初中數學教學中數形結合思想的應用
——以函數教學為例

肖秀珍

(福建省三明市將樂縣第二中學 353300)

數學的兩大基本屬性是數與形，數缺形則少直觀，形少數則難入微.初中數學函數可以理解為集合間的對應關系，包含三大要素即：定義域、值域、對應關系.表格、坐標系、圖像等形式可以將枯燥的數字符號和函數語言轉化為易于理解的圖形語言，教師可以通過函數圖像的教學有效直觀地講解函數知識，將數形結合的思想植入學生初中階段函數學習中，為未來高中函數甚至高數的學習打好基礎.因此本文針對“數形結合”展開的初中函數課程教學策略具有重要意義.

1數形結合思想初步形成之坐標系學習

學好函數的基礎之一是對平面直角坐標系和坐標概念有深刻地了解.因為函數圖像是由坐標系中的無數個點連接而成的，平面直角坐標系就如同畫布一般，決定著點的相對位置、所處象限和圖像特征.在函數教學中滲透數形結合思想，可以幫助學生快速地完成圖像到數字的轉換，讓函數圖像上點的位置和坐標對應起來，用數字來解析圖像，用圖像來解答問題.

教師在教學過程中可以設置問題，引發學生對抽象化坐標系的思考，再運用多媒體數字化課堂進行動畫演示，增強學生的理解認知.

例如：(1)坐標軸的橫縱坐標如何建立，坐標軸上每個點代表的意義和特點？

(2)點A(1，1)，B(1，-1)，C(-1,-1)，D(-1,1)分別在坐標系的哪個象限？

(3)A(1，1)經過怎樣的移動可以到達點D(-1,1)？

(4)點A(1，1)，B(1，-1)，C(-1,-1)，D(-1,1)構成什么圖形？學生在對問題思考的同時，數與形就會巧妙地在他們的大腦中進行結合，學生可以通過自己思考和教師演示初步建立函數學習的數形結合思維意識.例如第4小題的具體數形結合圖像如圖1.

圖1

2數形結合思想的靈活利用之精準作圖助解題

知名數學家波利亞撰寫過《數學的發現》一書，書中提及數學教學的本質是一個引導學生尋找線索、解密答案的過程.在解答數學題目時，要學會從不同的角度去分析問題，將抽象理論的數學條件轉換成直觀形象的數學圖形，幫助學生理清思緒，找到線索，以達到簡化問題的目的.由此可知，數形結合思想在函數教學中的重大意義.在教學函數知識時，通過坐標畫圖的方式可以幫助學生完成思維的轉換，讓數的特征以形的面貌體現出來，從而更清楚地了解函數的圖像、走勢、特征和發現函數圖象規律性特征.本文通過例1反比例函數圖像講解和例2函數求最值問題兩個案例，介紹利用數形結合、精準作圖的方法進行函數教學的必要性.

圖2

圖3

將數形結合思想引入初中函數課堂教學中，可以有效培養學生的數學建模能力和思維轉化能力，幫助學生掌握多元角度分析問題的方法和思路，推動學生將幾何與代數知識有機串聯起來，促進學生數學思維品質的健康發展.

3 數形結合思想的逆向運用之解析函數不等式

中學階段傳統教學方法求解一元二次不等式時，往往采用“一元二次不等式三部曲”，即化簡不等式、判斷不等號方向、求解不等式范圍的方法.這種傳統的求解方法雖然具有很強的適用性和規律性，但是符號語言過于抽象，學生理解較為困難.教師可以通過二次函數圖像輔助求解不等式，將抽象問題具體化，易于學生掌握.

例3求解一元二次不等式x2-4x-5>0.

分析對于這種形式的不等式，我們可以直接對等式左邊進行因式分解可得

x2-(5-1)x-[5×(-1)]>0

(x-5)(x+1)>0

所以x<-1或x>5.

對于第一步和第二步因式分解，初二基礎過關的同學都能理解，但是對于第三步分解不等式，卻使得同學們難以理解，若是借助二次函數的圖像便能生動形象地將其解釋開來.這里做到第二步的時候，借助二次函數圖像理解，利用兩點式，確定y=x2-4x-5的圖像與x軸的交點為(5，0)和(-1，0)；再利用一般式a=1>0得到，該函數圖像開口向上，所以當x<-1或x>5時y>0，所以(x-5)(x+1)>0的解集即為{x|x<-1或x>5}.具體不等式求解方法如圖4.

圖4

4數形結合思想理論與實踐融合

在素質教育為先的教學時代，教育要與生活結合，教學理論方法也要與實踐相融合.因此初中數學教學要將函數理論與實踐相結合，教師要善于利用多媒體互聯網等手段，直觀地展示函數圖像與函數解析式之間的關系，幫助學生更好地理解和吸收.教師要善于運用情景導入、數形結合等方式，引導學生動手制圖、自主學習探索提升學習興趣和學習熱情，高效科學地解決初中課本中的問題以及生活中的實際問題.初中數學學習階段的重難點是一次函數、二次函數和比例反函數的圖像與性質.教師要重視學生數學建模能力、遷移轉化能力、邏輯思維能力地培養與發展，將抽象的函數符號轉化為具體的圖像，讓學生發現數學的趣味和獨特魅力.

數形結合的數學思想在數學各階段的學習都具有較好的效果，不局限在函數章節學習，這種化繁為簡、變抽象為具體、化符號為圖像的數形結合學習方法對學生的學習具有重要作用，能幫助學生內化知識點，提升自主學習能力.函數學習的有效方法之一就是數形結合方法.對此，在具體的實踐教學中，教師要注重該方法的應用和滲透，促進學生知識遷移轉化能力、多元角度分析問題能力、邏輯思維能力的綜合發展，幫助學生打牢函數基礎，同時提高函數教學的質量.