破解一類無理方程問題的新視角
——導數

張 君

(四川省溫江中學 611130)

1 預備知識

引理1拉格朗日中值定理.

若函數f(x)滿足如下條件：

(1)f(x)在閉區間[a,b]上連續；

引理2琴生(Jensen)不等式.

反之，若f(x)為嚴格凸函數，則有

f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≥λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn).

當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立.

引理3 設f(x)是區間I上的二階可導函數，則在I上f(x)為嚴格凸(凹)函數的充要條件是f″(x)<0(f″(x)>0).

2 一類無理方程問題

問題2 解方程log3(x-5+6)·log3(x2+3)=log37·log3(x2+x-5+2).

觀察以上三個問題，不難發現:

(2x2+x+11)+4=(x2+3)+(x2+x+12)，

x-5+6+(x2+3)=7+(x2+x-5+2).

由此可見，以上兩個問題均是以“f(x)+g(x)=h(x)+k(x)”為背景，求無理方程F(f(x))+F(g(x))=F(h(x))+F(k(x))或者F(f(x))·F(g(x))=F(h(x))·F(k(x))的解問題.這一類問題并不是很好處理，筆者嘗試從導數的視角去研究破解此類問題的方法.

3 探究問題的破解之道

定理1 若函數F(x)在區間上存在二階導數，且F″(x)>0(或F″(x)<0)，又f(x),g(x),h(x),k(x)均是I上的函數，其值域均含在內，且f(x)+g(x)=h(x)+k(x)，則方程

F(f(x))+F(g(x))=F(h(x))+F(k(x))

(1)

與f(x)=h(x)或f(x)=k(x)

(2)

同解.

注符號< >表示開區間、閉區間、半開區間、半閉區間、有限區間或無限區間.若F″(x)>0(F″(x)<0)，則要求使得等號成立的點只有有限個，即F(x)是嚴格凹(凸)函數.下同.

證明這里僅證明F″(x)>0情形(F″(x)<0情形類似可證).

設x0是f(x)=h(x)的一個根，即

f(x0)=h(x0).

又f(x0)+g(x0)=h(x0)+k(x0)，

從而g(x0)=k(x0).

于是F(f(x0))+F(g(x0))=F(h(x0))+F(k(x0)).

即x0是方程(1)的根.

設x0是方程(1)的根，證明x0也是方程(2)的根，用反證法.

假設x0不是方程(2)的根，即x0不是f(x)=h(x)和f(x)=k(x)的根，則只能有以下四種情形：

①f(x0)>h(x0),f(x0)>k(x0)；

②f(x0)

③f(x0)>h(x0),f(x0)

④f(x0)k(x0).

這里僅證情形①(其他情形類似可證)，由已知條件，有

f(x0)-h(x0)=k(x0)-g(x0)=d>0，

從而f(x0)=h(x0)+d與k(x0)=g(x0)+d.

設u(x)=F(x+d)-F(x)，x∈.

由引理1及F″(x)>0，有u′(x)=F′(x+d)-F′(x)=F″(ξ)d>0，ξ∈(x,x+d).

所以函數u(x)在上嚴格遞增.

由情形①知h(x0)>g(x0).

所以u(h(x0))>u(g(x0)).

從而F(h(x0)+d)-F(h(x0))>F(g(x0)+d)-F(g(x0)).

即F(f(x0))+F(g(x0))>F(h(x0))+F(k(x0)).

即x0不是方程(1)的根，矛盾.

問題1的解將方程變形為

由定理1知，原方程與方程x2+x+12=4或x2+3=4同解.解之得x1=-1,x2=1，代入原方程驗證均為原方程的根.

定理2 若函數F(x)在區間上存在二階導數，且F″(x)<0,F(x)>0(或F″(x)>0,F(x)<0)，又f(x),g(x),h(x),k(x)均是I上的函數，其值域均含在內，且f(x)+g(x)=h(x)+k(x)，則方程

F(f(x))·F(g(x))=F(h(x))·F(k(x))

(3)

與f(x)=h(x)或f(x)=k(x)

(4)

同解.

證明僅證F″(x)<0,F(x)>0情形(F″(x)>0,F(x)<0情形類似可證).

設x0是方程(4)的根，即f(x0)=h(x0)或f(x0)=k(x0).

由已知條件，有

f(x0)+g(x0)=h(x0)+k(x0).

從而g(x0)=k(x0)或g(x0)=h(x0).

于是F(f(x0))·F(g(x0))=F(h(x0))·F(k(x0))，即x0是方程(3)的根.

設x0不是方程(4)的根，即x0既不是方程f(x)=h(x)的根，也不是方程f(x)=k(x)的根，則共有以下四種情形.

①f(x0)>h(x0),f(x0)>k(x0)；

②f(x0)

③f(x0)>h(x0),f(x0)

④f(x0)k(x0).

這里僅證明情形①(其他情形類似可證)，由已知條件，有

f(x0)+g(x0)=h(x0)+k(x0).

從而f(x0)>h(x0).

由f(x0)-h(x0)=k(x0)-g(x0)>0，

f(x0)-k(x0)=h(x0)-g(x0)>0，

已知F″(x)<0(即F(x)為嚴格凸函數)，F(x)>0，f(x0)≠g(x0).

由琴生不等式，有

F(h(x0))·F(k(x0))

=F(f(x0))·F(g(x0))

即x0不是方程(1)的根.證畢.

由定理2知，原方程與方程x-5+6=7或x-5+6=x2+x-5+2同解.解之得x1=6,x2=4,x3=2,x4=-2，代入原方程驗證均為原方程的根.

4 變式訓練

由定理1知，原方程與方程a2-x=a2或a2-x=b2同解.解之得x1=0,x2=a2-b2，代入原方程驗證均為原方程的根.

解析設函數F(x)=sinx，x∈(0,π)，則F″(x)=-sinx<0，F(x)=sinx>0.