“簡約智慧”課堂教學改革實踐
——以一次函數的應用(行程問題)為例

高小紅

(江蘇省蘇州工業園區獨墅湖學校，215000)

“簡約”源于大道至簡的理念,“智慧”指向課堂教學的本真．數學具有深刻性,數學表達具有求簡性,數學教學具有智慧性．教師應努力引導學生經歷數學知識由繁而簡,由亂而序,由散而整,由表及里的過程．在學校“簡約智慧”課堂教學改革實踐的背景下,筆者以一次函數的應用(行程問題)為例,談談自己的實踐與體會．

一、教材分析與設計理念

本課屬于蘇科版數學八年級上冊第六章“一次函數”的內容．通過七年級的學習,學生已經掌握了一元一次方程和一元一次不等式的相關內容,能用一元一次方程和一元一次不等式解決實際問題．本課是在學習完“一次函數”章節后進行的專題復習．行程問題是一次函數應用中的熱點題型．這類題型多以文字和圖象的形式呈現,對學生分析問題、解決問題的能力要求較高．

設計理念基于“簡約智慧”數學課堂的理念,本課以一個問題為導向,通過兩個變式,三個步驟,將一次函數行程問題中涉及的單線和雙線類型一網打盡．

教學目標

1.能看懂一次函數圖象呈現的行程信息,從一次函數圖象中讀取行程信息．

2.會用待定系數法確定函數關系式,能理解圖象中特殊點表示的實際意義．

3.能用一次函數模型解決實際行程問題,感受用函數圖象法解決問題的優越性．

教學重點與難點

教學重點結合函數圖象,厘清各變量之間的關系．

教學難點利用函數知識,解決實際問題,體會函數圖象法的優越性．

二、教學過程

環節1

問題A，B兩城相距200千米,甲、乙兩車同時從A城出發駛向B城,甲車到達B城后立即返回.如圖1是他們離A城的距離y(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數圖象.

信息讀取:(1)由圖象知,甲車從A城出發駛向B城的速度為______km/h,甲車到達B城后返回的速度為______km/h,乙車的速度為______km/h.

圖象理解:(2)圖象中交點M表示的實際意義是什么?并求出點M的坐標.

問題解決:(3)求甲從開始出發行駛了多少小時,兩車相遇?

分析從圖象上看,橫軸表示行駛時間,縱軸表示甲、乙兩車與A城的距離．由圖象可知,直線DM與直線OC的表達式均可求．結合實際意義可知,甲車從A城出發駛向B城的速度100 km/h,甲車到達B城后返回的速度為80 km/h,乙車的速度為40 km/h．交點M表示甲到達B城后返回的途中與乙相遇．

設計意圖以此問題為導向,引導學生學會審題、讀取信息．將圖象信息翻譯成文字信息前,先要弄清楚橫縱軸表示的意義以及甲乙兩車分別由哪條線段表示,特別理解圖中關鍵點(交點、拐點)的意義．在求交點M的坐標時,用待定系數法求解是學生很容易想到的．理解了交點M的實際意義,第3小問便迎刃而解．也有學生會考慮用方程思想解決,在這里一并展示,列一元一次方程解決此問題也不難,但比較兩種方法后，顯然該問題用函數圖象法解決更加快捷．

變式1甲、乙兩車分別從相距200千米的A，B兩城同時出發相向而行,甲到B地后立即返回,乙到A地后停止行駛,圖2是他們離開各自出發地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數圖象.

信息讀取:(1)本題與上一題相比,哪些信息一致?哪些信息不一致?

圖象理解:(2)求出函數圖象交點M的坐標并指出該交點坐標的實際意義?

問題解決:(3)求甲、乙兩車從各自出發地駛出后經過多長時間相遇?

分析甲、乙兩車從兩地同時出發相向而行．從圖象上看,橫軸表示行駛時間,縱軸表示甲、乙兩車離開各自出發地的距離．甲、乙兩車的行駛速度以及交點M的坐標與上一題一致．交點M表示甲乙兩車行駛3小時后,離各自出發地都是120 km．第3小問需要分甲返回前和返回后兩種情況討論．在這里學生可能會有不同的解題策略:一種是畫線段示意圖,使用一元一次方程解決,其中甲返回后的追及問題可能容易出錯;另一種是直接利用函數方法解決．

設計意圖本題承接上題,函數圖象一模一樣,但表達的信息卻大不相同,可見讀取信息,厘清各變量之間關系的重要性．因為縱軸的意義發生了變化,第3小問求相遇時間顯然比上一題的第3小問要難一些．通過兩種解題策略(函數圖象法和方程法)讓學生感受和比較不同方法的聯系與區別．

變式2甲、乙兩車分別從A，B兩城同時出發,相向而行.設行駛xh時,兩車之間的路程為ykm.圖3中折線AECD表示y與x的函數關系.

信息讀取:(1)A，B兩城的距離為______km; (2)點E表示的實際意義是什么?

圖象理解:(3)慢車的速度為______km/h,快車的速度為______km/h;

(4)解釋圖中點C的實際意義,求出點C的坐標;

問題解決:(5)慢車行駛多長時間,兩車相距150 km?

設計意圖變量y(路程)與x(時間)之間的變化關系由前面問題中的雙線型變為單線型,但分析問題的方法不變．通過信息讀取,弄清橫縱軸表示的意義以及圖中關鍵點(交點、拐點)表示的實際意義．第5小問通過兩種解題策略(函數圖象法和方程法)感受用函數圖象解決問題的優越性．

環節2應用實踐

1.A，B兩城相距600千米,甲、乙兩車同時從A城出發駛向B城,甲車到達B城后立即返回.圖4是他們離A城的距離y(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數圖象.

(1)求甲車行駛過程中y與x之間的函數解析式,并寫出自變量x的取值范圍.

(2)當他們行駛了7小時時,兩車相遇,求乙車速度.

2.一列快車從甲地勻速駛往乙地,一列慢車從乙地勻速駛往甲地.設一輛車先出發xh后,另一輛車也開始行駛,兩車之間的距離為ykm.當兩車均到達各自終點時,運動停止.圖5是y與x之間函數關系的部分圖象.

(1)由圖象知,慢車的速度為______km/h,快車的速度為______km/h;

(2)請在圖中補全函數圖象;

(3)求當x為多少時,兩車之間的距離為300 km.

設計意圖本環節設計了兩道題,包含單線和雙線兩種類型,能較好地檢測學生本節課的課堂效果．其中第2題需要學生通過讀題審題,運用所學,自行畫出剩余部分的函數圖象,對學生數學抽象的能力要求更高．

環節3回顧總結

設計意圖先由學生通過自己總結本節課收獲,再以知識框架思維導圖的形式呈現本節課的主要內容以及所蘊含的主要思想方法．思維導圖的形式簡明扼要、直觀清晰,便于學生將所學內容更好地內化吸收,體現數學的簡約之美(圖6)．

二、“簡約智慧”理念下的教學反思

1.精選素材,以簡馭繁

“簡約智慧”教學,要求教師認真研讀教材,還能對各種教學素材綜合精當取舍、取其精華、以簡馭繁．剛開始設計本節課環節一部分時,筆者從相遇問題和追及問題兩個類別分別設計了兩道題(包含單線和雙線型),但問題背景不同,顯得有點雜．基于“簡約智慧”教學理念,教師最終選定了本課開始所呈現的一個問題背景,并在此基礎上,對該問題素材進行了適當改編．通過兩個變式,展示問題本質的同時保持了問題情境的連貫性,體現數學的簡約之妙．

2.返璞歸真,簡而不減

好的數學課是自然流淌的課．教師要關注學生已有的知識積累及最近思維發展區,還要預設學生的不同解題策略.摒棄作秀、返璞歸真,才是真正尊重學生思維的自然生長．在本課的教學過程中,通過展示方程法和函數法兩種不同的方法,在對比中使學生感知函數思想與方程思想的聯系與區別,以及用函數圖象解決問題的優越性,比單純的說教、灌輸更有效．簡潔的問題設計、自然的課堂生成、豐富的數學方法、深刻的數學思想是“簡約智慧”數學課堂所追求的內在品質．

3. 簡約于形,精思于心

“簡約智慧”課堂既著力于教學的深刻表達,又關注于學生的學習啟迪,還簡于形而精于心．數學抽象是數學求簡性的重要表現．簡約的數學符號、圖象背后蘊含了大大的數學奧秘．“立意于象”“立象盡意”“尋象觀意”都表達了這個意思．數學學習過程是兒童數學思維豐富、學習情智豐富的過程．喻理于形,“形”可變,問題情境可變,但“理”不變．應用實踐的第2題需要學生運用所學來補全函數圖象,是對所學成果的檢驗,也是智慧生成的體現．利用思維導圖結構化的總結,既藏“神”于“形”,又簡中有趣．