增加代數推理強化幾何直觀*
——以“建系”方法解決平面幾何問題為例

2022-12-02 02:04:20趙嘉誠

初中數學教與學 2022年18期

趙嘉誠

(江蘇省南通市海門區首開東洲初級中學，226100)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出，初中階段圖形與幾何領域包括“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”.其中“圖形與坐標”強調數形結合，用代數方法研究圖形，在平面直角坐標系中用坐標表示圖形上點的位置，用坐標法分析和解決實際問題[1].

作圖是研究函數問題至關重要的一步[2]，反過來從函數的角度去研究幾何問題也是至關重要的.初中階段的幾何題大多是以矩形、正方形和直角三角形等為背景，而這些幾何圖形都有直角存在，所以可以將其放置在平面直角坐標系中進行研究，從而做到幾何問題代數化.這種“建系”方法既增加了代數推理，又增強了幾何直觀，達到數與形的完美統一.

一、“建系”題目呈現及解法分析

例1如圖1矩形ABCD，AD=2，BC=10，點E為AD上一點，且AE=AB，點F從點E出發，向終點D運動，速度為1cm/s，以BF為斜邊在BF上方作等腰直角?BFG，以BG，BF為鄰邊作BFHG,連結AG.設點F的運動時間為t秒.

(1)試說明:?ABG∽?EBF;

(2)當點H落在直線CD上時，求t的值；

(3)點F從E運動到D的過程中，直接寫出HC的最小值.

問題分析

第(1)問比較簡單，略去解答.針對后兩問建立如圖2所示平面直角坐標系后發現第(2)問點H落在直線CD上，等價于點H的橫坐標與點C一致，第(3)問要求HC的最小值，可以根據兩點之間距離公式來解決，所以這道題目的關鍵就是求出點H的坐標.

點H是以BG，BF為鄰邊作BFHG所產生的，根據平行四邊形的性質，點O到點F的運動過程與點G到點H的運動過程是一致的，要求出點H的坐標也就轉化成求出點G的坐標.要求一個點的坐標自然而然就會聯想到往兩坐標軸作垂線，再結合點G作為等腰直角?BFG的頂點這一條件,很快就會得出“一線三等角”模型得到?BMG≌?GNF.進而用含有t的代數式表示點G坐標.

問題解答

(2)過點G作y軸的垂線交y軸于點M，過點F作x軸的垂線交MG于點N.設點G(m,n)，由題可知F(t+2,2),A(0,2),C(10,0).

∵?BFG是等腰直角三角形，

∴BG=GB,∠BGF=90°.

∵MN⊥y軸，

∴∠GBM+∠MGB=90°.

∵∠MGB+∠NGF=90°,

∴∠GBM=∠NGF.

在?BMG和?GNF中

∴?BMG≌?GNF.

∴NF=MG=m,GN=MB=n.

∵MG+GN=AF,MB-MA=AB,

∵點F在線段ED上移動，

∴0≤t≤8.

例2(2021年無錫中考28題)已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，E是射線BC上的動點，以AE為直角邊在直線BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，設BE=m.

(1)如圖3，若點E在線段BC上運動，EF交CD于點P，AF交CD于點Q，連結CF.

②在?PQE中，設邊QE上的高為h,請用含m的代數式表示h,并求h的最大值.

(2)如圖5，設過BC中點且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEF截得的線段長為y,請直接寫出y與m之間的表達式.

問題解答

(1)②建立如圖4所示平面直角坐標系，過點P作PH⊥EQ，過點F作FK⊥x軸，由題可知A(0，1)，E(m,0),F(m+1,m).

∴lBF:y=mx-m2,

在直線EF上，當x=1時，y=m-m2,即P(1,m-m2);

∵tan∠FEC=kEF=m,

∴∠QEC=2∠FEC，

即EF是∠QEC的角平分線.

∴h=PH=PC=m-m2

∵m≥0,

按照鄉村司法理論，在鄉村法治中承擔一定司法功能的組織大體可納入鄉村司法的范疇，其中大致可分為基層法官的司法和鄉村干部的司法[32]。鄉土正義的供給體系主要是指，能夠為村民主張鄉土利益促進糾紛解決的社會控制層級系統，大體包含內生自發型、內生體制型和基層官僚型三種類型，分別對應的糾紛解決主體是民間權威、村干部和國家機關[13]。