完善“比”的概念定義及其運用于教學

陳士文 周 祥

一、背景、困惑與緣起

除法、分數、比是小學數學中相關聯的教學內容，三個概念接續出現，低年級學習除法，中年級了解分數，高年級接觸到比。教科書中“除法”概念的引入一般是建立在“平均分”的基礎上；“分數”的定義依然是建立在“平均分”的基礎上，并溝通了除法與分數的聯系。顯然，分數是因“分”而來、因“除”而得的。分數的出現，擴展了視野，學生發現除法的結果（商）不僅可以是整數，也可以是有限小數或無限小數。從除法到分數，實質是從整數系到有理數系的擴展。

教材中“比”是這樣定義和規定的：兩個數相除又可以叫做兩個數的比，比的前項除以比的后項得到的商叫做比值，兩個數的比可以寫成分數形式。在溝通比與分數和除法的關系時，教科書及參考書中出現字母表達式和圖表：

既如此，“比”就是“除”，“商”叫做“比值”，“比”又可以寫成“分數”形式，比與除法、分數的不同又在哪里呢？教材中似乎過于強調了除法、分數、比三者之間的聯系，卻淡化了三者之間的區別。筆者思考應該有所區別，并在區別中體現發展。低年級學習除法；中年級掌握分數，分數的出現擴展了學生對數的認識與數的運算；高年級接觸到比了，比的出現帶來認知的擴展與提升嗎？如沒有，又何必多此一“比”呢？即便有此一“比”，又如何解釋下面的問題。

問題一：足球比賽，甲、乙兩隊的比分是0∶3，這是數學中的比嗎？而乙、甲兩隊的比分則是3∶0，這是數學中的比嗎？因為比的后項不能為零，前一個0∶3是比，后一個3∶0就不是比？難道數學的可逆性就這么脆弱？

問題二：教材中有“混凝土中水泥、黃沙、石子的比是2∶3∶5”的表述，請問2∶3∶5是不是比？比不是表示兩個數相除嗎？教材是不是自相矛盾？連比又怎么理解？

問題三：甲、乙兩數分別是-2和5，甲、乙兩數的比值是-0.4；如果甲、乙兩數分別是2和-5，甲、乙兩數的比值還是-0.4。或如，甲、乙兩數分別是-2和2，甲、乙兩數的比值是-1，乙、甲兩數的比值也是-1。不一樣的數或不一樣的比序，比值卻是一樣的，此處的比值還有意義嗎？是不是有比就一定要給出比值呢？“比值”比“商”高明在哪里呢？

二、完善“比”的定義

顯然，上述三個問題觸及到比的定義，我們不禁要問：比是否可以突破兩個數相除？

比值有沒有比商更大的包容性？比在分數的基礎上有發展嗎？如何定義“比”的概念？數學教育專家史寧中和娜仁格日樂認為：比是兩個數量倍數關系的表達或者度量。除法是一種運算，是一種在解決問題過程中使用的計算方法。因此，不能把比理解為除法。

雖然可以用分數表示比，但在本質上分數是一個數并且是一個無量綱的數，而比是一種表達或者度量，可以是有量綱的。因此，用分數形式表示的是比的大小、而不是比本身。所以，也不能把比理解為分數……在一般意義上比可以是無理數。［1］

這里，學者完善了“比”的定義：比是兩個數量倍數關系的表達或者度量。筆者理解盡管比依然局限在兩個數量，但比的“表達”超越了“除法”，比的“度量”結果已從分數值的有理數范圍擴展到實數范圍；比的定義已在除法和分數關聯的基礎上有所發展，這種關聯和發展還需要進一步通過課堂教學的實踐來驗證和“臻于至善”。鑒于此，筆者分別從比是什么、為什么、怎么用三個方面設計教學板塊，引導學生學習比的概念。

三、在教學實踐中檢驗認知

第一板塊：什么是比？

師：這兒有2杯果汁和3杯牛奶，請用一句話表達它們之間的關系。

生1：果汁和牛奶一共是5杯。

生2：牛奶比果汁多1杯。

師：剛才同學們從加、減、除的角度表達了果汁和牛奶杯數之間的關系，并說出了和、差、商。

師：我們還可以這樣表達，果汁與牛奶的杯數比是2比3，牛奶與果汁的杯數比是3比2。

師：比是數量間一種關系的表達。

出示如下表格：

體重（千克） 身高（厘米）小紅 30 80小明 40 100

師：根據表格中的信息，你能說出比嗎？

生1：小紅與小明的體重比是30∶40，身高比是80∶100。

生2：小紅的體重與身高的比是30∶80。

生3：小明的體重與身高的比是40∶100。

師：從體型上看，你覺得誰胖一些？為什么？

生4：我認為小明顯得胖一些。因為小紅的體重與身高的比是30∶80，比值是0.375，小明的體重與身高的比是40∶100，比值是0.4。

師：借用除法的思路求出比值，我們發現比還是數量間的一種衡量。

第二板塊：為什么學比？

師：你能很簡明地表達數量之間的關系嗎？

師：7克糖和100克水配成一杯糖水。

生2：糖和水的比是7∶100，水和糖的比是100∶7。

師：23克咖啡粉和100克水配成一杯咖啡。

生3：咖啡粉和水的和是123。

生4：咖啡粉和水的比是23∶100，水和咖啡粉的比是100∶23。

師：同學們從和、差、商的角度簡明地表達出它們之間的關系了。如果是7克糖、23克咖啡粉和100克水配成一杯加糖咖啡呢？

生6：糖、咖啡粉和水的比是7∶23∶100。

師：你為什么不用除法、分數來表示數量間的關系，反而會選擇比呢？

生7：用比表示多種數量之間的關系更簡便。

師：人們創造出的“比”更簡明方便、更具優越性，知識就是這樣發展的。

教師介紹黃金比0.618、圓周率等。

師：比中有“美”，“美”中有“數”，我們用比去創造美。

師：圓周長與直徑的比值是一個無限不循環小數。學習比，我們遇到了新的數。

第三板塊：怎樣用比？

師：根據下面的信息，你能說出哪些比？

師：甲÷乙 = 4。

生1：甲與乙的比是4∶1，乙與甲的比是1∶4。

師：我們根據除法算式可以說出比。

生2：修好的與全長的比是2∶5。

生3：未修的與全長的比是3∶5。

生4：修好的與未修的比是2∶3。

師：我們從分數中發現了不同的比。

師：蛋糕中的水果、奶油、面粉和糖的比是2∶3∶7∶1。

生5：蛋糕中的水果和奶油的比是 2∶3。

生6：蛋糕中的奶油和面粉的比是 3∶7。

生7：蛋糕中的面粉和糖的比是7∶1。

生8：蛋糕中的水果和蛋糕總量的比是 2∶13。

師：我們可以從多種數量之間的比中找出其中任意數量間的比。

師：比可以從不同的角度表示信息。從除法到分數，再到比，知識是不斷發展的。

師：我們用4克糖和100克水配成糖水。如果要再配同樣甜度的糖水，怎么辦？

生：用2克糖和50克水配成糖水。

生：用1克糖和25克水配成糖水。

生：用8克糖和200克水配成糖水。

師：4+100 = 104，3+101 = 104，我們用3克糖和101克水配成糖水，行嗎？

師：100-4=96，101-5 = 96，我們用 5克糖和101克水配成糖水，行嗎？

三個板塊、六個片段緊緊圍繞比的概念核心，在是什么、為什么、怎么用的思辨中初步完成了比的知識構建。

以上只是比的第一課時的教學，只是小學數學概念教學的嘗試性探索，在后續的學習中需要進一步感悟比的意義，引導學生生長新的關于“比”的想法，而不是停留在概念和符號的疊加上。正如高斯所說：“我們需要的是想法，而不是符號。”