以例題為載體 活化數學教學思維
——以《勾股定理的簡單應用之折紙問題》為例

侯慶秋

(江蘇省南京市第五十四中學 210016)

1 教學過程

1.1 視頻導入，激起興趣

老師帶領學生觀看一段一分鐘的折紙視頻，通過視頻，教師引導學生關注到在折紙的過程中發生的很多圖形的變換，從而激發學生參與本課學習的興趣.

1.2 復習反饋，回憶舊知

在本節課之前，學生已經學習了勾股定理和勾股定理的逆定理.通過簡單的提問，讓學生回憶起之前所掌握的知識，為今天這節課的后續學習奠定了良好的基礎.

1.3 精選例題，活躍思維

在本節課中，筆者所選的例題是利用勾股定理解決折紙問題的典型方法，在教師和學生的共同分析之后，教師將解題過程完整地板書在黑板上，讓學生形成此種情境下的解決問題的初步印象.讓學生從初步的模仿開始，慢慢形成自己的思路，從而為下面的變式訓練做鋪墊.

例1如圖1，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=3,BC=5，求EC的長.

圖1

師：分析此題，有哪些已知條件？

生：有矩形ABCD，有折疊，還有AB=3,BC=5.

師：請大家將已知條件用鉛筆標注在圖上，通過折疊，我們能發現什么？有沒有可以挖掘的條件呢？

生：通過觀察發現折疊前的三角形和折疊后的三角形全等.

師：非常好.那我們可以繼續表示出哪些邊的邊長呢？

生：因為BC=5，所以AD=5，又因為折疊，所以AF=AD=5.那么在直角三角形ABF中，就可以用勾股定理求出BF的邊長為4.

師：還有別的邊可以表示嗎？

生：題目中要求的是EC的長，我們可以設EC=x，那么DE=EF=3-x，FC=BC-BF=5-4=1，這樣在直角三角形ECF中，我們表示出了三條邊的長，就可以利用勾股定理求出x了.

師：同學們的想法都非常好，我們共同將這道題的解題過程寫下來.(教師在黑板上板書)

1.4 變式訓練，舉一反三

數學是一門思維性很強的學科，數學題是永遠做不完的，所以在授課過程中，通過精選例題讓學生達到舉一反三、做一題會一類非常重要.在本節課的變式中，筆者的設計意圖就是使學生在鞏固利用勾股定理列方程一般模式的基礎上跳出思維的框框，看看能否有別的方法來解決這個問題，這種方法甚至比勾股定理更加簡單.通過這樣的思維訓練，學生的知識結構在無形中被打通了，體現了數學知識的融會貫通性，數學的靈活性思維也就躍然于心中.

變式1如圖2，在長方形ABCD中，AB=3，BC=5，如果將該長方形沿對角線BD折疊，那么圖中陰影部分的面積是多少？

要求學生在上一題的方法總結的基礎上獨立思考解決此題，請一位學生代表交流解題方法.該變式在例1的大前提不變的基礎上改變了折紙的方式，讓學生在例1的余溫中繼續思考.此環節的目的乃經驗移交，幫助學生舉一反三.

變式2如圖3，折疊直角三角形紙片ABC，使直角邊AC落在斜邊AB上(折痕為AD，點C落在點E處)，已知AC=6 ,BC=8，求CD的長.(將長方形紙片換成三角形紙片的背景)

圖3

學生嘗試運用之前總結出來的解題經驗，獨立完成，全班點評.這一環節的設置，加強了學生對解題模式的感覺，并且這道題除了可以用勾股定理解決還可以用面積法來解決，這就開拓了學生的思路，讓學生對折紙問題在原有模式的基礎上又產生了新的認識.

1.5 構造模型，經驗移交

本節課的設計從學生觀察思考到學法總結到實踐操作，再到檢測反饋，符合了認知的過程與規律；過程中例題的選用由淺入深，層層遞進；每個環節，教師重引導勤矯正，完成了學習經驗的移交.但是本節課也有一處不足，在經驗移交的過程中，總結本節課利用勾股定理解決問題的一般模式的時候，我是這樣總結的：①分析圖形；②表示邊長；③尋找相等關系；④構建方程；⑤求解作答.這樣的模式總結有一個缺點就是太空洞了，只是從宏觀的角度給學生一個解決問題的指引，其實應該更加具體一點，比如說，在翻折過程中要讓學生學會觀察哪些量并沒有發生變化，從線段的角度或者角的角度去看，抓住不變量，這樣表示各邊長就會更加準確快速.還要指導學生由已知到問題有時候需要雙向的思考，對于簡單的問題，由已知到問題可以直接解決，但是對于難題，如果出現由已知到問題卡殼的情況，可以從問題出發倒推，這樣雙向打通，更有利于問題的解決.

拓展：如圖4,長方形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，當△CEB’為直角三角形時，BE的長為多少？

圖4

此題需要分類討論，每位學生發放16K紙一張，讓學生參與到課堂的實踐活動中來，通過自己親手操作，發現可能出現的兩種可能性.通過這道拓展題，學生的思維能力又上升到了一個新的高度，對折紙情境下的幾何問題有了全面的認識，將精選例題的效益達到最大化.

2 教學反思

本課內容是蘇科版數學教材八年級上冊第三章第三節《勾股定理簡單應用》專題訓練的第一課.本課的教學目標是引領學生在折紙問題的情境下利用勾股定理解決問題，并在此基礎上，觸類旁通，學會在其他情境下(如最短距離問題)應用勾股定理解決問題.

合理選擇例題，是達成教學目標的重要方法.在本節課中，首先用例1給學生形成一個初步解決問題的想法，然后又通過兩個變式進行強化解題模式，最后通過拓展提升的例題打通學生的思維，對本節課的目標有了更為清晰地認識和理解.在本節課拓展提升的例題講解環節中，學生通過實實在在的折紙實驗，真正體會到折紙過程中圖形發生的變化量和不變量，認識到分類討論的必要性，實現了“嘗試運用發現——尋找——使用——檢驗的思維流程去解決問題，體會勾股定理的文化價值，增強應用意識，并感受解決實際問題的樂趣”這一教學目標.本節課在設計時重點關注了以下三個方面.

2.1 建構模型

模型的構造是數學學習的重要途徑，建構模型要讓學生感悟建構的方法的本質是“聯系”.在本節課的教學過程中，通過知識整理，引導學生準確把握折紙情境下產生的問題的特點與聯系，建構適合搜索的知識網絡，由粗糙到精致，逐步提升數學學習素養.

2.2 精選例題

例題是一節數學課課堂教學內容的核心體現.所以例題的選擇一定要進行全方位地思考.有的時候不一定使用書本上提供的例題，可以根據學生的學情，進行必要地篩選或者改編，以契合本節課的教學目的，讓學生更好地把握和理解知識點之間的關聯.大多時候，一道好的例題可以讓本節課的設計達到畫龍點睛的效果.精心設計例題，讓學生通過觀察圖形或者實際操作，準確找到圖中線段之間的數量關系，再通過嚴謹的邏輯推理感悟轉化思想(把斜三角形、四邊形等圖形轉化為直角三角形問題)，根據勾股定理寫出適宜的等量關系.

2.3 小組合作

學生的學習不應該僅僅是個體的獨立學習，同學之間的互相學習也是必不可少的一個環節.在筆者所教授的班級中，往往會把學生分配到各個小組，小組中的成員包含了不同學習能力、不同性格的學生，科學的分組可以讓課堂的效果事半功倍.課前學生獨立進行知識梳理，學習小組協作做好課前準備；在課堂討論環節，小組合作，思維碰撞，相互學習優點，凝聚集體的力量.

2.4 思維遞進

每一節課都離不開思維的活動.在本節課的設計中，每一個問題和每一道題的呈現都是有思維的遞進性的，讓學生感覺到數學的學習就好像是在爬樓梯，一步一步腳踏實地地前行，也許會感覺到疲憊，但是更多的是享受活躍思維的快樂.要想做到在數學課上呈現思維的遞進性，本質上還是需要教師在課堂設計的時候要合理排序，否則學生在數學課上就像過山車一樣，思維忽上忽下，雜亂無章，不利于形成完整而清晰的思維脈絡.

幾何是一個比較抽象的數學分支，如何將幾何的教學更加的具象，讓學生更好地理解？比如在經驗移交的時候，如何更加具有直觀性、可操作性，還有在課堂上如何豐富教學活動調動起學生參與課堂的積極性等等，是未來教師還需要不斷探索和研究的課題.