小學數學教學中表征能力的培養路徑研究

☉彭淑穎

所謂表征能力，即學生在遇到數學問題時能夠從自我認知角度對數學問題內容進行識別，以自己理解的方式應用所學知識快速解決問題的能力。從教學角度而言，表征能力對學生而言意味著學習過程中有效應用知識，能夠基于自身認知理解數學知識并應用其解決問題。就能力培養而言，是否具備表征能力對于學生意味著能否快速解決問題，是否能夠在較為抽象的數學問題解決過程中應用邏輯思維，在實現解題的同時了解問題中包含的知識，具備自我認知下的解題思路。

一、基于實際問題形成表征意識

數學教學中，問題是決定教學方案、推動教學環節開展的主要方向之一，而數學知識的學習與應用正是在解決問題中不斷實現的。從小學生的實際情況來看，他們愿意在數學知識的學習過程中以自身熟悉的事物嘗試解決。例如，在學習加減法的過程中習慣以數手指、數東西的方式來了解數學知識中的內涵，進而學習知識、解決問題［1］。在這種情況下，數學知識的學習對于學生而言意味著從簡單的外在表現到內在的表征，其自身并不知情。教師應切實利用這種現狀實現表征意識的養成，引導學生在學習過程中逐漸應用表征意識解決問題。

以實際為例，教師可在分數相關知識中向學生提出問題，基于生活化教學使學生更容易代入到實際，形成應用表征意識解決問題的習慣，培養表征能力。如提出問題“分蛋糕”，將一塊蛋糕平均分給五位同學，每人分到的蛋糕大小一樣，應該如何分？在這種情況下，學生會通過在紙上繪制出圖形，用圖形均分的方式嘗試解決問題，而教師此時可引導學生，通過數字的方式將每位同學所分得的蛋糕進行表示。在這一過程中，學生會嘗試以小數形式表達，即一塊蛋糕分成五份，每人0．2 份。在此情況下，教師可提出分數相關概念，以表征能力的培養作為主要目的，引導學生在分數知識的學習中首先了解分數的表現方式，仍通過“分蛋糕”的問題展開分析，嘗試通過不同的人數、不同的分法引導學生注意問題所在，如在1/2的表達過程中，教師可引導學生通過表征意識以自己理解的方式將分數符號視為“刀”，而這種分數的表達方式即為“切為兩份，每人一份就是1/2”。在這種基于表征展開的理解過程中，學生能夠快速基于表征了解到問題的所在，在問題分析過程中培養表征能力，快速解決問題。于此基礎上，教師再提出“分幾份”問題時，學生便可在問題分析中以表征意識嘗試通過分數呈現內容，如分5 份即為1/5，六份則是1/6，六份中的一半是3/6，也是1/2。在這種情況下，教師引導使學生既能具備表征意識，更嘗試以自主思考作為驅動，通過問題的解決實現發展。

二、概念理解中的表征能力培養

數學本身較為抽象，學習過程中需要學生能夠準確以自身思維理解概念，并將概念應用到數學問題的解決過程中，實現思維拓展與提升，且知識應用合理、準確。從表征能力培養角度而言，引導學生理解概念的過程便是表征能力培養的過程，教師可基于概念分析引導學生潛移默化地產生表征能力，培養表征能力［2］。這種方式相對于傳統教學而言意味著學生能夠在學習過程中以自身所見所聞對較為書面化的數學知識實現主觀理解，在主觀分析中實現應用，牢記相關內容的同時更提升知識的應用性，對教學而言意味著教學效率提升，與當下的教學理念契合度較高，能夠以此作為教學方式，既實現表征能力的培養，亦使教學具備較高效率。

以實際為例，在面積相關知識的教學過程中，教師便可在概念分析階段形成表征能力的培養，以此使學生能夠將較為抽象的數學知識轉變為具象化的思考內容，進而在教學過程中實現表征能力培養，引導學生在潛移默化中具備一定的表征能力［3］。這種能力對于學生而言在此階段尚處于一種直觀、主觀的意識，但已經初步形成表征能力。如教師向學生提出問題：“我們應該怎樣描述一個物體的大小？”進而以學生日常學習、生活可見的事物作為描述對象，如嘗試描述教學白板的大小、課桌桌面的大小，在引導學生通過語言描述面積的過程中嘗試通過概念代入來實現表征能力的培養。在這種情況下，學生紛紛舉出一些他們見過的、能夠直觀感知到的物體大小，如地板的大小、墻面的大小等。于此基礎上，教師逐漸以教學手段引導學生，通過一些單位的代入與計算引導學生發現教學白板的大小大概是四扇窗戶的大小、一面墻的面積大小是兩塊桌面的面積等。在此過程中，教師還可引導學生用筆盒、書本來測量桌面、教學白板的大小，進而在實際動手操作中了解到桌面是“六本數學書”“十個筆盒”的大小，最終引入面積概念，通過計算方式引導學生掌握知識。在此過程中，學生已經能夠發現其選擇的物品大小不同會使最終發現的物品呈現出“x 個……”的變化，教師亦可引導學生了解面積測量過程中的基本計量單位，在學習知識的同時實現知識復習。

三、創新引導形成表征感知

就傳統教學模式而言，學生表征能力常常與思維能力混為一談，教學過程中亦沒有針對表征能力展開培養的策略。以此而言，教學中常常因為教師缺少較為有效的引導方式，使學生僅僅停留在表征能力的形成階段中，無法實現表征能力的提升。因此，若想實現小學生數學表征能力的培養，還需基于實際通過創新引導使學生熟悉基于表征方式解決問題，進而在學習過程中獲得較為有效的發展，更為快速地掌握數學知識、應用數學知識［4］。舉例而言，這種創新引導的方式應基于邏輯關聯實現，即引導學生在培養表征意識的過程中掌握邏輯知識，進而基于邏輯在意識層面上實現提升與發展，使這種知識在邏輯過程中逐漸形成完整的知識架構，進而基于表征實現從思維——邏輯——認知——代入，進而解決問題的良性循環。由此，教師在數學教學中應以解題能力的提升實現表征能力培養，通過引導發展思維能力，進而引導學生在面對數學問題時第一時間感知到表征方向，應用表征能力解決問題。

以實際教學環節為例，在三角形相關知識的學習中存在大量習題，這些習題多以不同的三角形面積計算、三角形邊長或是對應某一角的計算形式出現。因此，在問題解決過程中，教師可基于此展開引導，以問題驅動表征能力的提升。如在問題解決過程中，若是學生難以基于表征方式產生聯想，教師可引導其在復習知識的過程中通過基礎知識實現對三角形三邊關系的分析與理解，通過不同形式小木棒構成三角形的方式引導學生在問題中回顧知識、解決問題。由于學生通常難以解決問題，教師可通過對應內容的解決實現引導，在學生嘗試將不同長度的小木棒拼接成三角形的過程中引導其感知三角形三邊關系，通過小木棒的選擇、分析，復習三角形三條邊的定理，即兩條邊的長度和必須應大于第三條邊，只有這樣才能構成一個三角形。于此過程中，學生通過小木棒拼接了解知識，在學習過程中通過不斷嘗試、不斷選擇最適合的表征培養感知意識，進而通過內化實現從知識到實際、從實際到了解的過程，在組成三角形的過程中探索發現，將實際聯系問題，進而在解決相關問題的過程中通過表征能力舉一反三，合理解決問題的同時促進自身對問題的感知，熟練應用表征能力結合知識解決問題。

四、以思維拓展促進表征能力提升

思維是表征能力的基礎，更是教學開展的基礎。從教師角度而言，表征能力的基礎在于學生的靈活思維、直覺思維，屬于感性思維，數學學習需要抽象思維、理性思維。從這一點來看，以數學教學、表征能力培養為基礎的教學則是將感性思維與理性思維結合的基礎［5］。因此，教師還需拓展學生思維，在學生具備表征能力的基礎上使其實現多元化展現，避免對學生思維產生拘束的同時影響其思維拓展與提升。教師可在教學過程中以個體特點、集體特點實現對學生表征能力下的思維培養，以提升思維邏輯的靈活性，選擇更為有效的方式展開培養。以實際為例，圓錐相關知識是學生在學習過程中較難理解的部分，教師需針對實際，以學生個體操作中得出的感想、集體交流中碰撞產生的思維火花實現表征能力的培養和提升。如引導學生以小組為單位展開操作，結合多媒體教學設備引導學生在圓錐“倒水”的環節中了解圓錐與圓柱的區別，基于以往知識形成每位學生的表征能力提升，引導其實現個體發展。

除此以外，教師在思維拓展引導的過程中還可基于學生的自主探究能力實現表征多元化，即基于學生的自主學習意識實現表征能力的培養，通過鼓勵學生的方式引導其找到最適合自己的能力提升方式。從小學生的特點展開分析，他們在表征能力應用的過程中習慣以自身最適合的方式進行學習、解決問題，而每個學生的成長環境、邏輯方式不同，表征上的展現也就存在著差別。在這種情況下，教師還應以鼓勵的方式實現引導，鼓勵學生在以表征方式解決問題的過程中積極探索、思考，通過不同的表征類型得出不同的解題方式，于解題過程中不僅鍛煉自身表征能力，更實現思維方面的舉一反三。以實際為例，在解題過程中常常有不同的解法，而這種不同情況的出現在于學生思考問題的方式不同，也就意味著他們在表征內容的選擇上存在差異［6］。作為教師應鼓勵這種差異，并且在條件允許的情況下引導學生展開交流，以創新方式實現表征能力的培養。如在兩位數乘法的學習過程中，學生常常在計算過程中難以應用簡單的表征方式，相對而言更喜歡應用一些取整數、基于以往所學知識的方式展開計算。如在問題“26 個同學去坐過山車，門票25 元一位，那么要花費多少錢？”中，學生學習兩位數乘法后的計算方式多為25×26=650元，而一些數學基礎扎實的學生更愿意計算25×30-25×4，首先取整數，然后計算差額，最終結果與基礎計算內容相同。從教師角度而言，這種計算方式可能較為麻煩，需要計算兩次。對于學生而言，這種計算方式意味著由其表征形式展開的計算，通過更為有效的方式進行計算后能夠得出“與其他人不一樣”的計算方式，對于小學生而言意味著發現。在這種情況下，教師應鼓勵其計算發現，并且嘗試通過教學說明此類計算方式的有效性，引導學生參與并且嘗試，實現思維能力提升、表征能力提升。

總而言之，本文對數學表征能力展開分析，通過培養小學生表征能力的教學方法、教學途徑展開研究，發現表征能力的培養在于教師引導，更在于學生通過教師引導親身參與到學習中，從自主角度自發實現學習，于數學學習過程中主動應用思維邏輯解決問題。從實際情況來看，小學生的興趣與習慣決定其在知識學習中的行為，教師需要注意這一情況，還需結合實際基于學生個體情況、集體共同點展開教學，在專注個體的同時以集體作為教學參照，通過恰當的教學方式，潛移默化地實現學生表征能力的形成與提升。