極小表示組對極大無關組的教學探討

章舜哲

（湖北大學數學與統計學學院，湖北 武漢 430062）

在學習線性代數的過程中，極大無關組作為一個重要的概念，對證明矩陣的秩的很多不等式、求解線性方程組的基礎解系和研究線性空間基與維數等問題起著非常重要的作用。在以往的課程教學中，結合線性代數的經典教材[1-5]，一般都是先提出線性相關和線性無關的概念，然后在此基礎上提出極大無關組的概念。一些學生在剛開始學習接觸這方面的內容時，容易產生一定的困惑，例如不太明白為什么要研究線性相關和線性無關，以及為何需要從一個向量組之中找出擁有最大個數的線性無關向量的部分組。雖然這兩個問題可以通過后續的學習內容進行解答，但是結合以往的教學實踐經驗總結，經過我們的思考后，我們發現有更好的教學思路和方法可以進行嘗試。本文將從一個向量組中選取最少的部分組來線性表示這個向量組的角度來給出極小表示組的概念，并由此引出線性相關和線性無關的概念，最后我們證明極小表示組和極大無關組在概念上等價，從而讓學生更自然的去理解極大無關組的概念。

首先在第一部分中，我們給出線性代數教材[2]中線性相關，線性無關以及極大無關組的定義；第二部分通過一個用消元法解齊次線性方程組的例子，引出極小表示組—考察包含向量個數最少的部分組來線性表示一個向量組，從而進一步引出線性相關和線性無關的定義。最后證明極大無關組和極小表示組是等價的；第三部分我們給出結論。

1 極大無關組

在討論極大無關組之前，首先我們需要弄清楚什么是線性相關、線性無關。線性代數作為一門邏輯性很強的課程，為了更加科學嚴謹的描述，在此參考了目前線性代數課本教材上給出的線性相關以及線性無關的定義。通過對定義的學習，我們能夠制定階段性的學習目標，結合書本學習與習題練習，能夠讓學生更加深刻的理解一些比較抽象的數學概念。

數學定義能夠非?？茖W嚴謹的闡述線性相關和線性無關，以及他們的區別。但是由于數學定義通常比較抽象，使得初學者難以理解，當介紹到這里時，需要學生們發散的邏輯思維進行思考，在授課過程中，老師也可以舉出一些生活中的例子幫助學生們加深對定義的理解。例如在日常美術繪畫中，提供了3種顏色的顏料，如果有辦法將其中某2種顏色的顏料經過混合得到第3種顏色的顏料，那么可以理解為這3種不同顏色的顏料之間是相互依賴的，即線性相關的。反之，如果提供了3種顏色的顏料，但是沒有辦法將其中2種顏色的顏料經過混合配比得到第3種顏色的顏料，那么這3種顏色的顏料就是相互獨立的，我們可以理解為它們是線性無關的。

為了進一步利用矩陣與向量組秩的關系來處理線性方程組的相關信息，教材上一般考慮一個向量組中擁有最大個數的線性無關向量的部分組—極大線性無關向量組。極大線性無關向量組表示在線性空間中擁有向量個數最多的線性無關向量組，在研究很多線性代數的問題時，極大線性無關向量組扮演著非常重要的作用，而且一個向量組的極大線性無關組通常來說是它最為本質的一個特征。為了能夠引導學生更好的理解極大線性無關向量組，首先我們先來看看它的定義。

在理解極大線性無關向量組的定義時，與向量組線性無關、線性相關均密切相關。學生們在進行學習時必須先對這些基礎知識點有了一定的理解后，才能清晰的梳理清楚每個知識點之間的邏輯聯系，這對于初學者來說是一個挑戰。下面介紹一下我們提出的教學思路。

2 極小表示組

我們從用消元法解齊次線性方程組的全部解受到啟發，提出一個很自然的問題：“如果齊次線性方程組存在非零解，那么就有無窮多個解，這樣不方便我們研究。于是我們有必要探究這無窮多個解的數學規律？”。從代數的角度來看，我們希望能從這無窮多個解里找到一些部分解，使得這些部分解具有這無窮多個解的某些共同性質。從幾何的角度來看，這無窮多個解在幾何空間中代表無窮多個點，則這無窮多個點的分布規律具體是什么樣的也是值得我們探討的。從而很自然的可以引出極小表示組的概念。

首先我們給出一個解齊次線性方程組的例子：

從這個具體的例子我們能夠發現這個齊次線性方程組有非零解，并且這無窮多個解可以只由兩個解來線性刻畫，因此，這兩個解就能代表這個齊次線性方程組所有的解。此外，很容易驗證任何一個解都不能線性表示這個齊次線性方程組所有的解。受到這個思想的啟發，我們很自然的提出一個假設：對于一個向量組來說，我們希望能夠找到一個部分組能夠線性表示整個向量組，而且這個部分組所含向量的個數最小。從而引出極小表示組的定義。

滿足：

（II）在滿足（I）的條件下，最小。

請注意在這個定義2.1中，我們沒有提到線性相關和線性無關的概念。

雖然在定義2.1中給出了極小表示組的定義，但是如何利用條件（II）來確定一個向量組的極小表示組并不方便。因此，我們需要對最小這個條件換一種刻畫的方式。假設不是最小，那么在向量組中存在個向量，使得向量組中每個向量同樣能夠由向量組線性表示。因此

研究齊次線性方程組

最后，我們來驗證按照此方式給出定義2.1以及線性相關和線性無關的定義的合理性。下面我們只需要證明定義1.2和定義2.1是等價的。

（1），（2）成立 （I），（II）成立。

證明：（必要性）線性代數教材[2]中3.4節定理1已給出由（1），（2）可得出（I）成立。下面我們證明最小。利用反證法，假設在向量組中有個向量，使得向量組中每個向量也能夠由向量組線性表示。因此我們得到，由線性代數教材[2]中3.3節定理5可知，若，則向量組線性相關，這與（1）矛盾。故必要性成立。

3 結論

本文從用消元法解齊次線性方程組的全部解中受到啟發，希望用向量個數最少的部分解來線性表示此方程組的全部解，從而很自然引出極小相關組的定義。然后為了方便刻畫向量個數最少，我們引出了線性相關和線性無關的定義，并證明了極大無關組和極小表示組是等價的，從而說明了這一教學思路的可行性。通過這種教學思維方式，能充分激發學生的數學思維能力和興趣，引導他們在課堂上進行創新性學習。相信學習了本課程之后，學生能夠從不同角度以辯證的思路看待某個數學問題，對知識的理解也會更加深刻。