大概念視角下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)策略

■山東省煙臺經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)高級中學(xué) 邢 華 張 強

教育現(xiàn)代化發(fā)展背景下，教師在教學(xué)實踐中應(yīng)重視學(xué)生知識與思維、感知及遷移能力的培養(yǎng)與達(dá)成。核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是在學(xué)生“學(xué)”及教師“教”應(yīng)用實踐中形成的，能綜合體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特征。為實現(xiàn)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)，教師應(yīng)強調(diào)以大概念為視角，綜合運用教學(xué)策略，持續(xù)提升教學(xué)質(zhì)量，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科品質(zhì)，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)提供幫助。

大概念可界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價值。基于學(xué)科視角而言，大概念能夠反映學(xué)科的本質(zhì)與特殊性，能夠使離散的事實與技能相互聯(lián)系，并實現(xiàn)核心概念重組與遷移的教學(xué)理念。為有針對性地分析大概念視角下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)策略，本文以大概念為視角，以“3.1.1函數(shù)的概念”課時教學(xué)為例，旨在有效提升學(xué)生的知識能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、大概念視角下“3.1.1函數(shù)的概念”課時教學(xué)前期分析

“3.1.1函數(shù)的概念”課時教學(xué)涉及兩大概念：（1）函數(shù)是刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具。（2）函數(shù)為實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系，可用集合語言和對應(yīng)關(guān)系來刻畫。

首先，教師應(yīng)對“3.1.1函數(shù)的概念”進(jìn)行內(nèi)容分析：函數(shù)是非空數(shù)集與非空數(shù)集的對應(yīng)，在“變量說”的基礎(chǔ)上延展，采用“對應(yīng)說”以進(jìn)一步定義，蘊含深刻的數(shù)學(xué)思想。高中函數(shù)引入f(x)抽象符號，幫助學(xué)生整體認(rèn)識函數(shù)的概念。

其次，教師應(yīng)結(jié)合內(nèi)容分析情況，進(jìn)行問題診斷。在初中階段，學(xué)生對函數(shù)的學(xué)習(xí)僅停留在較為表面的層次，并未完全揭示函數(shù)的本質(zhì)。由此，在高中階段，教師應(yīng)從具體的集合與對應(yīng)角度切入，以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從具象層面到抽象層面來理解函數(shù)概念，并將概念進(jìn)行分解講解，便于學(xué)生理解符號y=f(x)。

最后，教師應(yīng)結(jié)合“3.1.1函數(shù)的概念”課時教學(xué)目標(biāo)分析，明確教學(xué)活動方式和流程，具體如表1所示。

表1大概念視角下“3.1.1函數(shù)的概念”課時教學(xué)框架

二、大概念視域下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)策略

（一）以情境延伸思維，夯實學(xué)生概念知識能力

教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)性質(zhì)，更可以延伸學(xué)生思維，對學(xué)生掌握概念知識及概念知識能力提升起到推動作用。為在提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的基礎(chǔ)上有效延伸學(xué)生思維，教師可以應(yīng)用知識結(jié)構(gòu)圖，幫助學(xué)生通過情境案例進(jìn)行概念信息的收集與整合，提升學(xué)生總結(jié)與概況概念知識的能力。例如，在課時內(nèi)容引入階段，教師可以為學(xué)生推送資源包：我國航天事業(yè)的視頻、函數(shù)發(fā)展歷程。觀看視頻后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會“天空二號在發(fā)射過程中，離發(fā)射點的距離會隨著時間的變化而變化，我國高速鐵路營業(yè)里程逐年增加，已突破2萬公里”，距離與時間、里程與年份的對應(yīng)均以具體的函數(shù)為載體，分析并厘清其運動規(guī)律。隨后，應(yīng)用知識結(jié)構(gòu)圖，引導(dǎo)學(xué)生通過具體的實例學(xué)習(xí)用集合語言和對應(yīng)的關(guān)系刻畫函數(shù)概念，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過宏觀的航天器發(fā)射逐步過渡到物體的運動規(guī)律的講解，潛移默化地使學(xué)生掌握如何將具體的實例進(jìn)行抽象化思考。

通過教學(xué)情境設(shè)置，有效延伸了學(xué)生的思維，對夯實學(xué)生概念知識基礎(chǔ)、提升學(xué)生概念知識能力具有積極的意義。

（二）以小組合作為途徑，深化學(xué)生概念思考

小組合作教學(xué)模式可以幫助學(xué)生在交流討論的過程中，深刻體會數(shù)學(xué)概念知識具有嚴(yán)謹(jǐn)性，有利于學(xué)生理清數(shù)學(xué)概念中各要素的對應(yīng)關(guān)系，從而為后期大概念的提煉和學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。為幫助學(xué)生構(gòu)建邏輯清晰的概念知識體系，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對已學(xué)概念知識進(jìn)行回顧，以提高學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。例如，在正式進(jìn)入課時教學(xué)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧初中所學(xué)函數(shù)的定義，利用教學(xué)軟件，對原有函數(shù)圖像進(jìn)行處理，讓點動起來，師生共同體會“因變量隨著自變量的變化而變化”的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生如何用符號語言表述這個趨勢。并引導(dǎo)學(xué)生在小組合作討論中總結(jié)出函數(shù)概念：兩個變量x、y，對變量x的任一取值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)。為進(jìn)一步深化學(xué)生的概念思考，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵品質(zhì)，教師可以為學(xué)生播放某“復(fù)興號”高速列車的一段視頻，引出課本問題：請根據(jù)以下情境思考，已知該列車加速到350km/h后保持勻速運行0.5小時。列車行進(jìn)的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：小時）的關(guān)系是什么？當(dāng)t=0.2時，對應(yīng)的S是？你認(rèn)為S是t的函數(shù)嗎？為什么？通過小組合作交流討論后，學(xué)生給出答案：S是t的函數(shù)，因為對于t的每一個確定的值，S都有唯一確定的值與其對應(yīng)。在此過程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生分析s和t的變化范圍，幫助學(xué)生應(yīng)用集合語言表達(dá)出S與t的對應(yīng)關(guān)系：對于數(shù)集A1={t|0≤t≤0.5}中的任意時刻t，按照對應(yīng)關(guān)系S=350t，在數(shù)集B1={S|0≤S≤175}中都有唯一確定的路程S和它對應(yīng)。

通過小組合作教學(xué)，學(xué)生可以在小組討論中激活數(shù)學(xué)概念思維，有效深化對概念知識的思考，同時對掌握和內(nèi)化概念知識，及培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也具有積極意義。但教師在開展小組合作教學(xué)時，應(yīng)注重觀察小組學(xué)生問題討論情況，必要時給予指導(dǎo)和引導(dǎo)。

（三）以問題教學(xué)為途徑，提升學(xué)生概念認(rèn)知

問題教學(xué)法，是有效突破教學(xué)重點與難點的教學(xué)方法，是大概念視域下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的有效教學(xué)方式。因此，教師可以通過設(shè)置情境問題，以情境提升問題的直觀性和直接性，以問題推進(jìn)學(xué)生對概念知識的思考。同時，教師可以借助多媒體優(yōu)勢，提高概念教學(xué)的直觀性和生動性，從而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)和思維能力的提升提供助力。但需要注意的是，教師應(yīng)設(shè)置多層問題，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入思考，切實夯實學(xué)生的“四基”，協(xié)助學(xué)生構(gòu)建知識邏輯體系，達(dá)成學(xué)生概念認(rèn)知的有效提升。例如，在“3.1.1函數(shù)的概念”教學(xué)實踐中，教師應(yīng)以加深學(xué)生對函數(shù)概念、提升學(xué)生概念認(rèn)知為目標(biāo)，以大概念理念為導(dǎo)向，設(shè)置問題情境：電器維修公司確定每個工人工資標(biāo)準(zhǔn)為350/天，要求每周至少一天，至多不超過6天。若每個工人的工資和天數(shù)分別用W（單位：元）和d表示，寫出它們的對應(yīng)關(guān)系，W是d的函數(shù)嗎？將W=350d與S=350t比較，你認(rèn)為它們是同一個函數(shù)嗎?通過問題分析和討論，學(xué)生明確：工資W與天數(shù)t的對應(yīng)關(guān)系是W=350d，W是d的函數(shù)。將d和W的取值范圍分別記為A2，B2，則應(yīng)用集合語言表述兩者關(guān)系為：A2，B2為數(shù)集，非空。對于A2中的任意d，根據(jù)解析式W=350d，在B2中都有固定唯一的W值和它對應(yīng)；只要圖像重合，它們就是同一個函數(shù)。為進(jìn)一步推進(jìn)學(xué)生對概念知識的思考，提升學(xué)生概念認(rèn)知，教師可以通過多媒體提出深層次的問題情境：多媒體展示的為北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖，根據(jù)該圖，你能指出中午12點空氣質(zhì)量指數(shù)I的值嗎？是唯一的嗎？t=4的值是多少呢？這一天任意時刻的I值能表示出來嗎？11月24日t=4能確定嗎？追問：“你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？請用集合語言表述。”通過觀察、討論和思考圖像描點，學(xué)生明確了圖像可以說明中午12點及t=4的空氣質(zhì)量指數(shù)I的值能唯一確定，使變量的對應(yīng)關(guān)系變得直觀。由于11月24日的圖像未知，所以11月24日t=4的值不能確定，則t的變化范圍是數(shù)集A3={t|0≤t≤24}，I的所有值都在數(shù)集B3={I|0＜I＜150}中。隨后，教師應(yīng)再次闡釋“根據(jù)所給曲線的對應(yīng)關(guān)系，對于數(shù)集A3中的任意實數(shù)t在集合B3中都有唯一確定的I值和它對應(yīng)”。若學(xué)生對描述I和t的對應(yīng)關(guān)系感到困難，甚至無法直接給出I值的相應(yīng)t值，并對I是t的函數(shù)存在疑惑，則教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深度解讀和分析題目，并在圖形中圈出來相應(yīng)內(nèi)容，在提高題目信息直觀性的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生體會因變量的取值集合C3?B3，即只要t在I中能找到對應(yīng)即可。

通過問題教學(xué)，學(xué)生在教師設(shè)置的問題引導(dǎo)和導(dǎo)向下，逐漸深入思考數(shù)學(xué)概念知識，有效提升了數(shù)學(xué)概念認(rèn)知。但需要注意的是，教師應(yīng)基于學(xué)生思維能力現(xiàn)狀，設(shè)置具有層次性的問題，以有效驅(qū)動學(xué)生思維能力等核心素養(yǎng)發(fā)展。

（四）以反思總結(jié)為切入點，驅(qū)動學(xué)生思維能力發(fā)展

反思總結(jié)教學(xué)法，是有效驅(qū)動學(xué)生思維能力發(fā)展的教學(xué)方法，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)方面具有積極意義。通過反思，學(xué)生可以找出自身概念知識掌握不足的具體問題，有利于學(xué)生豐富和完善自身的概念知識體系。利用總結(jié)反思，學(xué)生能進(jìn)一步明晰概念要點，歸類整合，提高“四能”，對其知識邏輯體系的構(gòu)建和思維能力的提升具有積極意義。另外，在反思總結(jié)知識內(nèi)容的過程中，學(xué)生可以進(jìn)一步深度思考概念內(nèi)涵，讓課堂真正變成學(xué)生自己的課堂，為培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣、提升學(xué)生數(shù)學(xué)概念應(yīng)用能力和思維能力提供驅(qū)動力。例如，在反思教學(xué)環(huán)節(jié)，為讓學(xué)生關(guān)注數(shù)集與對應(yīng)，并提高教學(xué)活動開展實效，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力，為提升學(xué)生建模能力、問題解決能力，及核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)，教師可以為學(xué)生展示我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)r與年份y的變化關(guān)系，如表2，并提出問題：表格中y=2010時，r是什么？唯一嗎？r和y的取值范圍是什么，r是y的函數(shù)嗎？你認(rèn)為怎樣表述，能更好地刻畫出這個函數(shù)？

表2

通過思考分析，學(xué)生利用軟件畫出平面直角坐標(biāo)系。同時，在教師每指出一個年份時，學(xué)生找到對應(yīng)的r值，并在坐標(biāo)系內(nèi)依次描點。通過圖像直觀想象，學(xué)生明確了兩者之間的對應(yīng)關(guān)系，為直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)和提升奠定基礎(chǔ)。基于此，學(xué)生明確：y的取值范圍是數(shù)集A4，對于數(shù)集A4中的每一數(shù)值都能找到唯一確定的值r和它對應(yīng)。教師可以詢問學(xué)生：上述問題中的函數(shù)有哪些共同特征？函數(shù)概念的本質(zhì)特征是什么？通過小組討論和教師指導(dǎo)，學(xué)生將4個函數(shù)進(jìn)行橫向和縱向?qū)Ρ龋页鏊鼈兊南嗤安煌帲⒆灾鳉w納出4個函數(shù)的共性問題。隨后，教師做出適量點評和補充，對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行記錄，并讓學(xué)生應(yīng)用集合觀念重新定義函數(shù)。在教師的引導(dǎo)和指導(dǎo)下，學(xué)生重新認(rèn)知了函數(shù)的概念，理解從A到B的函數(shù)符號f：A→B及y=f(x)的意義；必須滿足A，B非空數(shù)集，f為對應(yīng)關(guān)系，有對應(yīng)且唯一幾個關(guān)鍵點。

在總結(jié)環(huán)節(jié)，教師可以通過設(shè)置教學(xué)問題，讓學(xué)生自然生成大概念“函數(shù)可以理解為實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系”，并提煉出函數(shù)的相關(guān)概念，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。教學(xué)問題：用函數(shù)的定義描述反比例函數(shù)并指出定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系。在引導(dǎo)學(xué)生回答此問題過程中，教師可以應(yīng)用GeoGebra軟件展示反比例函數(shù)圖像，讓學(xué)生對照圖像進(jìn)行作答，指明對應(yīng)的意義。通過引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用函數(shù)的定義表述相關(guān)問題，幫助學(xué)生完成從“變量說”到“對應(yīng)說”的思維轉(zhuǎn)變，提升學(xué)生的主動探究精神，同時鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)問題表達(dá)能力、抽象思維能力及類比思維能力。在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本課程學(xué)到了哪些知識內(nèi)容，通過知識回顧，讓學(xué)生畫出知識結(jié)構(gòu)圖，滿足學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)需求；在完善知識邏輯體系的基礎(chǔ)上，驅(qū)動發(fā)展學(xué)生理性思維，聚焦核心概念，達(dá)成核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升。通過反思和總結(jié)教學(xué)，有效幫助學(xué)生厘清了數(shù)學(xué)的相關(guān)概念，及概念間的聯(lián)系，對于構(gòu)建學(xué)生整體的數(shù)學(xué)知識體系、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣養(yǎng)成，及學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展具有積極意義。

綜上所述，以大概念理念為導(dǎo)向，綜合應(yīng)用情境創(chuàng)設(shè)教學(xué)、小組交流合作、問題設(shè)計教學(xué)、反思?xì)w納總結(jié)教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生探索概念的積極性，關(guān)注概念知識基礎(chǔ)、完善學(xué)生概念知識體系，及學(xué)生思維能力及核心素養(yǎng)發(fā)展具有積極意義。未來教學(xué)實踐中，教師應(yīng)進(jìn)一步探索大概念下的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，以此為學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展提供持續(xù)推動力。