例談構造方程在解題中的應用

吳俊明

(廣東省華南師范大學數學科學學院 510407)

學生在高中數學的解題中，相比于自己構造方程，更多地會遇到直接解方程的情形.而有時候，利用構造方程的方法，可以將一個復雜的問題變得簡單.所謂構造方程的方法，是指根據題目已有信息構造方程，再利用所構造方程的解或者性質返回得到原問題的解.

1 在證明等式與不等式中的應用

證明由已知式子通分易得

(a+b)bsin4x+(a+b)acos4x=ab.

從而得到關于a的一元二次方程

a2cos4x+ab(cos4x+sin4x-1)+b2sin4x=0.

計算得關于此方程的根的判別式為

Δ=b2(cos4x+sin4x-1)2-4b2cos4xsin4x

=b2(cos4x+sin4x-1)2-(2cos2xsin2x)2

=b2(cos2x+sin2x)2-1(cos2x-sin2x)2-1

=0.

由于b>0，故

又因為sin2x+cos2x=1，

證明當-7a+b-3c=0時，命題顯然成立.當-7a+b-3c≠0時，構造關于x的一元二次方程

(-7a+b-3c)x2+2(a-3b+4c)x+5(a+b-c)=0.

注意到該一元二次方程有一實根1，那么關于此方程的根的判別式為Δ=4(a-3b+4c)2-20(-7a+b-3c)(a+b-c)≥0.

化簡即得(a-3b+4c)2-5(-7a+b-3c)(a+b-c)≥0.

評注本題中，根據求證式子的形式，容易讓人聯想到一元二次方程根的判別式，在給原求證式乘上系數4后，只需用該式中的若干多項式作為系數構造恒有解的一元二次方程即可.

2 在求值中的應用

例3 求sin18°和cos36°的值.

新一輪基礎教育課程改革明確提出要求教師積極突破傳統的教學模式，轉變以往以教師說教為重點的教學方式，要求教師明確自身在教學中引導者與組織者的身份，并充分發揮自身的引導者與組織者的重要作用。在初中道德與法治課堂教學中，教師應該積極的優化教學的方法，以適合初中生身心特點和符合初中生興趣的方式開展道德與法治教學，有效激活初中生的思維，從而達到事半功倍的效果。

-sin18°+cos36°=sin54°-sin18°

由于-sin18°<0，cos36°>0，

評注本題的主要思路是將-sin18°和cos36°看作某個一元二次方程的兩根，利用韋達定理將該一元二次方程構造出來，從而解該方程即可求得-sin18°和cos36°的值.

那么x3=40+6x.

于是考慮方程x3-6x-40=0，

即(x-4)(x2+4x+10)=0.

因為x2+4x+10=(x+2)2+6>0恒成立，

所以x-4=0.

即上述方程有唯一實根x=4.

3 在解方程(組)中的應用

將原方程兩邊平方可得

評注本題首先引入雙變元u,v，看似將問題變復雜了，但實際上由原方程可得u+v的值，從而可將u,v看作是某個一元二次方程的兩根，為此只需求出uv的值.此后，解由u,v得到的一元二次方程，即可得到x=u的值.

評注觀察兩根式內式子的系數，發現兩根式內式子相減為一常數，于是兩相加根式乘與之“對偶”的相減式，即可得到一個恒成立的方程.利用原方程，容易算得相減式的值，從而得到兩個根式的值.再利用其中一個根式的值解方程即得原方程的解.

例7 解關于u,v,w的方程組

(1)

(2)

(3)

其中a,b,c是互不相等的實數.

解析將上述方程組中的三個式子相加得

3u+2(a+b+c)v+2(a2+b2+c2)w

=2(a3+b3+c3).

(4)

由(4)-2×(3),(4)-2×(2),(4)-2×(1)可以分別得到(5)(6)(7)，即

(5)

(6)

(7)

那么a,b,c是該一元三次方程的三個不同根.

從而由韋達定理得

即u=2abc,v=-ab-bc-ac,w=a+b+c.

經檢驗，這確實是原方程組的解.

評注本題首先要將由(1)(2)(3)式得到的方程組化簡為由(5)(6)(7)式得到的方程組，再由(5)(6)(7)式的規律性容易想到構造與之相關的一元三次方程，從而利用韋達定理即可得到原方程組的解.在整個過程中，變元與系數相互轉化的思路起到了重要作用.

構造方程的方法可以概括為以下幾點：

(1)根據已知條件直接變形導出所需的方程，在求解該方程后容易得到原問題的解；

(2)根據判別式來構造相應的一元二次方程；

(3)根據韋達定理的形式構造相應的一元n次方程，在求解該方程后容易得到原問題的解；

(4)根據已有條件構造一元n次方程，利用韋達定理得到原問題的解，其中需利用變元與系數相互轉化的思路.

總而言之，對于一些有技巧性或者有難度的題目，如果根據題目特征能構造相應方程，那么求解將會更加便捷，思路更加清晰.教師在日常教學中，可以引導學生進行構造方程解決問題的訓練.這種訓練不僅有助于學生構建數學知識間的關聯，而且也是對學生數學解題能力、創新能力以及逆向思維、發散思維的鍛煉.