構建數學模型巧解一類數學問題

樂和順

(湖北隨州市曾都區第一中學 441300)

在高中數學的學習中，有些數學問題其本身蘊含著明確的幾何意義，若能有意識地引導學生認真讀題，注意挖掘出此道數學問題所蘊含的幾何意義，通過直觀想象，構建出相應的數學模型，揭示數學對象之間的關系、規律，進行合理地轉化，可以化繁為簡，讓問題得以快速地解決.

1 利用兩點間的距離求解

解析因為Ma,b在直線3x+4y=15上，

所以3a+4b=15.

2 利用點到直線的距離求解

例2若動點Ax1,y1，Bx2,y2分別在直線l1:x+y-7=0，l2:x+y-5=0上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為( ).

解析由題意知，點M所在直線與l1，l2平行且與兩直線距離相等．

設該直線的方程為x+y+c=0，

所以點M在直線x+y-6=0上運動．

則點M到原點距離的最小值就是原點到直線x+y-6=0的距離，即

故選A.

點評此例的點M在一條定直線上，要求點M到原點距離的最小值，其數學實質就是原點到直線的距離，對應數學模型為點到直線的距離.

3 利用點、直線與圓的位置關系求解

A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1

分析點M的坐標為cosα,sinα，其數學模型是點M在單位圓上，問題轉化成直線與圓有公共點，利用直線與圓的位置關系即可求解.

解析因點M的坐標為cosα,sinα，所以點M在單位圓上.

例4 在平面直角坐標系xOy中，直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點P，則當實數k變化時，點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為____．

分析直線l1過定點A0,2，直線l2過定點B2,0，且兩直線相互垂直，垂足即為點P，說明點P在以點AB為直徑的定圓上，問題轉化為考查直線與圓的位置關系.

因為圓心到直線x-y-4=0的距離為

4 利用圓與圓的位置關系求解

例5 在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點A-1,0，B1,2．在圓C上存在點P，使得PA2+PB2=12，則點P的個數為( ).

A．1 B．2 C．3 D．4

分析依據圓的定義由條件“PA2+PB2=12”可知點P在圓上，問題化歸為考查兩圓的位置關系.

解析設Px,y，圓C：x2+y2-4x=0即圓C：x-22+y2=4.

因為PA2+PB2=12，

所以PA2+PB2=x+12+y-02+x-12+y-22=12.

化簡,得x2+y-12=4.

問題即為點P要同時在兩個圓上.

所以圓x-22+y2=4與圓x2+y-12=4相交，故點P的個數為2.故選B.

5 利用直線的斜率求解

分析本題關鍵點是將條件“∠APO=∠BPO”轉化為直線PA與PB的斜率之和為0,再用斜率公式，問題獲得解決.

很顯然當直線AB的斜率不存在時,t可以為任意實數.

當直線AB的斜率存在時,設AB的方程為y=kx-1,其中Ax1,y1，Bx2,y2,

得1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0.

根據根與系數的關系有

整理,得2x1x2-t+1x1+x2+2t=0.

解得t=2.

6 利用導數的幾何意義構建對應數學模型

例7若實數a，b，c，d滿足lna=b，c+1=d，則a-c2+b-d2的最小值為____.

分析數學式a-c2+b-d2可理解為曲線y=lnx上一點a,b與直線y=x+1上一點c,d間的距離的平方，根據函數圖象及性質可知，函數y=lnx在1,0處的切線方程x-y-1=0與直線y=x+1之間的距離的平方為我們要求的a-c2+b-d2的最小值.

圖1

解析因為式子a-c2+b-d2表示兩點間的距離的平方，又有b=lna，d=c+1，令函數y=lnx與直線y=x+1.

a-c2+b-d2的最小值即為函數y=lnx與直線y=x+1平行的切線與直線y=x+1之間的距離的平方.

即函數y=lnx在1,0處的切線方程為x-y-1=0，與直線y=x+1平行.

故a-c2+b-d2的最小值為d2=2.

教師在課堂教學中可以有意識地引導學生分析條件，找到條件與基礎知識間的相互聯系，思考知識與技能所蘊含的數學本質，構建合適的數學模型，培養學生運用知識解決問題的能力，實現學生形成和發展數學學科核心素養的目標.同學們在平時的數學學習中，要重視數學基礎知識、基本技能的學習與積累，認真審題，抓住題眼，學會合理建模，善于舉一反三，不斷提升自己的分析問題與解決問題的能力.