高中數學建模課程體系構建與實踐探索

姚育青 蘇圣奎，2

（1.廈門第六中學，福建 廈門 361012；2.福建師范大學數學與統計學院，福建 福州 350117）

數學建模作為用數學語言表達現實世界的核心素養，是實施跨學科教學的融通工具，也是實施創新人才早期培養的有效載體.廈門第六中學教師團隊以跨學科融合的現實問題為研究對象開展數學建模教學活動，引導學生經歷數學建模的思維與實踐過程，探索問題解決的最優化方案，在發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的實踐中培養學生的數學應用能力、創新思維、合作精神和核心素養.經過多年教學實踐，研究團隊總結提出以“數模三階課程”培育創新人才的理論架構與實踐路徑，研究成果獲得2020 年福建省基礎教育教學成果一等獎，在推動高中育人方式改革方面邁出了堅實的步伐.

一、面向全體學生，構建進階課程

數模三階課程根據學習進階（Learning Progression）理論開展課程設計，面向不同層次的全體學生，內容包括數學建模必修課程（初階課程）、研究性學習課程（中階課程）和STEAM 校本課程（高階課程），［1］在課程內容、學習對象和學習目標上均呈現逐級進階的特征.

初階課程以高中數學教材的必修內容為主，面向全體高一學生，旨在讓學生了解數學建模基礎知識與方法，體驗數學建模活動的全過程；中階課程以特定的熱點問題和項目為研究對象，結合MATLAB、Excel、幾何畫板等常用軟件和數學建模方法進行案例分析，面向研究性學習選修數學建模的高一、高二學生，幫助學生積累數學建?；顒咏涷?；高階課程則面向具備創新潛質和一定數學建模活動經驗的高二、高三學生，根據這部分學生自主提出的創新性問題或項目需求，開展科學（Science）、技術（Technology）、工程（Engineering）、人文藝術（Art）與數學（Mathematics）相融合的STEAM 項目研究，促進學生具備綜合運用跨學科知識和技能解決創新性問題的能力.下面以初階課程中的高中數學人教A 版（2019 版）教材的必修（第一冊）的數學建?；顒印敖⒑瘮的Ｐ徒鉀Q實際問題”第一課時為例，簡要闡述數學建模教學的實施流程.

基于45 分鐘的常規課時難以保證數學建模教學的延續性和可操作性，本節課將數學建模案例分析和團隊活動有機整合成一節90 分鐘的大課，作為數學建模初階課程的入門基礎課.課堂教學內容以教材中的“茶水口感”問題作為數學建模的入門案例，引導學生構建數學模型解決實際問題，體驗數學建模的關鍵流程.問題如下：中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產生最佳口感.那么在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？

（一）獲取數據，畫圖分析

數據的采集是科學研究的重要環節，數學建模教學要引導學生通過自主實驗和權威渠道獲取數據，明確數據的來源、類型、范圍、數量、選取依據和處理方法.針對上述問題，教師引導學生運用函數思想，將采集的數據（見表1）轉化為平面直角坐標系中的點，借助函數圖像進行分析，探索溫度隨時間變化而變化的規律.

表1 茶水溫度數據表

（二）提出假設，建立模型

事物之間的聯系紛繁復雜，需要人們找到解決問題的核心要素，去除干擾因素，探尋問題的本質，數學建模亦是如此.模型假設的關鍵是理清什么能夠研究，什么不能研究，找出關鍵變量，去掉不能研究的變量.本問題假設茶水溫度隨時間的變化過程中，不受天氣和容器保溫、散熱效果等因素的影響，并確定時間變量為x（min），溫度變量為y（℃）.根據已畫出的散點圖，經過探究分析，學生可選擇的函數模型有反比例型函數y=+25(k>0,a>0,x>0)、指數型函數y=kax+25(k∈R,0

（三）求解模型，擬合檢驗

以指數型函數y=klogx+25(k∈R,0

表2 茶水溫度實際值與估計值對比表

圖1 茶水溫度擬合曲線圖

（四）應用模型，優化創新

應用模型y=60 × 0.9227x+25(x≥0) 來回答“剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到60℃？”這個問題.此時，只需將y=60 代入y=60 × 0.9227x+25(x≥0)，求得x=log0.9227，借Excel 軟件中的LOG 函數工具進行計算（見圖2），得到x≈6.6997，從而得出結論：剛泡好的茶水大約需要放置7 分鐘能達到最佳飲用口感.

圖2 基于STEAM 的數學建模素養水平評價指標模型

圖2 Excel 軟件輔助對數計算

從結論來看，7 分鐘的放置時間與人們日常飲茶的習慣和生活節奏不盡相同，如何改進和優化現實問題，用創新思維解決數學建模過程中有研究價值的問題，是數學建?；顒优囵B學生創新能力的關鍵環節，這個過程需要教師適時引導，激發學生創新潛能.例如，教師可引導學生討論在不影響茶葉營養成分的前提下，如何更快達到茶水的最佳飲用口感；又如，選擇生活中常見的三款茶葉，研究對比不同茶葉達到最佳口感的溫度和時間，為消費者提供建議.

（五）展示成果，感悟價值

學生經歷數學建模的核心過程之后，需要用語言和文字表述研究過程和結論.課堂上可以通過讓學生以紙質海報的形式呈現研究成果，并對研究成果以語言陳述的方式來展示，旨在鍛煉學生膽識的同時，提升學生自信心和綜合素質.在引導學生總結數學建模解決現實問題流程的基礎上，還要讓學生對比傳統數學解題與數學建模的差異，從面對的問題、有無標準答案、參與對象、實現目標、成果形式五個方面呈現出數學建模的開放性、創新性、合作性、應用性和學術性特征（見表3），促進學生認知的升華，感悟數學應用價值.

表3 數學建模與數學解題的優勢特征對比

二、開展多元活動，促進人才培養

學校在開設“數模三階課程”的同時，以激發學生興趣和創新潛質為導向，構建中學數學建模綜合活動平臺（見表4），包括數學建模實驗室、數學建模社團、校企合作創新實踐基地、IMMC 國際數學建模挑戰賽、京師數學建模教育實踐基地和廈門地區數學建模聯合研習活動等活動載體，匯集教學、實驗、交流、競賽與成果展示等多樣化功能，讓學生在社團活動中交流合作，在實驗室探究實踐，在實踐基地應用創新，滿足不同層次、不同階段、不同特點學生的學習需求，形成校企協同育人的育人模式.例如，學校與傘具生產企業建立校企合作創新實踐基地，組織數學建模社團的學生到企業開展社會實踐活動.學生在企業親身體驗傘具的組裝流程，與企業工程師交流多功能雨傘的創意設計，包括傘巢優化、太陽能風扇、儲電充電、紫外線監測、實時定位等，融合數學、物理、信息、工程等學科知識開展綜合建?；顒?，并在企業的幫助下將研究成果轉化為產品.

表4 數學建模綜合活動平臺

三、參加各類比賽，檢驗教學成效

學生經過“數模三階課程”的學習和“數學建模綜合活動平臺”的磨煉，體驗了數學建模活動的全過程，積累了一定的活動經驗，初步具備獨立解決問題的能力.此時，教師可以為學生創造機會，在更大的交流平臺中進行交流和展示，檢驗數學建模教學活動效果.近六年來，廈門第六中學組織學生參加各類數學建模和科技創新比賽，例如IMMC 國際數學建模挑戰賽、全國青少年科技創新大賽、上海地區數學建模聯?；顒?、福建省“互聯網+”大學生創新創業大賽萌芽賽道等比賽，通過競賽促進教學，普及數學建模教育，成效顯著.

數學建模和科技創新比賽都以提交研究論文作為參賽的基本條件，參賽隊伍可根據實際情況，提交程序算法、實物模型、軟件模型、查新報告、專利、圖片、視頻等附加材料來提升項目的綜合質量.以下從備賽、參賽和評價三個環節進行簡要闡述.

（一）“軟硬”兼施，備戰賽事

在“硬件”方面，要為學生提供比賽的專用時間、空間和硬件設備.一是時間管理，數學建模比賽從賽題公布到提交參賽論文是有時間限定的，一般為3-4天.科學分配比賽時間是成功提交參賽論文的關鍵，指導教師應協調好學生日常學習和參賽的關系，為學生提供連續的比賽專用時間.二是場地設備，數學建模比賽一般在專用的計算機教室或者數學建模實驗室里進行，學生在專用場地利用計算機進行編程、計算、文檔編輯，并使用相關的實驗設備采集數據、模擬實驗、檢驗結論等.

在“軟件”方面，要為學生提供文獻與數據查詢、小組分工、學術規范等方面的指導.一是文獻與數據查詢指導，通過對中國知網、國家統計局等專業文獻網站的介紹，使學生了解獲取文獻和數據的主要渠道，明確相關領域的研究現狀，從而開展具有創新價值的研究.二是小組分工指導，數學建模團隊一般由2-4 人組成，各成員要在問題情境解讀、建模解模、軟件應用、論文撰寫、交流展示等多個環節進行分工，發揮每個成員的特長優勢，相互協作，形成團隊合力.三是學術規范指導，教師要學習數學建模論文的撰寫要求，逐步具備評審數學建模論文的能力，并通過評析優秀數學建模論文的范例，使學生明確寫作框架和學術規范.

（二）重視細節，科學參賽

數學建模競賽一般分為兩個階段：第一階段是網絡比賽階段.這個階段由賽事主辦方發布賽題，參賽隊伍根據比賽要求完成相關任務，并在規定時間內通過網絡平臺提交參賽論文.這個階段指導教師要引導學生制定、落實比賽計劃，包括時間分配，成員分工，階段目標，論文修訂、提交等，督促學生在關鍵時間節點內完成既定任務.此外，參賽隊伍還需留出足夠的時間進行論文修訂和完善，如摘要的提煉、字體字號的統一、參考文獻的規范標注、文檔的排版和美化等.

第二階段是答辯決賽階段.經過專家評審，部分網絡比賽階段的優秀作品將入圍答辯決賽，入圍的參賽隊伍根據要求到答辯決賽舉辦現場以演講的形式展示參賽作品，并接受專家團隊的問辯，專家團隊再根據參賽隊伍的表現進行評審，確定參賽隊伍的比賽成績.這個階段要組織學生開展正式問辯前的模擬問辯，引導學生充分掌握參賽作品中各細節的前因后果，能運用簡潔精煉、富有邏輯性的演示文稿和語言陳述參賽作品的科學性、實用性、創新性和可推廣性，并制作能體現問題本質特征和優點的軟件模型或實物模型輔助講解.在此基礎上，參賽隊伍要關注項目研究的優點、創新點和不足，能客觀、靈活地回應專家提出的問題，做到有理有據，能自圓其說.

（三）綜合評價，激勵成長

評價是教育活動的關鍵環節，是反饋育人成效的核心工具.為了以評價激勵學生發展，深度挖掘學生發展潛質.廈門第六中學教師構建高中生數學建模素養水平評價指標體系，該指標體系依據《普通高中數學課程標準（2017 版2022 年修訂）》有關數學建模核心素養的水平劃分、STEAM 教育理念和數學建模活動的主要過程，［2］在進行專家訪談和問卷的基礎上，制定了“情境解讀”“數學建模”“數學表達”“交流協作”和“技術轉化”等5 個一級指標，15 個二級指標及相對應的4 個水平劃分，結合專家訪談和層次分析法（AHP）確定各指標的權重值，通過對各個二級指標的4 個水平劃分進行賦值，開展數學建模素養水平的量化評價［3］.評價實施過程關注學生課堂、活動和比賽中的過程表現和成績，組織高校專家、企業工程師、家長和學校多學科教師成立評審小組，開展過程性評價與總結性評價，定量評價與定性評價，他人評價與個人自評的綜合評價，促進學生從四基四能向核心素養發展.

四、拓寬推廣渠道，發揮示范作用

自2020 年以來，為了進一步推廣學校的數學建模教學成果，廈門第六中學與廈門市教育科學研究院、福建省學習科學學會聯合舉辦了一年一度的廈門地區數學建模聯合研習活動，組織廈門地區和省內外部分學校的中學生開展數學建模研究性學習活動，活動經歷“課程學習—提出問題—發布問題—問題解決—論文評審—展示問辯”六個階段，其中“課程學習”階段由組織單位提供“數模三階課程”的相關內容；“提出問題”階段由學生組建數學建模小組，結合生活熱點和親身經歷，合作提出一個具有應用價值和創新價值的問題；“發布問題”階段由組織單位提供若干個問題作為數學建模活動的選題，供學生自主選擇；“問題解決”階段由參加活動的隊伍根據數學建模解決問題的過程及論文寫作的規范要求，合作完成一篇數學建模論文；“論文評審”階段由組織單位邀請評審專家對各團隊提交的論文進行評審，評出入圍“展示問辯”決賽的隊伍；“展示問辯”階段由入圍隊伍根據數學建模論文和問題解決過程制作展示研究成果的幻燈片（演示文稿），在決賽現場先完成限時的成果展示，之后回答評審專家有關數學建模成果的提問，促進學生在展示、交流和比賽中成長.

廈門地區數學建模研習活動不僅為區域內外的中學師生提供交流數學思想，展示數學建模素養和創新能力的平臺，又能引導中學生應用數學建模方法探索和解決現實問題，增強中學生數學創新意識，體現數學建?！叭窠∩怼崩砟?，普及數學建模教育，為創新人才的早期培養提供參考途徑.

高中數學建模教學活動引導學生應用數學模型解決具有學科交叉融合特征的現實問題，為學生提供動手實踐、團隊合作和展示成果的機會.數學建模教學旨在引導學生在數學建?；顒又懈形驍祵W應用價值，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，在學數學、做數學、用數學的教學過程中滲透立德樹人的“德育”基礎，營造數學文化和數學價值的“美育”環境，突出對數學思維、數學應用的“智育”培養，落實實踐動手能力和合作創新精神的“體勞雙育”，發揮數學學科育人功能，實現“五育融合”，推進育人方式的改革，促進學生全面發展.