初中數(shù)學(xué)“規(guī)律探索型概念課”的教學(xué)誤區(qū)及改進(jìn)措施
——以《銳角三角函數(shù)》概念課為例

許家健

(廣東省陽(yáng)江市江城區(qū)教師發(fā)展中心 529900)

在初中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)中，有一類屬于“規(guī)律探索型概念課”.筆者曾在三所不同的學(xué)校聽(tīng)了題為“銳角三角函數(shù)”的同一節(jié)概念課，這節(jié)課就屬于“規(guī)律探索型概念課”.現(xiàn)對(duì)這三節(jié)課的教學(xué)誤區(qū)進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，并提出一些改進(jìn)措施.

1 初中數(shù)學(xué)“規(guī)律探索型概念課”的教學(xué)誤區(qū)

1.1 采用“概念講述”的方式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，死記硬背概念，不會(huì)靈活運(yùn)用

學(xué)校1的老師直接采用了“概念講述”的方式進(jìn)行教學(xué)，大致流程如下：

(1)屏幕顯示課本的問(wèn)題：為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌，觀測(cè)得斜坡的坡角為30°，為使出水口的高度為35m，需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？

(2)老師講解：上面的問(wèn)題可以用圖形表示為：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=35m，求AB的長(zhǎng).

(4)給出正弦定義，然后讓學(xué)生讀定義.

(5)例題講解，如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB.

圖1

(6)設(shè)計(jì)幾道練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固概念.

通過(guò)這樣的方式學(xué)習(xí)，學(xué)生并沒(méi)有真正理解“正弦”概念的含義.課后，筆者對(duì)學(xué)生問(wèn)了幾個(gè)問(wèn)題，學(xué)生只記住了對(duì)邊與斜邊的比，并不知道這個(gè)比值是由角的大小確定的，更不理解這個(gè)比值是隨角的大小變化而變化的函數(shù)關(guān)系，若把直角三角形變成銳角三角形就更無(wú)從下手了.

1.2 只重視對(duì)已有結(jié)論的證明，忽視了對(duì)結(jié)論的猜想和發(fā)現(xiàn)

在上述過(guò)程中，老師從特殊到一般，對(duì)結(jié)論進(jìn)行了證明，過(guò)程看似完整.事實(shí)上，學(xué)生仍處于被動(dòng)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，充其量只學(xué)會(huì)了證明他人發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，卻沒(méi)有經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，沒(méi)有學(xué)會(huì)如何去發(fā)現(xiàn).

1.3 從局部到局部的散點(diǎn)狀教學(xué)，概念關(guān)聯(lián)不強(qiáng)

學(xué)校3的老師基本上按照教材的編排順序進(jìn)行正弦概念的教學(xué)，簡(jiǎn)要概括流程如下：

問(wèn)題1 顯示課本中的為了綠化荒山，建揚(yáng)水站的問(wèn)題.

問(wèn)題2 在上面的問(wèn)題中，如果出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？

這樣的設(shè)計(jì)是一種典型的從局部到局部的散點(diǎn)狀教學(xué)，概念關(guān)聯(lián)不強(qiáng)，學(xué)生要等學(xué)完余弦、正切等概念后才給出銳角三角函數(shù)的概念，學(xué)習(xí)中缺少類比聯(lián)想的過(guò)程，也不能從整體上理解函數(shù)的概念.

2 初中數(shù)學(xué)“規(guī)律探索型概念課”的教學(xué)模式分析及舉例

2.1 初中數(shù)學(xué)“規(guī)律探索型概念課”的教學(xué)模式分析

作為過(guò)程的數(shù)學(xué)概念，只有經(jīng)歷概念完整的形成過(guò)程，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵的理解才會(huì)更加清晰準(zhǔn)確，才會(huì)更加豐富.作為對(duì)象的數(shù)學(xué)概念，我們必需克服散點(diǎn)狀的教學(xué)形式，要有整體觀念，使學(xué)生對(duì)概念的理解有一種結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系.針對(duì)初中數(shù)學(xué)“規(guī)律探索型概念課”的特點(diǎn)，我們應(yīng)采取如下的教學(xué)模式：材料感知→描述與反思、發(fā)現(xiàn)猜想→證明猜想、歸納結(jié)論→概念命名→練習(xí)鞏固、納入系統(tǒng).

2.2 “銳角三角函數(shù)概念課”教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)及分析

環(huán)節(jié)一 復(fù)習(xí)舊知

問(wèn)題1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，求∠B.

問(wèn)題2Rt△ABC中，AB=3，BC=4，求AC.

環(huán)節(jié)二 材料感知，情境引入

問(wèn)題3 顯示課本中的為了綠化荒山，建揚(yáng)水站的問(wèn)題.

老師提問(wèn)：?jiǎn)栴}1涉及了直角三角形角和角之間的關(guān)系，問(wèn)題2涉及了直角三角形邊與邊之間的關(guān)系，問(wèn)題3涉及直角三角形哪些要素之間的關(guān)系？

設(shè)計(jì)目的：讓學(xué)生從生活中的具體例子出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；從復(fù)習(xí)直角三角形角與角的關(guān)系、邊與邊的關(guān)系，再到本節(jié)邊與角的關(guān)系，過(guò)渡自然，也引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直角三角形各元素進(jìn)行整體研究和認(rèn)識(shí).

環(huán)節(jié)三 描述與反思、發(fā)現(xiàn)猜想

說(shuō)一說(shuō)問(wèn)題4 在Rt△ABC中，三條邊兩兩組合，一共有多少個(gè)比值？

做一做問(wèn)題5 填表1(Rt△ABC，∠C=90°)

表1

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)，我們通過(guò)豐富的材料，讓學(xué)生參與對(duì)這些材料的比較、辨析活動(dòng)，從角與角、邊與邊的關(guān)系自然想到對(duì)邊與角關(guān)系的研究.

猜一猜先讓學(xué)生分小組對(duì)前面的活動(dòng)進(jìn)行描述與反思，進(jìn)而提問(wèn)：當(dāng)∠A=30°或45°時(shí)，上述表格里的三個(gè)比值是固定的，若銳角∠A取其他數(shù)值時(shí)，上述比值有什么變化？你是怎樣研究的？由此，你得出什么樣的猜想？

當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生爭(zhēng)辯時(shí)，老師提議：可否用幾何畫板驗(yàn)證一下？驗(yàn)證后填表2：

表2

通過(guò)描述、反思、實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生取得一致猜想.

環(huán)節(jié)四 證明猜想，歸納結(jié)論

操作：作任意∠A，在∠A的一邊上任意取一點(diǎn)B，作BC垂直于∠A的另一邊，垂足為C，在射線AB上取不同于B的另一點(diǎn)B′，作B′C′⊥AC，交點(diǎn)為C′.

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)操作設(shè)計(jì)可以由學(xué)生自主完成，若學(xué)生在證明猜想時(shí)感到困難，老師可以利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)展示啟發(fā)學(xué)生思路，同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷從不完全歸納到演繹推理的過(guò)程，既培養(yǎng)了思維的發(fā)散性，又培養(yǎng)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

環(huán)節(jié)五 概念命名，引入符號(hào)

設(shè)計(jì)意圖：這種設(shè)計(jì)是在尊重教材原有設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開發(fā)課程資源，在適合學(xué)生實(shí)際情況的前提下，對(duì)教材進(jìn)行重組，先讓學(xué)生重溫“函數(shù)”的概念，接著理解“三角函數(shù)”，最后到“正弦”、“余弦”、“正切”.這種從整體到局部的設(shè)計(jì)，加強(qiáng)了概念之間的關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生對(duì)“三角函數(shù)”概念的結(jié)構(gòu)性理解.

環(huán)節(jié)六 練習(xí)鞏固，納入系統(tǒng)

(1)基本練習(xí)及變式練習(xí)

(2)引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)與反思：今天你有什么收獲？你知道“函數(shù)”、“三角函數(shù)”、“正弦”、“余弦”、“正切”各概念之間有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎？你可以用思維導(dǎo)圖表示上述關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)基本練習(xí)及變式練習(xí)，讓學(xué)生在應(yīng)用中進(jìn)一步加深對(duì)“銳角三角函數(shù)”概念的理解；通過(guò)小結(jié)與反思，讓學(xué)生把“銳角三角函數(shù)”概念納入已有的知識(shí)系統(tǒng).

在這類概念課的教學(xué)中，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的概念探索過(guò)程，學(xué)生才能對(duì)數(shù)學(xué)概念有更深度的理解，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能真正養(yǎng)成，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的價(jià)值才能真正實(shí)現(xiàn).