問題導向 開放探究 助力思維*
——“點與圓上的點的最值問題”微專題復習

張 超

(江蘇省蘇州工業園區東沙湖實驗中學，215021)

初三數學二輪復習,旨在從“碎片化”的基礎知識系統復習向重難點專題突破過渡.微專題是對專題復習的有效補充.在備考過程中,教師若能將知識“化零為整”,分割成若干個微專題給學生進行專項突破,往往能夠達到“小身材,大能量”的教學效果.疫情期間,筆者在線上開設了一節市級初三中考復習研討課,深度融合信息技術的課堂,以問題為導向,促進學生開放探究,為了提升學生的數學思維能力.本文以“點與圓上的點的最值問題”微專題復習為例,談談自己的一些見解.

一、設計流程與思考

1.確立主題方法提煉

提出問題:平面內,點P到圓上一點的距離最長為6,最短為2,求圓的半徑?

學生活動:動手畫圖,通過畫線段,測量線段長度等方式,學生歷經動手操作,形成猜想,嘗試說理的過程.

方法提煉

根據三角形三邊關系可知:

|OA-OB|≤AB≤OA+OB, 當O,A,B三點共線時等號成立.

設計意圖確立本節課研究主題——點與圓上的點的最值問題.利用分類的思想,找到圖1,圖2兩個基本圖形,同時完成對上述問題的猜想的驗證.揭示平面內一點與圓上一動點最值問題的原理,方法的提煉為解決此類問題提供了思維的路徑.

2.聯想突破方法鞏固

問題1如圖3,Rt?ABC,AB⊥BC,AB=6,BC=4,以AB為直徑的半圓交AC于點D,P是弧BD上一個動點,連結CP.求CP的最小值?

問題2如圖4,點P坐標(3,4),圓P的半徑為2,B為x軸上任意一點,A是線段OB中點,點M是圓P上的動點,點C是線段MB的中點.求AC的取值范圍?

問題3如圖5,在平面直角坐標系xOy中,設點P(m,n)是以點C(1,4)為圓心,1為半徑的圓上一動點,二次函數y=x2-1的圖像與x軸相交于A,B兩點.求PA2+PB2的最大值?

設計意圖問題1是讓學生結合具體圖形套用方法.后面兩個問題都涉及轉化思想,其中問題2是利用中點構造三角形中位線進行轉化,而問題3是通過坐標表示線段長度實現轉化.低起點、有梯度的問題探究使得學生的思維螺旋上升,并激發了探究的興趣.

方法鞏固的三個問題,體現找尋連圓心、畫線段、求距離的基本套路.問題2和問題3都沒有直接指向點與圓上的點的最值.讓學生結合題設條件產生合情、合理的聯想實現轉化成為解題的關鍵.對問題2,由圖形中A,C兩點是中點,學生聯想到中位線,連結OM,實現轉化.問題3的目標導向,由線段平方的和,讓學生聯想到勾股定理,通過點P(m,n)表示出PA2+PB2=2(m2+n2)+2,再由“數”的表示引導學生對應到“形”,學生順勢聯想到線段OP2,最終轉化為點與圓上的點的最值問題.以問題為導向,通過對題設條件的“聚焦”,幫助學生積累“聯想”的經驗.

3.多元表征方法應用

問題4如圖6,在?ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,D是AC的中點,P是BC上的一個動點,將?DCP沿DP所在的直線翻折得到?DC′P.你能提出哪些問題?

變式現將?ABC繞頂點C旋轉α°(0°≤α≤360°)形成?A′B′C,如圖7所示,M是A′B'的中點,連結BM.求BM的取值范圍.

變式如圖9,點P在Rt?ABC內部,滿足∠PAB=∠PBC,連結BP.求CP最小值.

設計意圖從顯圓到隱圓的過渡,讓學生找出與上述探究問題的“同”與“不同”.問題4和問題5開放性探究的設置,讓學生自主去發現問題、提出問題并且嘗試解決問題.學生在圓的多元表征下追尋動點的運動蹤跡、畫出動點的運動路徑(圓)、應用已有方法解決與隱圓相關的線段最值問題.

學生歷經對圖形信息的直觀想象、數學抽象、邏輯推理等過程,從發現隱性圓,到類比探究,再到實現了知識的串聯,從而提高了問題意識.問題4及其變式,展示圖形翻折與旋轉.問題5及其變式,通過動點P的位置變化,讓學生探求到動態過程中隱藏著相等的數量關系(線段、角度).在圓的多元表征下,從不同的問題背景中抽象出點圓最值的基本圖形,提高學生解決問題的能力.

4.揭示模型回溯本源

問題6回顧上述探究過程,你能找到哪些隱圓模型?

學生活動:獨立思考后各小組學生合作交流,指定組內代表發言.

師生相互補充,共同歸納出圖10——13四種常見隱圓模型.

設計意圖本節課不僅在于學生掌握點與圓上的點的最值問題的解題策略,更重要的是領悟數量關系和幾何圖形的對應,形成軌跡意識.隱圓也只是探究的個例,所隱的也不僅限于圓,也可以是線段、雙曲線….具體到本節課,圓只是解決此類問題的工具,當揭示模型,化隱為顯時,學生利用幾何直觀,迅速識別問題本源——點與圓上的點的最值.

二、 教學立意的闡釋

1.基于問題導向,技術助力教學

探究始于問題,問題在哪里?聯想、推廣、因果互逆思考、尋求關聯等,都是發現問題的良策.方法鞏固階段,針對問題目標的間接性,設置有梯度的問題串,因果互逆,鼓勵學生展開聯想,尋求問題的突破;方法應用階段,在圓的多元表征下,依據動態問題中數量關系的變與不變,確立尋模型——現隱圓——明路徑——解最值的基本思路,放手課堂,學生自主去發現、提出、分析、解決問題.

課堂中融合信息技術,實現高效教學.課前,借助易加學院、教師云端備課、前學發布研究問題,讓學生先行思考、帶著問題進入課堂.共學指向課堂練習,由學生在線作答,再由數據跟蹤分析,能精準診斷課堂教學效果.延學用作課后拓展,引用與本專題相關的微課,促學生課后自主探究.騰訊會議的互動批注功能,能實時呈現課堂中師生的互動探究.進一步，還可以借用幾何畫板來呈現動點軌跡.線上教學限于知識難易程度、學習環境等方面的制約,學生很難長時間專注,而騰訊會議的錄屏功能,可以讓學生可以循環學習,從而打破課堂時間、空間的壁壘.運用信息技術服務線上教學、互動學習、多項感官體驗,提升學生學習的興趣的同時,實現了課堂的高效．

2.基于多元變式,驅動思維發展

點圓最值相關問題是近年中考熱門問題,也是學生易于丟分、難以理解的問題.如果僅僅停留在就題論題,不利于理解問題的本質,學生也難以體會不同問題之間的關聯.為突破這一瓶頸,課堂中以問題1為切入口,套用方法,重在解其理.問題2和問題3是對點圓最值問題的變式探究,借助題設條件,轉化問題目標,找到基本圖形,實現得其法.問題4和問題5及其變式,經歷有圓到無圓、顯圓到隱圓的過程,讓學生充分感受到數與形的對應,并感受悟其道.

數學思維的發展需要學生對問題反復、持續進行探究.本節課探究的生長點是圓的多元表征.在問題的設問中,學生體會到直觀感知——操作猜想——邏輯推理——演繹計算四步驟的解題策略.低起點、多維度、深層次的變式教學,讓他們感悟思想方法、提升數學思維.

3.基于微專題探究,致力素養形成

微專題教學的本質是“為遷移而教”,且幫助學生實現知識的遷移需要塑造良好的認知結構.因而,微專題教學既要重視學生原有的知識經驗、貼合學生思維最近發展區設計問題,又要激發聯想、梳理思路、提煉方法、構建解決這一類問題清晰的“路線圖”.回顧本節微專題的教學設計,包含顯性和隱性兩條教學主線.問題教學是顯線,即通過問題提出、合作探究、找尋基本圖形、提煉解題方法,使學生獲得解決此類問題的知識與技能.數學思維能力的提升和學科素養的培養是隱線,即用問題驅動教學、探究引領課堂,讓學生歷經問題提出——方法提煉——方法鞏固——方法應用四個過程.以環環相扣的問題線索激發聯想,從而推動學生建構關于本專題的知識結構、方法邏輯,實現得一法、會一類、通一片的目的.

三、微專題復習的實施小結與教學建議

1.切口小,方法精,注重理解

中考二輪復習注重知識的綜合運用,因而學生專項知識能力的培養尤為重要.以知識、方法和題型為主題的大專題,由于知識點分布面廣,且綜合運用性強,學生的理解往往缺乏關聯性和整體性.若將一個大專題分割成若干個微專題供學生專項探究,有利于促進學生的理解和對知識的整體建構.微專題的設計,既入口小,又指向明確.如本課中微專題的指向就是平面內的點與圓上的點的線段最值.貫穿課堂始終的主題是,引導學生依據基本圖形、提煉解題方法、理解這一類問題的本質.

2.重過程,通思維,培養能力

微專題教學適用于問題教學,即通過問題導向、例題精講、方法指引、變式應用四個方面推動課堂教學.設置什么樣的問題引入、選擇什么類型的例題進行精講、例題精講是否就是就題講題、學生在微專題的學習中獲得哪些思想方法，這些都是設計時需要認真考慮的方面.

尋找基本圖形、提煉解題方法、理解點與圓上的點的產生最值問題的原理,是本課教學的重點也是難點.精講問題1到問題5,從直接方法套用到轉化問題目標,甚至是問題串的設計,學生始終在教師指導下圍繞核心問題展開探究.每個問題解決后,學生對解題方法的總結與反思，可以促進他們自然語言、數學語言、圖形語言之間的自由轉換.因此,微專題的復習的側重點是課堂中過程性的探究和生成,既要構建清晰的思考路徑和知識結構,又要注重學生關鍵能力的培養.