預科高等數學課程思政教學探索①
——以拉格朗日中值定理為案例

王 旭，苗 麗，汪文帥

（1.寧夏大學民族預科教育學院，寧夏 銀川 750002；2.寧夏大學數學統計學院，寧夏 銀川 750002）

習近平總書記指出：“要提升思想政治教育親和力和針對性，滿足學生成長發展需求和期待，其他各門課都要守好一段渠、種好責任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應?！盵1]

長期以來，高校思想政治教育與專業知識教育相互隔絕，普遍存在將高校思想政治工作當作思想政治理論課的事，或將思想政治教育看成輔導員、班主任和黨團組織的事，各類課程教師主要是給學生傳授系統的知識，忽視或不重視育人的崇高使命，出現“教書”和“育人”相互脫節的現象。在高校思想政治教育工作面臨環境愈加復雜的今天，越來越多的高校教育工作者認識到，單純依靠德育課或思想政治理論課已很難適應思想政治教育的現實發展需求，也不利于“立德樹人”目標的實現。

一、課程思政理念的誕生

如何打破長期以來思想政治教育與專業教育相互隔絕的“孤島效應”，將“立德樹人”貫穿高校教學全過程、全方位、全員之中，推動思政課程與課程思政協同前行、相得益彰，構筑育人大格局，是新時代中國高校面臨的重要任務之一。在這樣的背景下，課程思政的理念與實踐應運而生。

課程思政將思想政治教育的精神融入所有專業課程中，構建各類課程與思想政治理論課同向同行、形成協同效應的思想政治理論教育課程體系。近年來，這種教育教學理念得到廣泛關注，相關研究主要體現在課程思政的內涵、高校課程思政建設實施路徑以及課程思政建設存在的問題和原因等方面。

（一）課程思政的內涵

邱偉光認為課程思政就是讓高校所有課程發揮思政作用，高校所有教師引導學生把所學知識內化于心，外化于行[2]。高德毅認為高校課程改革的各個環節都要把對大學生進行的思想政治教育融入課程思政，強調“課程承載思政”與“思政寓于課程”[3]。石書臣則從課程思政與思政課程的維度進行辨析，認為它的本質就是一種課程模式，是以潤物無聲的途徑將思政元素融入正常課程教育教學之中，這種融入是全流程、全方位的，相比之前的德育教學更加立體[4]。趙鶴玲認為課程思政是將立德樹人視為教育基本任務的綜合教育理念，是一項系統工程，認為它從根本上回應了“培養什么樣的人、如何培養人以及為誰培養人”的根本問題[5]。

（二）課程思政建設實施路徑

石麗艷從協同育人的角度提出促進高校課程思政建設的實施路徑，認為全面挖掘德育思政元素，應在構建全面思政體系上下功夫，形成各地區之間、各高校之間、各專業課程之間的課程資源協同育人機制；應在打造立體育人格局上下功夫，充分發掘課程體系德育元素；應在創新課程思政方法上下功夫，引導教師自覺踐行立德樹人理念[6]。陸道坤認為應該以課程為載體，將思想政治教育的原則、要求和內容與課程設計、教材開發、課程實施、課程評價等有機結合起來[7]。趙鶴玲從挖掘課程思政元素、找準學生興趣點、教師思想道德修養和交流、頂層設計四個方面給出了高校課程思政建設的對策建議[5]。楊守金和夏家春提出了高校課程思政建設的幾個關鍵問題：明確分工協作育人的理念；確立分工協作育人聯動保障制度；抓好課程思政協作育人的關鍵環節[8]。

（三）高校課程思政建設存在的問題及原因探析

石書臣認為長期以來，實用性、知識性課程更受重視，而教導做人的思想政治教育課程受到忽視，甚至不受歡迎，特別是在一些專業課教育教學中輕視、忽視思想政治教育已經成為一個傾向[9]。趙鶴玲指出，當前課程思政面臨的困境主要表現為思政課程大多采用傳統大班教學，理論知識與實踐結合不緊密，課堂缺少活力。專業課教學與思想理論課長期存在分離的情況，部分專業課只注重專業知識的教學，而忽視了學生思想道德的培養[5]。陸道坤從課程的視角分析課程思政在建設過程中存在問題的原因，他認為高校課程思政建設缺乏長久規劃、缺乏系統規劃、缺乏專業師資隊伍、缺乏科學合理的評價體系和制度、缺乏課程間有效分工協作是制約高校課程思政建設的重要原因[7]。

二、預科數學課程思政的實施背景

預科教育作為高中向本科的過渡階段，進行思想政治教育和文化課程學習的同時，還應進行民族團結教育，促進各民族交往、交流、交融，鑄牢中華民族共同體意識?？紤]到預科階段的特殊性，探索適合預科生的課程思政教學策略顯得尤為必要。

目前，寧夏大學民族預科教育學院主要開設大學語文、大學英語、高等數學等必修課。其中，預科高等數學課程的大致內容為：函數與極限、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、不定積分和定積分及其應用。這些內容起到了銜接高中與大學數學課程的作用，其思想與大學的數學課程相同，從思想上引導更能激發學生對數學課程的興趣，達到循序漸進的效果，因此這些內容成為融入課程思政的最佳載體。對于理科生而言，高等數學課程培養的思想、方法和興趣，同樣適用于本科相關數學課程及專業課程的學習，是學生后續進入本科專業學習的基礎；對于文科生而言，更能讓他們體會數學思想和文化，文理融合，培養兼具人文和科學素養的復合型人才。因此，預科高等數學課程在預科階段的地位十分重要。然而，如何通過課堂教學主渠道探索適合預科生的高等數學課程思政教學模式，這就需要結合教學內容，充分挖掘課程所蘊含的思政元素，融思政和課程于一體。因而，關于預科高等數學課程思政的教學探索與實踐的研究也顯得尤為必要和迫切。

預科數學課程思政建設研究成果主要體現在兩個方面。一是在預科數學課程融入課程思政的教學策略和具體路徑研究方面，沈俊探討了使預科生更好地理解數學知識、掌握數學技能、領悟數學思維的教學模式[10]，王勇兵從思政意識、思政元素和思政實踐三個方向提出了預科數學課程與思政教育融合的具體路徑[11]，李想調查研究了上海理工大學一年制預科生的學習特點，結合其學習效果提出了融入課程思政的高等數學教育教學策略[12]。二是在某個知識點的課程思政教學研究方面，趙娟等以函數的連續性為例，結合教學內容，以外交故事、自然現象等巧妙地滲透文化自信、價值引領，給出融入課程思政的教學策略[13]。由此可見，思政元素具體如何融入課堂教學設計的研究才剛剛起步，還有很大的研究空間。

三、拉格朗日中值定理的課程思政教學設計

微分中值定理一節包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，知識體系完整，蘊含思政元素豐富，知識體系和思政元素結合緊密。本文以拉格朗日中值定理的課程思政教學為案例，探討如何將思政元素融入課堂教學，達到知識傳授與價值引領的統一，最終達到“立德樹人”的目的。

首先引導學生回顧前一節所學羅爾定理的條件與結論：

如果函數f（x）滿足：

（1）在閉區間［a，b］上連續；

（2）在開區間（a，b）內可導；

（3）端點處的函數值相等，即f（a）=f（b）；

那么在（a，b）內至少存在一點ξ（a＜ξ＜b），使f′（ξ）=0 成立[14]。

此時，引出拉格朗日中值定理：

如果函數f（x）滿足：

（1）在閉區間［a，b］上連續；

（2）在開區間（a，b）內可導；

那么在（a，b）內至少存在一點ξ（a＜ξ＜b），使得f（b）-f（a）=f（ξ）·（b-a）成立[14]。

進一步引導學生比較拉格朗日中值定理和羅爾定理的條件和結論，學生發現兩個定理內在聯系緊密，可嘗試用羅爾定理證明拉格朗日中值定理。證明的關鍵在于構造函數 φ（x），使得 φ（a）=φ（b）。下面結合函數圖像，引導學生體會，構造函數的關鍵是函數f（x）與弦AB 在區間端點是重合的。抓住此關鍵點，可以構造滿足要求的輔助函數，利用羅爾定理可證明拉格朗日中值定理。

它們在動！猛然意識到了這一點，他的汗毛都炸了起來，本能地向下一縮身子，四只節足彎曲蓄勢，另外兩只則高高揚起，橫斜在身前，做好了隨時攻防的準備。

進一步引導學生思考如下問題：常數的導數為零，那么它的逆命題成立嗎？

逆命題：如果函數f（x）在區間I 上的導數恒為零，那么f（x）在區間I 上是一個常數。

引導學生分析：如果對于任意x1，x2∈I，均有f（x1）=f（x2），這樣根據x1和x2的任意性，可知f（x）在區間I 上是一個常數。

怎樣證明f（x1）=f（x2）？引導學生進一步理解拉格朗日中值定理的實質，即函數增量和導數之間的關系，學生嘗試利用拉格朗日中值定理給出證明：

函數f（x）在［x1，x2］上連續，在（x1，x2）內可導，因而利用拉格朗日中值定理可知f（x2）-f（x1）=0，即f（x2）=f（x1）。

有了這個命題的證明后，教師引導學生嘗試證明不等式：

分組討論，教師根據討論情況適時啟發：拉格朗日中值定理的實質是什么？函數增量如何構造？結合問題實際，巧妙利用ln1=0，就可找到破解問題的關鍵：構造函數f（t）=ln（1+t），t∈［0，x］，利用拉格朗日中值定理證明該不等式。

至此，拉格朗日中值定理的引入及定理的內容、證明和在解題中的具體應用已講解結束。類似拉格朗日中值定理的學習方法，引導學生思考如果改變拉格朗日中值定理條件和結論是否會產生一個新的定理？引導學生通過思考、質疑自學柯西中值定理，并引導學生理解二者之間的關系，即柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣。通過這節課的學習，一方面學生自然地明白了羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的關系；另一方面這節課所學到的學習方法，尤其是以思考質疑的方式提出問題、分析問題和解決問題的方法，均適用于其他課程的學習或者實際問題的解決。

四、拉格朗日中值定理教學中體現的思政元素

（一）思考質疑的精神

羅爾定理中，f（x）在閉區間上連續、開區間內可導容易滿足，但讓端點處的函數值相等，即f（a）=f（b），這個條件是相當特殊的。教師引導學生思考如下問題：端點處的函數值相等，太特殊，它使羅爾定理的應用受到限制。如果去掉這個條件，會產生怎樣的結果？

如果把f（a）=f（b）這個條件去掉，但仍保留其余兩個條件，并相應地改變羅爾定理的結論，也許會有一個新的發現，這個發現其實就是拉格朗日中值定理，在微分學中具有十分重要的地位。

由此可見，通過思考和質疑，才能使學生更好地把握和理解這個定理的思想，增強自信，培養興趣。在預科期間塑造的數學思想、方法和興趣，同樣適用于本科階段數學課程及相關專業課程的學習。

在學習過程中，還可進一步引導學生查閱數學史或數學文化方面的著作，了解羅爾、拉格朗日和柯西的生平和成就，體會他們的科學精神。

無論時代如何變化，思考質疑的精神、自學的能力都會讓學生受益一生。思考質疑是大學精神所在，自學能力也是學生成才之本。在以后的工作和生活中，學生才更能想干事、能干事、干成事，沒有等出來的精彩，只有干出來的輝煌。剛好印證了習近平總書記所講的“社會主義是干出來的，幸福是奮斗出來的”。

（二）求真務實的作風

利用羅爾定理可證明拉格朗日中值定理。類似羅爾定理，大多數學生可試著給出拉格朗日中值定理的幾何意義。通過拉格朗日中值定理的提出、證明、幾何意義和具體應用的學習，提高了學生認識問題、分析問題和解決問題的能力。學生進一步感悟到只有掌握定理的實質，結合具體情形，具體問題具體分析，才能正確解題。解題如此，做事、做人何嘗不是如此？因而，學生的思想認識從具體的數學問題上升到學思結合、知行合一和求真務實的做人做事態度，體會到應該踏踏實實學習，從點滴做起。點滴浸潤，微力無邊，引起思想、學習和生活發生大的變化，量變引起質變，力爭完美，止于至善。這樣的課程思政教學設計自然地潤學生于無聲處，課程教學和思政教育無縫銜接，協同育人。

（三）謙虛謹慎的態度

羅爾定理中，端點處函數值相等，這個條件很特殊，結論也很特殊。利用數形結合的思想方法，可將羅爾定理的條件變得更寬松，結論更一般，然后進行證明?？梢罁栴}的幾何意義或定理的結論來構造函數，看構造的函數是否滿足羅爾定理的三個條件，然后利用羅爾定理證明拉格朗日中值定理。證明定理的思想和方法同時也體現了做學問的精神，即大膽假設，小心驗證。

通過后面內容的學習，我們發現形式更一般的拉格朗日中值定理就是將要學習的柯西中值定理。定理的條件、結論以及證明與羅爾定理和拉格朗日中值定理是類似的。因而，通過微分中值定理的學習，可在具體的情景中，培養學生謙虛謹慎的態度。這種優秀的品質可使學生更加理性，更能合情合理地處理生活、工作中的問題，讓學習、生活更美好。

（四）堅持不懈的習慣

羅爾、拉格朗日和柯西都是著名的數學家，我們來簡單了解他們的成就。

羅爾（1652—1719），法國數學家。著名的有羅爾定理，出版著作《方程的解法》。

拉格朗日（1736—1813），法國著名數學家、物理學家。在數學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數學方面的成就最為突出。

柯西（1789—1857），法國數學家。在數學領域有很高的建樹和造詣。很多數學定理和公式以他的名字命名，如柯西中值定理、柯西不等式、柯西積分公式等。

微積分的創始人之一牛頓說過，科學研究雖然是艱苦而又枯燥的，但要堅持，因為它給上帝的創造提出證據。我們認識到，科學家發現真理貴在堅持，是堅持成就了他們的人生。

因而，只有堅持思考、努力上進，才能更好地理解定理的精髓，取得新的進步。就像下象棋一樣，日更一卒，長尾積累，鍥而不舍進行預科高等數學課程的學習。只有通過長期堅持不懈的努力，才能成就未來，成就人生。

五、結語

本文在充分厘清課程思政的提出背景、內涵和實施路徑，高校課程思政建設存在的問題及原因的基礎上，以預科數學課程思政建設現狀為出發點，以預科高等數學課程中的拉格朗日中值定理教學設計為案例，充分挖掘其所蘊含的課程思政元素。通過課堂教學主渠道，培根鑄魂，啟智潤心，在講授知識點的同時，培養學生思考質疑、求真務實的科學精神，錘煉他們謙虛謹慎、堅持不懈的精神品質。這些精神和品質適用于個人的發展，亦適用于強國建設的需要。

同時，該課程的其他內容如極限與連續、導數與微分、不定積分和定積分等知識中都蘊含著豐富的思政元素，教師可結合授課內容，充分挖掘課程中所蘊含的思政元素，探索適合預科生的高等數學教學模式和培養模式，促使預科和本科的無縫銜接，達到課堂教學與思政教育的協同效應。如此，通過課堂教學主渠道，達到教書育人和立德樹人的目的，更好地培養少數民族人才，更好地為民族團結服務，更好地為社會繁榮發展服務，更好地為國家的長治久安服務。