分塊矩陣Drazin逆的簡單結(jié)果

楊曉英，王亞強，劉 新

(1.四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 人文學(xué)院，四川 廣元 628017；2.寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

設(shè)Cm×n表示m×n階復(fù)矩陣的集合，A∈Cn×n，若X∈Cn×n滿足下列方程[1]：

(i)Ak+1X=Ak, (ii)XAX=X, (iii)AX=XA,

則稱X為A的Drazin逆，記作X=AD，稱k為A的指數(shù)，記作ind(A)=k，記Aπ=I-AAD。矩陣的Drazin逆是矩陣廣義逆的一種類型，如果矩陣的Drazin逆存在，則Drazin逆必唯一。

若存在正整數(shù)s， 使得As=0成立，則稱矩陣A是s-冪零的，滿足條件的最小正整數(shù)s稱為矩陣A的指數(shù)。

分塊矩陣的Drazin逆表示目前已有大量成果涌現(xiàn)[1-12]，但沒有條件限制的Drazin逆表示現(xiàn)在仍然是一個開放性問題，本文直接從分塊矩陣著手，通過把分塊矩陣逐個拆分，然后結(jié)合Drazin逆的性質(zhì)和利用已有引理，給出分塊矩陣分別在簡單條件AB=0，CB=0和AADC=0，AADD=0，AB=0，CB=0下Drazin逆的新表示。

為便于給出分塊矩陣Drazin逆的表示，下面首先給出幾個重要的引理。

其中，t=max{ind(P),ind(Q)}。

1 主要結(jié)果

下面應(yīng)用引理1—3給出在AB=0，CB=0條件下分塊矩陣Driazin逆的表示，以及在AADC=0，AADD=0，AB=0,CB=0條件下分塊矩陣的Brazin逆表示的結(jié)果。

首先，給出分塊矩陣在AB=0，CB=0條件下Drazin逆的表示。

(1)

MD=ND+L(ND)2。

(2)

(3)

再拆分Q：

由條件AB=0，可得UV=0，由引理2，

(4)

接下來給出在AADC=0，AADD=0，AB=0，CB=0條件下分塊矩陣Drazin逆的表示，這個定理實則為定理1的特例。

(5)

(6)

XD=ED+F(ED)2,

(7)

顯然，(A2AD)2=AD，由AADD=0，得(DAAD)D=0，再由AB=0，ADB=0，再結(jié)合引理3，可得

(8)

將(8)式代入(7)式，可得

(9)

進而，

YD=αD+β(αD)2=0。

(10)

接下來把α分成

由ind(A)=l，通過計算α1l+1=0，可得：α1為l+1階冪零矩陣，顯然α1α2=0。

由引理1，可得

(11)

將(11)代入(10)，可得

(12)

將(9)式與(12)式代入(6)式，得(5)式成立。

2 數(shù)值算例

下面給出一個數(shù)值例子來驗證定理2的正確性。

3 結(jié) 論

本文直接借助分塊矩陣其中一個塊的Drazin逆，利用已有的2個矩陣之和Drazin逆的表示，進而給出在簡單的條件下分塊矩陣Drazin 逆的新表達式，結(jié)果更具有一般性。