以用以引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注“每次增加2淺灰色磚”的數(shù)量變化到提煉出圖形序號同磚塊數(shù)之間的關(guān)系，并對任何序號下的磚塊數(shù)量進(jìn)行預(yù)測。這一過程也能為將來中學(xué)階段的函數(shù)思想的形成奠定基礎(chǔ)。

3.2 巧妙轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語言，完善學(xué)生推理能力。啟發(fā)性教學(xué)，不僅僅是思維的啟發(fā)，還在于語言的啟發(fā)。考慮到這一點，教師可以有效地將數(shù)學(xué)問題和知識點轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，融入課堂課程，激發(fā)學(xué)生在練習(xí)后進(jìn)行語言表達(dá)。例如，在傳授“三角形的面積”內(nèi)容時，老師在課上提出的第一個問題是：“我怎樣才能找到平行四邊形面積的公式？”還要記住平行四邊形面積的公式。之后，老師利用多媒體將兩個大小相同的三角形分成了一個平行四邊形。通過這個，學(xué)生們討論了“這兩個三角形之間的關(guān)系”，這是平行四邊形的基礎(chǔ)。而地球的高和高與三角形的高低又是什么關(guān)系呢？“區(qū)域公式是什么？”在反思的過程中，學(xué)生將圖形知識用語言表達(dá)出來，在演示的過程中，自主推理出三角形的面積公式。

3.3 猜想求證培養(yǎng)學(xué)生推理能力。由于小學(xué)生推理能力的發(fā)展不是一蹴而就的，因此教師在教授推理能力時必須要有耐心，讓學(xué)生有足夠的時間和空間去思考和提高。此外，教師應(yīng)注重實施教學(xué)方法和策略。可以將學(xué)生組織成小組，實施公開的小組教學(xué)方式，讓小學(xué)生大膽預(yù)測，敢于掌控小組合作的意識形態(tài)。并進(jìn)行討論，不斷改進(jìn)。例如，老師研究學(xué)生的一門課：“如果三角形的一邊長5厘米，另一邊長6厘米，那么第三邊是多少厘米？”這道題目的學(xué)習(xí)時，就可以讓學(xué)生結(jié)合教材中所學(xué)的“三角形任意兩條邊的邊長之和大于第三邊、任意兩條邊之差小于第三邊”的定理進(jìn)行合理推算。然后，老師將學(xué)生帶到教室里，讓小組分享和測試他們的假設(shè)。進(jìn)而讓學(xué)生能夠在思維碰撞和多向交流中對三角形的相關(guān)知識有深入的了解。