一個自由落體與碰撞結合問題的多個變式及解析

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮中心學校 236652)

從一個自由落體問題與碰撞問題相結合的綜合性題目說起——

例1 一根2m長的玻璃管豎直放置，內部被抽成真空.玻璃管的底部是一個彈性木板，一彈性小球在管子內部從高出底面1.25m位置自由落下，撞擊底面后再反彈跳起，如此反復上下運動.若小球每次撞擊底面后再被彈起時，速度減小為撞擊底面時速度的0.9倍.試問(g=10m/s2)：

(1)小球從開始下落到最后停止總共運動了多長時間？

(2)小球從開始下落到最后停止總共運動了多大的距離？

分析由于玻璃管內是真空，所以，小球在管內無論是上升的過程還是下降的過程，都是僅受重力的作用.因此，小球從管的底面因撞擊反彈上升到最高點的過程，和從這個最高點自由下落到下一次剛要撞擊底面的過程，不僅運動的距離相等，而且所用的時間也相等.所以，要確定小球從開始下落到最后停止總共運動的時間，只需確定小球從第一次撞擊反彈之后上下往復運動的過程中，所有上升過程(或下落過程)時間之和的2倍，再加上從開始下落到第一次撞擊過程所用的時間即可；小球從開始下落到最后停止總共運動距離的確定，可參照上述運動總時間求解的環節運用類似方法進行確定.

解析由v2=2gh可得，小球從開始位置(即h0=1.25m的位置)下落到觸及底面時的速度大小為v=5m/s，所以，小球撞擊底面后第一次的反彈速度大小為：

v1=qv=0.9×5m/s=4.5m/s，

(1)小球從最初位置自由下落到剛要觸及底面，以及第一次撞擊底面反彈之后上升到最高點所用的時間t0和t1分別為：

所以，小球從開始下落到最后停止的過程中運動的總時間為：

=9.5s，

(2)小球從最初位置自由下落到剛要觸及底面，以及第一次撞擊底面反彈之后上升到最高點通過的路程分別為h0和h1：

h0=1.25m，

所以，小球從開始下落到最后停止的過程中運動的總路程為：

將例題1求解的問題與題目給出的某個已知條件進行對調，可以得到不同于例題1的變式——

例2 一根2m長的玻璃管豎直放置，內部被抽成真空.玻璃管的底部是一個彈性木板，一彈性小球在管子內部從高出底面1.8m位置自由落下，撞擊底面后再反彈跳起，如此反復上下運動.若小球每次撞擊底面后再被彈起時，速度減小為撞擊底面時速度的q(q<1)倍，且小球從開始下落到最后停止總共運動8.2m的距離(g=10m/s2)：

(1)試確定q的大小；

(2)小球從開始下落到最后停止總共運動了多長時間？

分析由例題1的分析可知，小球在管內反復上下彈跳的過程中，如果按先后排序，小球在各次下落(或上升)過程中所用的時間組成一個公比一定且數值遞減的等比數列，公比大小為q；同樣小球在各次下落(或上升)過程中運動的距離也組成公比一定且數值遞減的等比數列，公比大小為q2，所以，只要能夠根據題目所給條件確定q的大小即可.

答：(1)q的值為0.8；

(2)小球從開始下落到最后停止總共運動5.4s的時間.

再將例題1給出的物理情景遷移到月球上，看問題如何變化.

(1)小球從開始下落到最后停止總共運動了多長時間？

(2)小球從開始下落到最后停止總共運動了多大的距離？

分析跟例題1給出的物理情景相比，小球在月面自由下落時，只是重力加速度的數值比地球上的小，僅受重力作用自由下落和豎直上升過程中的運動規律和在地球上是一樣的，所以，我們可以參照例題1的解法進行求解.

答：小球從開始下落到最后停止總共運動10.8s的時間；總共運動了8.88m的距離.

例4 木星是太陽系中質量最大的行星，其表面的重力加速度約為25m/s2，木星上有大氣.在木星上取一根2m長的玻璃管豎直放置，玻璃管內部被抽成真空.管的底部是一個彈性木板，一彈性小球在管子內部從高出底面1.28m位置自由落下，撞擊底面后再反彈跳起，如此反復上下運動.若小球每次撞擊底面后再被彈起時，速度減小為撞擊底面時速度的0.6倍.試問：

(1)小球從開始下落到最后停止總共運動了多長時間？

(2)小球從開始下落到最后停止總共運動了多大的距離？

解析先求出小球從開始位置(即h=1.28m的位置)下落到觸及底面時的速度大小和時間.再求出小球撞擊底面后第一次的反彈速度大小和上升到最高點所用的時間.所以，小球從開始下落到最后停止的過程中運動的總時間和總路為：

=1.28s，

=3.584m.

宇宙之中，不同星球的質量不盡相同，有的差別巨大.所以，同一物體在不同星球表面附近時所受星球的吸引力大小(即物體在該星球上的重力大小)不盡相同.因此，不同星球表面的重力加速度千差萬別.對于上面三個例題中給出的物理問題，自由下落的物體落至水平底面并與底面碰撞碰撞之后再上升，跟碰撞前的速度相比，如果每次碰撞之后物體速度減小的比率相同，那么，物體會不停的上下往復運動與底面碰撞，并且每次碰撞之后物體上升到最高點所用的時間，組成一組公比小于1的等比數列；同樣，每次碰撞之后物體上升的最大高度，也組成一組公比小于1的等比數列，應用等比數列前n項和公式，可以計算出物體從開始運動到最終停止下來所經歷的總時間和運動的總路程.