從元認知視角探究“數學寫作”*

鐘進均 (廣東省廣州市鐵一中學 510440)

唐志威 (廣州大學 510006)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出，要重視學生數學表達與交流能力的培養[1]．“數學寫作”是數學交流活動中的一種書面交流形式，正式將“數學寫作”納入新人教版高中數學教材，這突顯了“數學寫作”的重要性．本文將采用案例研究法，從元認知視角對中學生數學寫作的一個案例進行探究．

1 相關概念及界定

(1)元認知的概念[2].1976年，弗拉維爾(Flavell,John H.)提出了“元認知”這一術語．他指出，元認知通常被廣泛地定義為任何以認知過程與結果為對象的知識，或是任何調節認知過程的認知活動．元認知的核心意義是對認知的認知．即認知是認知主體對自我心理狀態、能力、任務目標、認知策略等方面的認識，同時元認知又是認知主體對自身各種認知活動的計劃、監控和調節．元認知的關鍵概念是元認知知識和元認知體驗．認知主體對各種認知活動的監控正是通過元認知知識、元認知體驗、目標(或任務)和行動(或策略)這四個方面的相互作用來實現的．

元認知成分包括元認知知識、元認知體驗和元認知監控．元認知知識是人們具有的關于認知活動的一般性認識，是通過經驗積累起來的關于認知的陳述性知識和程序性知識．元認知知識分為三部分：①關于認知個體的知識．指個體具有的有關自己和他人作為認知加工者的所有知識，包括個體內差異的認識．②關于認知任務的知識，即對在完成認知任務或目標中所涉及的各種有關信息的認識．③關于認知策略的知識，即對認知過程中關于各種有關策略知識的認識．元認知體驗是人們在從事認知活動時產生的認知和情感體驗．元認知體驗和元認知知識相輔相成．弗拉維爾指出，元認知知識與元認知體驗具有部分重疊，某些元認知體驗具有元認知知識的成分，而某些元認知知識可上升為意識并形成相應的元認知體驗．持續而穩定的元認知體驗可能成為元認知知識，而元認知知識又指導著元認知體驗，并在一定程度上成為元認知體驗的內容．在完成認知任務的過程中，元認知知識和元認知體驗相互作用，互為補充，逐漸完善，最終完成認知過程．元認知監控指個體在進行認知活動的全過程中，對自我認知活動進行積極、自覺的監視、控制和調節．元認知監控就是自我監控，必須建立在個體具備一定的元認知知識和元認知體驗的基礎上才能進行．元認知知識和元認知體驗在學習中的價值體現，必須通過元認知監控去實現．

(2)“數學寫作”的界定.數學交流活動是指在數學教與學過程中學生之間、教師與學生之間以提高數學交流能力為目的的活動，包括口頭交流和書面交流兩種形式．“數學寫作”是以提高核心素養為目標，將自己對數學知識和數學學習過程的認識與理解、對數學學習的感想與體會用文字表達出來的數學學習活動，是數學交流活動的書面交流形式．[3]

2 基于元認知視角的“數學寫作”案例探究

為了體現本研究的真實性和科學性，本文將理論與實踐相結合，完整如實地呈現一篇高一學生的數學寫作作品，從元認知視角來探究數學寫作．

2.1 學生數學寫作的案例展示

第一個寫下數學日記，想想都會有些小興奮．從數學日記中，相信我能夠靜下心好好思考平時疏忽的東西，不僅對數學的學習有極大幫助，甚至對未來的學習、工作都有所裨益．盡管所學知識點不多，所做習題也較少，但我仍找到了一些有價值的東西．

問題1已知f(x)為一次函數，且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)．

剛看到這種題，我明明知道一次函數是一個很重要的條件，卻感到無從下手，甚至用參考書上一些復雜的方法求解都無法完成，但沒想到這道題沿用的卻是初中的y=kx+b的式子．

盡管想到初中的方法之后，問題顯得簡單明了，但仍要注意不要混淆括號中的字母運算順序，同樣運用轉換的思想，如代入時x的變化．當然，光是一道題無法引起深度的思考．

問題2已知二次函數f(x)滿足f(0)=0，且對任意x∈R有f(x+1)=f(x)+x+1，求f(x)．

出現在不同試卷的類似題，往往需要引起注意：重復出這一類型的題目意義何在？

這道題并不算難題，只要熟悉了便不成問題，但我卻從中發現了一些值得注意的地方．

(1)往往題目給的條件不多，這時需要我們將所涉及的知識點仔細思考，確保不遺漏易錯點，也不要去將關系不大的地方挖深，既浪費時間，又難有成效．

(2)一些題目需要化簡為繁，再由繁入簡，最簡單的如解方程，便是自己創造條件，再由已知得出結論，比如函數f(x)=x2-2x+10，可化為f(x)=x2-2x+1+ 9=(x-1)2+9．

(3)由以上二例可以看出，進入高中階段，對初中的一些知識也就有了更好更全面的理解，高一的方法想必多與初中相近，應多思考．如函數的單調性就是“對y隨著x增大而增大”更好的詮釋，揣摩一下，也會受益良多．

對于數學寫作這種記錄的形式是知識的再一次梳理與加深，往往難題只是源于我們目光太過狹隘，多思考，想法更全面，把握題目前后的關聯是學好數學的訣竅，也是以后生活、工作的一大準則．

2.2 基于元認知視角的案例探究

(1)數學寫作有助于拓展學生數學學習中的元認知知識.元認知知識作為元認知結構中重要的成分之一，是通過經驗積累起來的關于認知的陳述性知識和程序性知識．該案例中，學生在解決問題1時表述“明知道一次函數是一個很重要的條件，仍感到無從下手，甚至用參考書上一些復雜的方法求解都無法完成”，說明他能明晰“一次函數”的重要性，卻不知如何用該條件.從元認知視角分析，即“一次函數”條件未能激發學生元認知策略知識，學生缺少對一次函數使用策略的有關認知，從而導致解題失敗．當該生頓悟后，寫出了問題解決所需的“一次函數解析式”數學知識、“轉化與化歸”的數學思想方法以及解題中每個過程的目的，這一過程暴露了學生的思考過程，其中呈現的數學知識、數學思想方法是學生平時學習所積累的，屬于陳述性知識，而展示的解題過程實際上為該生如何解決問題的思維過程，屬于程序性知識．因此，數學寫作能將學生元認知知識完整呈現出來，并暴露該學生所處的元認知知識水平，還有助于鞏固和拓展學生的元認知知識．

(2)數學寫作能增強學生數學學習的元認知體驗.從元認知體驗視角來看，學生在數學寫作過程中產生了多次認知和情感體驗變化．從案例中可知該生在數學寫作時非常激動，因為他是班內首位進行數學寫作的學生，他的作品還可以供后續的同學參考和學習，這在心靈上給予了他一定的成就感和幸福感，但同時也給他帶來了一定的壓力，迫使他要追求數學寫作的質量．學生最初對問題1“無從下手”，不難分析出此刻他內心會產生一些困惑和焦慮；而當學生頓悟后，從他陳述的“沒想到這道題沿用的卻是初中的y=kx+b的式子”這句話易知，學生此時非常驚訝；再當其確認自己能成功解決同一類型的題后，順勢總結出對該類型問題的思考以及“學好數學的訣竅，生活、工作的一大準則”的感想，從中可看出他內心此時此刻的喜悅之情．由此可知，學生在整個數學問題解決過程中，經歷了由最初的焦慮感到問題解決后的成就感和幸福感．因此，數學寫作給學生搭建了一個抒發數學學習情感體驗的平臺，讓他們體驗數學學習的成功和幸福，從而激發學生對數學學習的興趣，增強學生數學學習的元認知體驗．

(3)數學寫作能提高學生數學學習的元認知監控能力[4].元認知監控伴隨著整個數學寫作過程，通過元認知知識、元認知體驗的交互作用來實現，同時它也是一個動態過程．首先，學生會制定詳細的寫作計劃，保證寫作內容從始至終不會偏離數學這個大主題，這其實就是學生自我監控的過程，時刻監控著寫作任務和目的．其次，該生在解決問題1后又找了一道同類型題，繼續沿用問題1的解題策略進行求解，最后確認自己已成功突破此類題．由此可知，該生能自我判斷策略知識的有效性，并通過舉一反三來正確評估自己對策略知識的掌握程度，體現出他在數學學習過程中有較好的監控能力．除此之外，口頭交流往往會自帶一定的情景，即使口頭說得不是很清楚，聽者往往也會明晰其含義，而書面表達則需要把前因后果表達清楚才能使閱讀者看懂，因此書面表達一般要比口頭交流更困難．數學寫作是一種書面表達形式，這表明學生需要時刻監控文字、數學語言表達是否規范、是否有誤、是否嚴謹、是否通俗易懂、前后邏輯是否清晰等等．該案例中呈現的寫作思路清晰，書寫規范，書面表述也通俗易懂，由此體現了該學生的元認知監控能力較好，具備良好的元認知策略，也說明了數學寫作對學生的元認知監控能力的培養具有促進作用，能提高學生數學學習的元認知監控能力．

3 從“學”與“教”的角度窺探數學寫作

史寧中教授曾說：“學生通過數學學習，要能用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界．”[5]從一定程度上來講，學生學習數學并不只學數學中的陳述性知識和機械的數學解題策略，而更應該學會數學地思考問題，提高數學思維能力和數學表達能力．教學是“教”與“學”的兩個過程，相輔相成．而數學寫作作為一種教學交往的工具，既可以促進學生的“學”，同時也能進一步優化教師的“教”．

(1)數學寫作是展示學生掌握數學知識和情感抒發的平臺[6].在上述案例中，學生進行數學寫作時，他會搜索記憶中與“一次函數”和“二次函數”相關的數學知識以及數學思想方法，接著進行知識提取，這個過程就包含著數學知識的回憶和推理，這種推理的過程會進一步鞏固和拓展學生的元認知知識．另外，數學寫作還給學生提供了一個數學學習情感抒發的平臺．學生可通過數學寫作宣泄不良情緒和學習壓力，對自己的缺陷與情感經歷會有一種新的、正確的認知，這樣可以讓學生能以一種積極的態度來面對接下來的學習；同時，數學寫作也可以是一個分享學習喜悅的渠道．學生通過數學寫作表達其對數學學習的愉悅感與成就感，從而進一步激發其對數學學習的興趣．因此，數學寫作暴露了該學生數學問題解決的內部思維過程以及數學學習過程中的情感體驗，而這恰好對學生元認知水平的提高具有很好的促進作用．

(2)數學寫作能優化教師的教學策略，提升教學質量.對教師而言，選擇教學方式和教學內容的重要依據就是對學生的了解，而數學寫作可以為教師提供及時和充足的反饋信息，并有助于教師進行更好的教學決策，還可以幫助教師去評估一些其他評價方法和評價工具難以評量或不予關注的東西．比如在上述案例中，學生在解決問題1時明知道“一次函數”非常重要，但就是不知道怎么用，此時教師可以分析出這位學生數學基本功還不夠扎實，同時還可推測出還有其他學生可能與該學生有類似的情況，那么教師在講課時需注意復習與本題相關的初中數學內容，讓這部分學生能夠及時鞏固數學基礎．除此之外，從上述案例分析中可知，該生在進行數學寫作和數學問題解決過程中由困惑感、焦慮感，到最終問題解決的喜悅感，并且還自行總結出了“以后生活、工作的一大準則”，呈現了一種積極向上的學習態度，且超越了學科知識，上升到了人生哲理的層面，而這些內容是平時的數學作業和考試中看不到的．因此，數學教師要及時對該生的行為進行積極的評價和鼓勵，讓學生繼續保持努力向上的態度，與此同時，也能促進教師的教學反思，讓教師明晰教學生不但要教會學生數學知識，更重要的是教學生學會用數學的思維去思考人生．

4 小結與展望

本研究從元認知視角探究數學寫作，可知數學寫作有助于提高學生數學學習的元認知水平，增強學生數學學習的情感體驗，并有助于教師教學策略的優化，推動教師的專業成長，為實現“教與學”的雙贏提供了一條新的途徑．目前，很多研究者在數學寫作領域發表了很多優秀的成果，但就如何更有效地利用和發揮中學數學寫作的作用，還有待進一步探究．