高職數學專升本考試中微分中值定理的應用

皮榮嬌 胡麗金

（黔東南民族職業技術學院 貴州 凱里 556000）

引言

微分中值定理包括的內容很多，本文旨在高職數學大綱內的三個微分中值定理，其包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和羅爾中值定理，這些定理利用導數來探究函數的性態[1]。通過分析2010年以來貴州省的數學專升本考試題，發現羅爾中值定理和拉格朗日中值定理出現的頻率比較高；但是，在高職數學教學過程中，學生面對微分中值定理的應用處于迷茫的狀態，筆者認真分析高職學生應用知識點存在的問題，針對問題提出解決困難的策略，從而提升高職學生應用微分中值定理的信心。

1.微分中值定理的內容

1.1 三個微分中值定理之間的相同條件

拉格朗日中值定理、柯西中值定理和羅爾中值定理有兩個相同的條件，一個條件是要求函數在給定的閉區間[a,b]上連續，另一個條件是要求函數在給定的開區間（a,b）內可導；學生應用微分中值定理的前提學會判斷這兩個條件成立。

1.2 三個微分中值定理的差異性條件

拉格朗日中值定理達到上述兩個條件要求便得出結論，在（a,b）內至少有一點ξ使得f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）；對于羅爾定理而言，其滿足上述兩個條件的基礎上還另外增加一個條件，即函數在閉區間端點值相等，得出結論為：有一點ξ在開區間（a,b）內使得f'（ξ）=0；對于柯西中值定理而言，兩個函數f（x）和g（x）同時滿足上述兩個條件的情況下，加上一個條件g'（x）≠0，其結論為：在（a,b）內至少有一點ξ，使得[2]。

2.微分中值定理在歷年專升本考試題型分析

2022年貴州省專升本數學考試第17題，函數y=arctanx在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=_______。

2020年貴州省專升本數學考試第7題，在閉區間[-1,1]滿足羅爾中值定理的函數是（ ）

2015年貴州省專升本數學考試第26題，用拉格朗日中值定理證明不等式：

貴州省專升本數學考試中，微分中值定理從2012年到2015年都是以證明題型的形式出現，2016年到2020年這幾年又不出現在考試題目中，到2020年以選擇題的形式出現，到2022年以填空題的形式出現，說明微分中值定理的應用在專升本考試中有很高地位。

3.高職學生在應用微分中值定理存在的問題

例1：函數y=arctanx在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=_______

首先，要求解例1學生要根據滿足拉格朗日中值定理的條件來分兩步進行。第一步是判斷函數在閉區間上的連續性，這個步驟還得考慮函數連續的三個條件：①函數在所給定的區間內有定義（或者有意義）；②函數在所給定的區間上存在極限，如果出現分段函數，還得判斷分段點處的左右極限值；③函數在其給定區間的極限值和函數值相等。在高職數學教學過程中，學生面對第一條件出現以下幾個問題：（1）學生不能準確的判斷函數的定義域，或者忽略導致函數不連續的點；（2）學生不能準確的求解函數的左右極限，所以可能得出極限不存在的結論，導致無法繼續完成題目；（3）學生不能準確判斷函數對應的定義域，求解出來的函數值可能出現錯誤，導致函數值和極限值不相等，從而得出不連續的結論。

其次，滿足拉格朗日中值定理的第二個步驟是判斷函數在開區間內是否可導，學生在這一步碰到問題是能否正確求出一階導數，從而得出可導的結論，否則將無法繼續完成證明。

最后，在解決第一步判斷連續性和第二步求解導數以后，學生根據拉格朗日中值公式來計算ξ值，根據f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）求解出ξ值。這個過程學生出現的問題有：（1）f（b）-f（a）求解過程出錯，導致得出的ξ值不準確；（2）f'（ξ）求解過程需要學生非常熟練函數導數的求解方法，一旦學生在求解函數的導數過程把握不夠，就會求解出不準確的導函數，導致所求的ξ值不準確。

例2：在閉區間[-1,1]滿足羅爾中值定理的函數是（ ）

首先，例2能夠順利解決，學生要掌握滿足羅爾中值定理的幾個條件。第一和第二個條件和拉格朗日中值定理的條件相同。我們的學生在判斷函數的連續和可導上面會出現一些問題，如例1所述的情況。其次，羅爾中值定理的第三個條件是要求定義域端點處的函數值要相等，這個求解過程學生常出現的問題是端點函數值計算錯誤等。最后，根據羅爾中值定理公式f'（ξ）=0求解出ξ的值。學生存在的問題則是不能準確求解ξ，由于學生對函數的一階導數求解過程掌握不夠。

例3：用拉格朗日中值定理證明不等式：

證明：由已知b＞a＞0，假設f（x）=1nx，x∈（a,b），

顯然，函數f（x）=1nx在[a,b]上連續，在（a,b）內可導，其滿足拉格朗日中值定理，

則至少存在一點ξ∈（a,b）使得

又ξ∈（a,b），且b＞a＞0

綜上，當b＞a＞0時，得證

拉格朗日中值定理在貴州省專升本數學考試中以證明題型高頻出現，如2012年到2015年的證明題。在使用拉格朗日中值定理求解證明題型過程中，高職學生會出現怎樣突出的問題，以下將以例3為案例，分析學生易出現的問題。

首先，通過題目的所需要證明的結論來假設輔助函數。這一步要求學生能夠通過題目的結論來推導所需函數，從而假設函數。學生常見的問題是：學生缺乏逆向思維，通過題目的結論很難得出所需要的函數，如果學生做不到逆推過程，那么這道題目直接無從下手。

其次，拉格朗日中值定理的證明題型一般表現為不等式的證明。例3從表面看是比較三個式子的大小，實質上是函數單調性的求解，學生本來對函數的一階求導掌握不夠，再加上部分題目可能一階導數無法判斷單調性，還得進行二階三階求導。那么學生在這一步的問題比較突出的方面是：不能準確的求解一階導數，或者求解一階導數以后發現無法判斷函數的單調性，從而放棄題目證明。

最后，利用拉格朗日中值定理對構造的輔助函數進行變形，完成題目的證明過程。學生解決了構造輔助函數和函數單調性的證明，卻面臨著如何使用拉格朗日中值來求確定不等式的方向，這一步學生存在的問題是：（1）不易推導出證明結論所需要的公式，而這個公式來自拉格朗日中值公式的變形。（2）易忽視ξ∈（a,b）這條件。學生集中注意力在中值定理的應用，卻總是忘記ξ∈（a,b）這個條件中隱含著不等式a＜ξ＜b，導致無法完成題目的證明。

4.提升高職學生應用微分中值定理解決問題的策略

4.1 理解三個微分中值定理的內容

通過分析三個微分中值定理的相同條件和差異性條件來掌握知識點的關系。羅爾中值定和其他中值定理不同之處是區間端點處有f（a）=f（b），這個條件很容易從三個中值定理中區別開來；柯西中值定理則是判斷兩個函數的關系，又從三個中值定理中獨立出來；這三個中值定理從條件上看上去相似，但是他們得出的結論卻又不同。這三個定理共同點是要求所求函數滿足給定區間上的連續性和可導性，這就要求學生要從函數的定義、極限的存在情況、導數的存在情況、函數的連續情況進行分析；學生要能夠應用微分中值定理，首要任務是深刻認識這三個定理的共同點和不同點，好為下一步應用奠定基礎。

4.2 準確判斷函數的定義域

4.3 準確求解函數的極限

4.4 準確判斷函數的可導性

分析例2的C選項，函數f（x）=|x|，x∈[-1,1]是否可導。由于函數f（x）=|x|，x∈[-1,1]是分段函數，分別是f（x）=-x，x∈[-1,0）和f（x）=x，x∈（0,1]，發現函數在x=0處的和，得出函數在x=0處不可導，使得函數不能滿足羅爾中值定理。

4.5 正確記憶微分中值定理相關公式

例1：函數y=arctanx在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=（ ）

已知條件是函數y=arctanx在[0,1]上已經滿足拉格朗日中值定理，那么這個過程就不需要判斷滿足拉格朗日中值的幾個條件，而是直接應用結論來解題，存在一點ξ∈[0,1]使得，而則總結:這個過程學生不能因為記憶微分中值定理相關公式錯誤，而導致所求的ξ值錯誤。

4.6 準確的構造輔助函數

例3的證明過程和存在的問題已經的第3點闡述，通過例3我們總結如下：如果使用微分中值定理證明不等式，那么需要根據微分中值定理的幾個公式進行變成，從而得到所證結論。這個過程，學生需要足夠的耐心，嘗試對所求不等式進行四則運算的變形，從而得出題干需要的輔助函數，得出輔助函數以后，還要進行假設性證明，假設輔助函數是正確的，利用已知條件對證明結論進行證明，這個時候就會出現兩種情況，假設輔助函數正確或者錯誤。如果假設的輔助函數正確，那么學生能夠推導出題目中的結論，如果假設的輔助函數錯誤，那么學生推導出來的結論和題目不符合。

結語

通過貴州省2010年到2022年的專升本數學考試題目看，微分中值定理以不同類型題目出現。但是無論題型如何變化，微分中值定理的理論基礎不變，所以，學生想要讓自己這部分知識的應用水平提高，學生要能夠明確羅爾中值定理等這幾個中值定理的相同點和不同點，從知識點的相同條件去找可能考試的點和題型，從知識點的差異性條件去考慮可能出現的難點，這些難點是什么，如何克服難點，從而讓學生真正意義理解和掌握微分中值定理的應用。