基于ARMA-GARCH模型的滬深300指數(shù)回報率波動性研究

俞 越

（南京師范大學商學院，江蘇 南京 210023）

一、引言

收益率是衡量金融資產(chǎn)價格的一大重要指標，而其波動性能很好地對資產(chǎn)價格的波動進行描述。國內(nèi)外學者在進行收益率波動性研究時，通常采用建立收益率波動模型的方式對序列進行分析與預測。

收益率波動模型可以采用ARMA模型、GARCH模型或是兩者結(jié)合形成的ARMA-GARCH模型。ARMA模型適用于研究平穩(wěn)隨機過程，對于衡量金融資產(chǎn)價格的波動存在很多的不足，因此學者偏向于使用GARCH模型分析金融數(shù)據(jù)。Mhd Ruslan等（2021）運用GARCH模型研究了波動沖擊對三個國家或地區(qū)的主要全球航運公司股票收益率數(shù)據(jù)的影響并得到良好結(jié)果。王博（2012）、洪紹應等（2019）和謝黎旭等（2021）運用ARMA-GARCH模型對上證指數(shù)和我國豬肉板塊指數(shù)進行了研究并得到良好結(jié)果。

運用擬合模型進行預測時，可以采用動態(tài)預測與靜態(tài)預測兩種方式。洪紹應等（2019）通過兩種方式預測結(jié)果的對比，認為動態(tài)預測結(jié)果不佳而將其直接舍棄。胡興軍（2008）在滬市VaR動靜態(tài)對比中，認為即使動態(tài)預測結(jié)果更能反映出每期的波動，僅為直線的靜態(tài)預測依舊能夠用于估計整個區(qū)間內(nèi)的風險。柳會珍等（2014）發(fā)現(xiàn)運用EGARCH（1，1）模型對我國股市波動風險進行動態(tài)預測時，在一定條件下能夠得到良好預測結(jié)果。

根據(jù)上述文獻結(jié)論，以及參考王博（2012）對殘差服從分布的分類方式，本文將在建立ARMA-GARCH模型時，考慮不同殘差分布情況下模型擬合的效果，得出最優(yōu)擬合模型。運用最優(yōu)擬合模型進行預測，結(jié)合兩種預測方式的預測結(jié)果進行分析。本文的結(jié)構(gòu)安排如下：首先，概述所用理論模型；其次，介紹樣本序列數(shù)據(jù)來源、建立模型以及最優(yōu)擬合模型的選取；再次，運用最優(yōu)擬合模型的預測結(jié)果進行收益率及其波動性的分析；最后，總結(jié)實證結(jié)論。

二、理論模型概述

如果時間序列yt滿足：

則稱時間序列yt為服從（p，q）階的自回歸滑動平均模型（ARMA模型）。

由于ARCH模型在識別和估計模型功能上的不足，Bollerslov在1985年對ARCH模型進行了擴展，得到廣義自回歸條件異方差模型（GARCH模型）。擴展后的模型在兼具ARCH模型優(yōu)點的同時能夠捕捉到時間序列的平緩期和波動期，更有利于金融數(shù)據(jù)的分析。以表示收益或者收益殘差，則p階ARCH模型中序列滿足：

其中各期收益以非負數(shù)線性組合，常數(shù)項為正數(shù)；并且

GARCH（p，q）模型可以用以下方程組表示：

其中ht為條件方差，ut為獨立同分布的隨機變量且符合標準正態(tài)分布，兩者相互獨立。

當只使用ARMA模型進行時間序列分析時，我們會忽略方差方程，認為殘差只是一個白噪聲。當只使用GARCH模型時，我們會將分析重點放在殘差上。因此，結(jié)合ARMA模型與GARCH模型形成的ARMA-GARCH模型，能夠從序列均值和方差的兩個部分形成均值符合ARMA過程、殘差符合GARCH過程的一個隨機過程。

三、數(shù)據(jù)來源與實證模型建立

1.數(shù)據(jù)來源

本文選取來自國泰安數(shù)據(jù)庫的滬深300指數(shù)的指數(shù)回報率，時間段為2012年1月4日至2021年12月31日，不包含節(jié)假日，共2431個。后續(xù)數(shù)據(jù)處理使用EVIEWS統(tǒng)計軟件。

2.序列描述性分析

圖1顯示，2015年年初至2016年年初指數(shù)回報率序列短期內(nèi)大幅波動，2016年年中至2017年年末回報率序列短期內(nèi)波動維持在較低水平，因此整體序列具有明顯的“集群”現(xiàn)象。序列的描述性統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。

圖1 滬深300指數(shù)回報率時序

表1 收益率描述性統(tǒng)計

由此得到三個結(jié)論：（1）序列具有左拖尾性；（2）序列具有尖峰厚尾的特征；（3）序列不服從正態(tài)分布。

3.最優(yōu)模型建立

（1）平穩(wěn)性檢驗

由于模型對序列的平穩(wěn)性要求，需對序列rt進行平穩(wěn)性檢驗。圖1中序列圍繞縱軸0值上下波動，且隨著時間的推移沒有顯示出明顯的時間趨勢，判斷序列為平穩(wěn)序列。序列的單位根檢驗結(jié)果中，t統(tǒng)計量為-47.8339，P值為0.0001，序列平穩(wěn)無單位根。對進行自相關檢驗，得出三個結(jié)論：序列具有自相關性；序列可能具有一階、二階、四階或六階自相關，可作為建立ARMA模型的參考；序列具有ARCH效應，能夠使用GARCH模型進行后續(xù)分析。

（2）ARMA模型建立

根據(jù)上述自相關檢驗結(jié)果，對rt序列建立ARMA族模型。由估計參數(shù)表可得，ARMA（2，2）模型具有更優(yōu)的AIC和SC值，可用于后續(xù)建立ARMA-GARCH模型。對模型進行ARCH效應檢驗，得出序列仍具有ARCH效應，需要聯(lián)立GAECH模型進行以充分解釋收益率序列。

（3）GARCH模型建立

根據(jù)AIC值和SC值進行篩選，GARCH（1，1）、GARCH（1，2）-t以及GARCH（2，1）-GED模型更適合后續(xù)使用情況。結(jié)合GARCH（1，1）模型的參數(shù)估計結(jié)果，得到該模型在三種殘差分布情況下，波動持續(xù)性系數(shù)①分別為0.9963、0.9952和0.9932。由于系數(shù)非常接近與1且小于1，滬深300指數(shù)回報率序列會受到外界信息的持續(xù)沖擊。因為沖擊持續(xù)的時間與計算出的系數(shù)呈正相關的關系，可得在殘差分布為正態(tài)分布、t分布和GED分布三種情況下的GARCH（1，1）模型受到持續(xù)沖擊的時長皆較長且依次遞減，但彼此間相差不大。因此認為，滬深300指數(shù)回報率序列在應對沖擊時，整體較為脆弱，所受影響較大。

（4）ARMA-GARCH模型建立

根據(jù)ARMA-GARCH模型的參數(shù)估計結(jié)果可得，ARMA（2，2）-N-GARCH（1，1）模型為最優(yōu)擬合模型，方程式如下：

對該最優(yōu)擬合模型進行ARCH-LM檢驗，結(jié)果表明殘差序列無相關性且ARCH效應不顯著，模型擬合效果良好。

四、模型預測與分析

1.動態(tài)預測分析

使用ARMA（2，2）-N-GARCH（1，1）模型進行預測，我們發(fā)現(xiàn)動態(tài)預測中預測值會迅速收斂于正值。通過對其他適用模型進行動態(tài)預測，我們發(fā)現(xiàn)，動態(tài)預測值存在相同變化趨勢。對所有適用模型進行動態(tài)預測，將各模型收斂值或是收斂范圍的情況統(tǒng)計于表2中。

表2 模型動態(tài)預測值收斂情況統(tǒng)計

根據(jù)表2畫出折線圖（如圖2所示），我們發(fā)現(xiàn)除模型7動態(tài)預測收斂值較小外，其余八種模型的收斂值均圍繞0.05上下浮動，圖2的擬合趨勢線②也可佐證。由動態(tài)預測結(jié)果我們可知，2012-2021年的滬深300指數(shù)回報率序列是圍繞一正值波動的，而這一正值為0.05左右。說明在我國滬深市場中，投資者的投資在平均情況下能夠得到正向回饋，獲得正的收益；或者我們可以認為，在滬深市場中進行投資的投資者，其收益率是在正的收益率基調(diào)上進行波動的，滬深市場是非零和市場。

圖2 收斂值、收斂范圍③

2.動態(tài)預測、靜態(tài)預測結(jié)果與原序列對比分析

動態(tài)預測與靜態(tài)預測在預測方式上具有不同性。動態(tài)預測選取實際值作為第一個預測值，其余期數(shù)皆使用上一期預測值進行預測；而靜態(tài)預測使用上一期實際值得出每一期預測值，通過多次預測形成靜態(tài)預測結(jié)果。因此，理論上，靜態(tài)預測結(jié)果與上述動態(tài)預測結(jié)果有很大可能存在不同。

將最優(yōu)模型ARMA（2，2）-N-GARCH（1，1）模型的動態(tài)預測結(jié)果與靜態(tài)預測結(jié)果進行對比，可以得出兩者波動程度存在顯著差距的結(jié)論。動態(tài)預測結(jié)果期初波動較大，后期波動逐漸減少，最終收斂于0.0543。在動態(tài)預測中，殘差波動持續(xù)降低、GARCH模型的影響持續(xù)降低，使得ARMA-GARCH模型的動態(tài)預測變化情況逐漸趨向于ARMA模型動態(tài)預測④的變化情況。而靜態(tài)預測結(jié)果始終保持良好波動，具有明顯的集群效應，具有與原序列相似的波動情況。

通過最優(yōu)模型的靜態(tài)預測結(jié)果與原序列的實際發(fā)生值的對比圖可知，靜態(tài)預測結(jié)果波動趨勢與原序列具有極大的相似性。靜態(tài)預測結(jié)果具有集群效應，2015年年初-2016年年初波動較大、2017年年中-2018年年初波動較小、2018年-2020年波動間斷性變大與變小，與原序列的集群現(xiàn)象，即2015年年初-2016年年初指數(shù)回報率序列短期內(nèi)大幅波動、2016年年中-2017年年末回報率序列短期內(nèi)波動維持在較低水平，吻合度較高。

同時，靜態(tài)預測結(jié)果得出ARMA-GARCH模型對實際收益率的波動程度具有過濾⑤效果。對比表3與表1的描述性統(tǒng)計結(jié)果，可從數(shù)值中得出同一結(jié)論：靜態(tài)預測結(jié)果的方差為0.0882，實際發(fā)生值的方差結(jié)果為1.4296，前者為后者的6.17%，預測波動明顯小于實際波動，靜態(tài)預測對收益率的波動程度具有顯著的過濾效果。

表3 動態(tài)預測與靜態(tài)預測結(jié)果相關數(shù)據(jù)對比

根據(jù)動態(tài)預測結(jié)果、靜態(tài)預測結(jié)果以及原序列三者的描述性統(tǒng)計數(shù)據(jù)來看，模型普遍將均值預測的較高并減小了預測結(jié)果整體的波動程度。比較靜態(tài)預測與原序列兩者的偏度、峰度和Jarque-Bera檢驗值，我們發(fā)現(xiàn)靜態(tài)預測的三項數(shù)值絕對值更小，同時預測值的左拖尾性以及尖峰厚尾特征沒有原序列明顯。但因為P值為0.0000，靜態(tài)預測值序列依舊不服從正態(tài)分布。

3.波動率預測分析

圖3 靜態(tài)預測值的波動率

從波動率的變化情況來看，2012-2021年滬深300指數(shù)回報率序列的靜態(tài)預測值波動率主要可分為四個階段：①2012年～2014年；②2015年～2016年；③2017年～2019年；④2020年～2021年。四個階段中皆存在波動率較高的時間段，分別為2013年年中、2015年、2018年年末以及2020年年初。

根據(jù)實際情況分析：2013年年中對應了該年8月的光大烏龍事件以及11月IPO的重啟；2015年則對應了2015年的股災，從1月的中小板、創(chuàng)業(yè)板的暴漲，到3月新興企業(yè)、“一帶一路”政策以及國企改革等改革創(chuàng)新主線的深化，到5月全民炒股，再到7月的暴跌，最后以年末3400點左右的區(qū)間整理格局收尾；2018年年末則是受到了“去杠桿”政策實施以及中美貿(mào)易爭端的影響；2020年年初則是被新冠疫情的暴發(fā)所影響，隨后由于疫情的持續(xù)性影響，市場沒有暴發(fā)初期反映強烈，保持較小的波動情況。由于靜態(tài)預測數(shù)據(jù)對實際事件的解釋能力，可知本文ARMA（2，2）-GARCH（1，1）模型擬合情況良好。

五、總結(jié)

本文對2012年～2021年滬深300指數(shù)回報率序列進行了波動性的分析，通過ARMA-GARCH模型的建立，得到了以下實證結(jié)論。

1.對樣本序列擬合情況良好的模型共有9種，其中最優(yōu)模型為ARMA（2，2）-N-GARCH（1，1）模型，方程式為：

2.GARCH（1，1）模型建立情況表明，樣本序列的波動持續(xù)性系數(shù)非常接近與1且小于1，滬深300指數(shù)回報率序列在應對沖擊時，整體較為脆弱，所受影響較大。

3.靜態(tài)預測結(jié)果表明，ARMA-GARCH模型對實際收益率的波動程度具有過濾效果；動態(tài)預測結(jié)果表明，樣本序列圍繞正值波動，投資者整體平均情況下能得到正向回饋，滬深市場是非零和市場。

注釋：

①波動持續(xù)性系數(shù)為ARCH和GARCH 項的系數(shù)之和。

②圖2中實線為收斂值，虛線為擬合的趨勢線。

③圖2中模型8的0.0449為表2中模型8動態(tài)預測結(jié)果后600位預測值均值。

④ARMA（1，1）動態(tài)預測值迅速收斂于常數(shù)0.0417，ARMA（2，2）動態(tài)預測值則為迅速收斂于常數(shù)0.0421。

⑤柳會珍等在《極端波動、跳躍和尾部風險——基于已實現(xiàn)波動率的股票市場風險動態(tài)預測》一文中表示：可以運用ARMA模型和條件波動率GARCH模型對收益率進行過濾，得到近似獨立的收益率的新息。