借助數學實驗 實現深度學習

吳秀蘭

(江蘇省常州市武進區坂上初級中學 213100)

初中數學教學中應注重借助實驗引導學生進行深度學習，鼓勵其參與到數學知識學習中，使學生自己發現問題、探究問題、得出結論，如此不僅能很好地提升其學習體驗，而且可以留下深刻印象，更好地把握數學知識的外延.尤其對于部分數學結論教學中，借助數學實驗，更容易使學生搞清楚結論成立的條件以及適用的問題情境，避免其死記硬背，張冠李戴.

1 情境鋪墊

二次函數是初中數學的重要知識點，尤其有關二次函數圖像方面的知識是日常測試以及中考的熱門考點.為加深學生對二次函數圖像的認識，并能以二次函數圖像為基礎，掌握特殊函數圖像的畫法，提高運用數形結合知識解題的意識與能力，課堂上為學生展示如下情境：

運用多媒體技術為學生展示二次函數y=x2-2x+3，要求學生回答以下問題：求該二次函數的頂點坐標以及對稱軸；判斷方程x2-2x+3=0是否有實數根；畫出二次函數的圖像.學生積極聯系所學對二次函數進行變形可得y=x2-2x+1+2=(x-1)2+2，可以看到二次函數的頂點坐標為(1，2)，對稱軸為直線x=1.對于方程x2-2x+3=0，因Δ=4-4×3=-8<0，因此，該方程并沒有實數根.令x=0，可得y=3，其關于對稱軸對稱的點的坐標為(2，3)，由此，不難畫出y=x2-2x+3的圖像.

課堂上要求學生回答上述問題，既鞏固其所學的二次函數圖像知識，又能為接下來的實驗開展奠定堅實基礎.

2 實驗開展

實驗情境一：待學生畫出二次函數y=x2-2x+3的圖像后，提出以下實驗問題，要求學生思考、探究：畫出-y=x2-2x+3的圖像，思考其和二次函數y=x2-2x+3的圖像有什么關聯？你能得出什么結論？

對-y=x2-2x+3進行變形得到y=-(x2-2x+3)=-(x-1)2-2，顯然其頂點坐標為(1，-2)，圖像和y軸的交點為(0，-3)，該點關于對稱軸對稱的點為(-2，-3)，由此學生不難畫出該二次函數的圖像.

而后要求學生將兩個函數圖像放在同一平面直角坐標系中，觀察兩個函數圖像的聯系.學生經過認真觀察與討論容易得出兩個函數圖像關于x軸對稱.

實驗情境二：課堂上給學生展示二次函數y=x2+2x+3，要求學生畫出該二次函數圖像，思考其與y=x2-2x+3圖像、-y=x2-2x+3圖像之間的聯系.同樣y=x2+2x+3=(x+1)2+2，其頂點坐標為(-1，2)，對稱軸為直線x=-1，圖像和y軸的交點為(0，3)，其關于對稱軸對稱的點為(-2，3)，則容易畫出其圖像.

觀察可知二次函數y=x2+2x+3的圖像和二次函數y=x2-2x+3圖像關于y軸對稱，和-y=x2-2x+3的圖像關于原點對稱.

實驗情境三：在屏幕上展示y=x2-2|x|+3，要求學生聯系所學，結合上述情境積累的經驗畫出其圖像，思考該函數圖像的對稱軸是哪一條直線？

因該二次函數中帶有絕對值，結合所學的絕對值知識可知，x的正負不確定.因此，需要進行分類討論，即，當x≥0時，y=x2-2x+3；當x<0時，y=x2+2x+3，則該函數的圖像是由兩個函數圖像構成，分別取y=x2-2x+3圖像中x≥0的部分和y=x2+2x+3圖像中x<0的部分，得出其圖像.由圖可清晰地看到，函數圖像關于y軸對稱.

實驗情境四：已知方程x2-2|x|+3=t，探討該方程根的個數.解答該題可采用轉化思想，將其看成：y=x2-2|x|+3，y=t兩個函數圖像的交點個數即為方程根的個數.由圖像可知函數的最小值為y=2，其和y軸的交點的縱坐標為3.顯然其分以下四種情況：

當t<2時，方程x2-2|x|+3=t無實根；當t=2或t>3時方程x2-2|x|+3=t有兩個實根；當t=3時，方程x2-2|x|+3=t有三個實根；當2

實驗情境五：畫出函數y=|x2-2x+3|的圖像，思考其與y=x2-2x+3圖像有什么關系？為什么？

學生通過畫圖探究，不難回答提出的問題.因二次函數y=x2-2x+3的開口向上且最小值為2.無論x取任何的實數，y>0均成立，則函數y=|x2-2x+3|的圖像和函數y=x2-2x+3圖像相同.

繼續拋出如下問題，要求學生思考探究：二次函數y=x2-2x是由二次函數y=x2-2x+3怎樣移動而來？分別畫出二次函數y=x2-2x和y=|x2-2x|的圖像.由二次函數圖像平移規律可知，要想得到二次函數y=x2-2x需要將二次函數y=x2-2x+3上的各點向下平移三個單位.令x2-2x=0，可得x1=0，x2=2，可知該函數圖像和x軸的交點分別為(0，0)，(2，0)且對稱軸為直線x=1，如此便不難畫出其圖像.但是怎樣畫出函數y=|x2-2x|的圖像呢？

圖1

課堂訓練：實踐中為檢驗學生是否真正地理解實驗內容，課堂上展示如下習題，要求學生思考作答：

已知關于x的方程|x2+ax|=4有4個不相等的實根，則a的取值范圍是( ).

A.a<-4或a>4 B.a=4或a=-4

C.-4

解答該題可先畫出函數y=x2+ax的圖像，而后將y<0部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，畫出函數y=|x2+ax|圖像， 觀察圖像可得選擇A項.從解題過程來看，學生只有真正地吃透數學實驗內容以及實驗結論，才能迅速找到解題思路.通過該課堂訓練習題，可暴露出學生在數學實驗中的不足，啟發其結合自身實際情況及時查漏補缺.

3 實驗結論及教學啟示

3.1 數學實驗結論

課堂上組織學生開展數學實驗，得出以下結論：對于二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，使用“-x”替換其中的“x”得到二次函數y=ax2-bx+c，兩個函數圖像關于y軸對稱；使用“-y”替換其中的“y”得到二次函數y=-ax2-bx-c，兩個函數圖像關于x軸對稱；使用“-x”、“-y”替換其中的“x”、“y”得到二次函數y=-ax2+bx-c，兩個函數圖像關于原點對稱；圖像中y>0的部分和二次函數y=|ax2+bx+c|圖像一樣.圖像中y<0的部分需要將其關于x軸對稱得到y=|ax2+bx+c|圖像；判斷方程根的個數的問題時可采用數形結合思想，結合方程特點，將其拆分成兩個函數，參考上述結論畫出函數圖像.圖像交點個數即為方程根的個數.

3.2 借助數學實驗進行深度學習的啟示

其一，做好實驗鋪墊.為使學生做好數學實驗的心理以及知識準備，在進行實驗之前應做好鋪墊，注重從學生熟悉的知識切入，創設相關的問題情境，更好地激發學生參與數學實驗的興趣與積極性.在鋪墊環節應注重設計問題，要求學生積極聯系所學思考作答，使其主動地回顧已學知識，為實驗的開展埋下伏筆.

其二，注重循序漸進.設計數學實驗時應注重遵循學生的認知、學習規律，合理把握數學實驗問題的難度，循序漸進，逐步深入，如此可避免學生出現畏難情緒，使其以高漲的熱情投入到數學實驗中.實踐中按照由易到難的原則設計問題要求學生進行實驗、探究，很好地滿足了學生的心理預期，尤其當學生得出正確的探究結論時，成就感油然而生，在課堂上表現得更為積極、活潑.不僅如此，在完成數學實驗后要設計課堂訓練習題，要求學生作答進一步夯實其所學.

其三，給予啟發、引導.對于部分學生而言圍繞實驗開展深度學習活動可能具有一定難度.為保證學生向著正確的方向思考問題，降低其實驗探究難度，提高數學實驗的成功率.學生實驗過程中，教師應注重走下講臺了解學生的探究進度、探究思路，必要情況下使用多媒體技術給予引導，或者提出問題給予啟發，使其能夠頓悟，及時調整探究思路.

其四，重視實驗總結.完成數學實驗后應注重引導學生做好實驗結論的總結，使其在以后解答相關數學習題時能夠靈活應用，提高解題效率.同時，要求學生思考，實驗結論的使用情境以及應用結論時應注意哪些細節等.實踐中專門給學生預留實驗總結時間，并鼓勵學生相互交流心得，交換課堂筆記等，確保總結的內容能夠涵蓋所有實驗內容，避免有知識上的漏洞.