整體建構立新意 類比聯想促反思*
——“平行四邊形的性質”的內容分析與教學實踐

康葉紅 王 進

(江蘇省南京市致遠初級中學,210019)

具有批判性、創新性的反思是學生學習的必備品格與關鍵能力之一．教師通過設置問題串引導學生對自身學習過程、學習特征等進行反向思考.學生通過不斷反思、回顧已有知識來研究新問題可以更好地領悟數學思想方法和活動經驗．章建躍博士說過:“在課堂教學中要以知識的發生發展過程和理解數學知識的心理過程為基本線索,為學生構建前后一致、邏輯連貫的知識體系,使他們在掌握數學知識的過程中學會思考．”作為最基本的幾何圖形之一,平行四邊形具有豐富的幾何性質,與前面所學的平行線和三角形有著類似的研究路徑,因此需要從知識內容上整體建構,從活動經驗上一以貫之再生長．筆者開設了一節促進學生不斷反思的展示課“平行四邊形的性質”,現將這節展示課的內容分析及教學實踐呈現如下．

一、教學內容的分析

1.課程標準的要求

《課程標準(2022年版)》對平行四邊形的要求是，理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念,以及它們之間的關系;了解四邊形的不穩定性．探索并證明平行四邊形的性質定理及判定定理．

2.各版本教材的對比分析

人教版、北師版、蘇科版.三套教材都是以“概念——性質——判定——應用”的主線來探究平行四邊形的,而“平行四邊形的性質”這一課時的授課位置在三套教材中有一定的差異,人教版和北師大版都是這一章節的首章,蘇科版是將其放在“圖形的旋轉”“中心對稱與中心對稱圖形”之后．三套版本教材均以生活的例子引入,體現圖形與生活的密切聯系．

人教版與北師大版對這節課分配兩學時，而蘇科版分配的是一學時，三套教材.對平行四邊形基本性質都要求學生會證明.

3.教學目標

教學目標1:理解平行四邊形的概念．

教學目標2:探索并證明平行四邊形的性質定理:平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分．

教學目標3:通過類比中反思,進一步體會研究一個幾何對象的一般思路與方法,初步完成“四邊形”“平行四邊形”學習內容的整體建構．

二、教學實踐的呈現

1.課堂導入,創設情境

問題1前面的學習中,我們研究了三角形,接下來你想研究什么平面圖形?

生：四邊形．

師：我們是如何研究三角形的?

生:定義、表示方法、分類、性質、特例．

師：回顧一下,什么是三角形?

生：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．

師：結合三角形的定義,你能說說什么是四邊形嗎?

生：不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫四邊形．

師：你能按這個定義畫一個四邊形嗎?(在師生問答中形成圖1)

師：如何表示一個四邊形呢?在四邊形ABCD中,邊、角、對角線是四邊形的構成要素．不相鄰的兩條邊,也就是沒有公共頂點的邊叫做對邊,如AB與CD，AD與BC是對邊,無公共邊的兩個角叫做對角,如∠A和∠C，∠B和∠D是對角,連結任意兩個不相鄰頂點的線段稱為對角線,如AC與BD是對角線．

師：四邊形有什么性質呢?(在師生問答中形成圖2)

師：幾何要素之間確定的位置關系、大小關系就是幾何圖形的性質．

教學說明通過三角形基本概念的回顧,激活學生的思維,喚醒學生已有的認知,強化新舊知識之間的聯系,找準知識的生長點．

2.整體建構,形成框架

問題2請觀察學習單上給出一般四邊形,再說出幾種特殊的不同類型的四邊形．

(學生說出平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形等)

師：你能畫出四邊形的結構圖嗎?

師：從一般四邊形是如何得到平行四邊形的?從平行四邊形又是如何得到矩形、菱形的?(在教師的引導下逐步完善條件增強的情形下，由一般四邊形到平行四邊形再到矩形和菱形，再到正方形的結構圖(圖略)).

師：我們一般從哪一種特殊的四邊形研究起?如何研究?

師：我們可以不斷地弱化條件,從特殊到一般;也可以不斷地強化條件,從一般到特殊．但為了與前面三角形的研究路徑保持一致,可以先研究平行四邊形．

教學說明學生經歷“說圖形——畫結構——尋聯系”的過程中逐步從邊的位置上強化條件,特殊化得到本節課的研究對象——平行四邊形,以便幫助學生對四邊形、平行四邊形的內容有初步感知與了解,形成整體框架．

3.回顧思考,理解概念

問題3平行四邊形是常見的幾何圖形．你覺得從哪些方面去研究呢?

師：你能舉出一些平行四邊形的例子嗎?并結合你的舉例,畫出一個平行四邊形．

師：小學中,我們學習過平行四邊形,你能說說怎樣的圖形叫做平行四邊形?

生：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．

師：圖形的概念既是判別圖形的條件,又是圖形的一個性質．

歸納如下:①∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知),

∴AB∥CD,AD∥BC(平行四邊形的定義)．

②∵AB∥CD,AD∥BC(已知),

∴四邊形ABCD是平行四邊形(平行四邊形的定義)．

師：如圖3,平行四邊形如何表示?

師：是的,這四個字母一般按逆時針依次排序．

教學說明設置“你覺得從哪些方面去研究呢?”這個問題,讓學生明晰研究平行四邊的一般路徑:概念——性質——判定——應用,這也是研究一個幾何對象的一般思路與方法．對于平行四邊形的概念,幫助學生進一步積累學習經驗:圖形的概念既是判別圖形的條件,又是圖形的一個性質．此外,進一步強化數學語言的表達,幫助學生形成文字語言、圖形語言、符號語言的程序化積累,為性質的運用做好鋪墊．

4.觀察猜想,探究性質

問題4觀察圖形,平行四邊形有什么性質?請結合圖4中的字母來表述．

要求:先獨立思考2分鐘,之后小組交流．

(學生得到如下結論:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③ ∠BAD=∠DCB,∠ADC=∠CBA;④ 連結AC，BD相交于點O,AO=CO,BO=DO;⑤ABCD是中心對稱圖形,對角線的交點是它的對稱中心．)

師：你是怎么得到的?

生：觀察、度量．

師：結論② ③ ④,能寫出已知、求證并加以證明嗎?

師：你能結合圖形和推理證明的過程,用文字語言和推理的形式表述這三個性質嗎?

(師生用圖形語言、文字語言、符號語言來歸納平行四邊形性質)

師：從對稱性、邊、角和對角線四個角度對平行四邊形的性質進行研究,平行四邊形的組成要素(邊、角和對角線)之間的大小、位置關系就是平行四邊形的性質．

教學說明學生經歷“觀察——猜想——證明”的過程,探究平行四邊形的性質定理,從中體會探究結論的思考方法,理解對猜想進行證明的必要性,將合情推理和演繹推理有機結合,幫助學生形成研究幾何圖形性質的一般思路與方法,提高學生分析和解決問題的能力,積累了數學活動經驗．

5.鞏固練習,知識應用

教學說明鞏固平行四邊形的性質的知識,提升學生的邏輯思考和表達的能力．

6.回顧反思,總結提煉

教師與學生共同回顧這節課的主要學習內容,并思考下面三個問題:

(1)通過今天的學習和研究,我們一起研究了什么圖形?得到哪些性質?

(2)對于平行四邊形,你認為需要進一步研究什么?怎么研究?

(3)對一個幾何圖形的研究通常是按照怎么的路徑進行?

教學說明通過小結分享,梳理本節課所學內容,幫助學生對本節課的學習內容總結提煉,使知識結構系統化;對后面學習內容的展望不僅可以激發學生的求知欲望,還可以培養學生對研究內容和研究體系有一個了解,進一步領悟數學思想方法和活動經驗．