數學競賽中的復合最值問題

孫麗霞

(甘肅省天水市田家炳中學 741000)

復合最值問題出現在數學競賽中歷史悠久，直到現在還風靡在高考、自主招生和競賽中，

初次接觸的學生理解起來較難，其實就是求出函數f(x)的最小(大)值，記為f(x)min(f(x)max)，其中表達式還含有變量x或其它變量，再求f(x)min(f(x)max)的最大(小)值，可記為max{min[f(x),g(x)]}(min{max[f(x),g(x)]})，有時是兩個(或多個)函數在某個特定區間進行動態比較，采用如下記號max{min[f(x),g(x)]}或者min{max[f(x),g(x)]}，用通俗的語言說就是“函數圖象y=f(x)與y=g(x)，誰低取誰，再對圖象求最高點的值”或者“函數圖象y=f(x)與y=g(x)，誰高取誰，再對圖象求最低點的值”.如果y=f(x)與y=g(x)的圖象不是很好畫，那就要用不等式知識，這就要掌握一定的解題技巧，用心領悟琢磨.

解析當a≤0時,f(a)=(a+1)2-2(a+1)-1=a2-2;

當a≥1時，f(a)=a2-2a-1;

當0

所以f(a)在[-1,1]上的最大值為-1.

A.-1 B.1 C.2 D.3

解析直線y=2x+4,y=5-3x分別經過(-1，2)，(1，2)，且這兩點關于y軸對稱，所以當b=0時，拋物線y=ax2過(-1，2)，(1，2)兩點，得a=2;

當b≠0時，拋物線y=ax2+b過(-1，2)，(1，2)兩點，所以a(-1)2+b=2.所以a+b=2.

例3 (2015年浙江省數學競賽13)設函數f(x)=min{x2-1,x+1,-x+1}，其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.若f(a+2)>f(a),則實數a的取值范圍為____.

解析當a+2≤-1時，a

當-1

此時有f(a)≤f(-2)=-1

當0≤a+2≤1時，-2≤a≤-1,

此時有f(a)≥f(a+2);

當1

此時有f(a)

當a+2≥2時，a≥0,

此時有f(a)≥f(a+2).

所以實數a的取值范圍為(-∞,-2)∪(-1,0).

下面一題與例4有異曲同工之妙，只是在記號上面做一點花樣，使有些同學看不明白.

例5 (2020年重慶賽區預賽6)若x,y為實數，則|2x+y|,|x-y|,|1+y|這三個數中最大數的最小值是____.

解析令M=max{|2x+y|,|x-y|,|1+y|},則

M≥|2x+y|,M≥|x-y|,M≥|1+y|.

所以6M≥|2x+y|+2|x-y|+3|1+y|

≥|(2x+y)-2(x-y)-3(1+y)|=3,

和例4相比，此例消元難度要大些，一方面要用到絕對值三角不等式，另一方面要配湊系數能消去變量x,y，又要保證等號取到.

解析根據柯西不等式， 有

例7 (2017年山東賽區預賽5)設a,b,c為非負實數，滿足a+b+c=8,ab+bc+ca=16.記m=min{ab,bc,ca}，則m的最大值為____.

解析不妨設a≤b≤c，則

ab≤ca≤bc,m=ab.

轉化為只要求ab最大值，結合已知條件

a+b=8-c,

ab=16-(bc+ca)=16-c(a+b)=(c-4)2,

進而只要求得c的范圍，也就求得ab的最大值.

而a+b,ab同時出現又暗示逆用韋達定理構造a,b為實根一元二次方程，再用判別式求c的范圍.

以a,b為實根的一元二次方程是

x2+(c-8)x+(c-4)2=0,

Δ=(c-8)2-4(c-4)2≥0,

解析此題歷史悠久，即便放在現在依然是難題，并且有很強的指導意義，棄之不用是該題的最大技巧.

故M的最小值為lg2.

練習2 (2001年北京市數學競賽題)設a,b,c∈R,且a+b+c=1,則min{max{a+b,b+c,a+c}的值為____.

練習3 定義max{a,b,c}為a,b,c中的最大值，令M=max{|1+a+2b|,|1+a-2b|,|2+b|},則對任意的實數a,b,M的最小值為____.

練習5 求min{max{x2+xy+x,4y2+xy+2y}}的值.

練習8 設x,y∈R,A=max={|x+y|,|x-y|,|1-x|,|1-y|},試求A的最小值.