解決高中物理極值問題常見的幾種函數思想

陳慶濤

(甘肅省慶陽一中 745000)

1 一元二次函數求解極值問題

例1如圖1所示，一帶電微粒以豎直向上的初速度v0從A點射入一水平向右的勻強電場中，微粒的電荷量為q=-2×10-8C、質量為m=1×10-6kg，當微粒運動到B點時速度方向水平向左、大小也是v0，B點比A點高h=20cm，且B、A兩點的連線與水平方向間的夾角為45°，g=10m/s2， 求：

(1)勻強電場的場強E的大小；

(2)該微粒初速度v0多大；

(3)該過程中帶電微粒的最小速度為多少.

圖1

解得：UAB=-100V

由于A、B兩點的連線與水平方向的夾角為45°，所以A、B兩點沿著電場線方向上的距離為:d=h

(3)帶電微粒從A點到B點的過程中，在水平方向上做勻加速直線運動，則：v0=a水平tAB

在豎直方向上做勻減速直線運動，則：v0=gtAB

則：a水平=g

在豎直方向上，設經時間t微粒的速度為vy，則：vy=v0-gt

在水平方向上，設經時間t微粒的速度為vx，則：vx=gt

例2如圖2所示，內壁光滑的四分之一細圓弧彎管與一可伸縮的豎直光滑細管平滑連接，細管的下端固定在水平地面上，整個裝置處在豎直平面內，細圓弧的右管口切線水平.豎直細管底部有一高度可忽略不計的彈射裝置，該彈射裝置可以讓視為質點的小球從細管底部瞬間獲得足夠大的速度v0，通過調節豎直細管的長度，可以改變小球到達四分之一細圓弧彎管口的速度，從而改變小球做平拋運動的水平位移x，重力加速度為g，則小球做平拋運動的水平距離x的最大值是( ).

圖2

答案：B

2 三角函數知識求解極值問題

例3如圖3所示，斜面體的傾角為θ，質量為M.若將一質量為m的小物塊放在斜面體上時，小物塊恰好能沿斜面勻速下滑，這一過程中斜面體保持靜止.現用如圖3所示的力F拉著小物塊，使小物塊沿斜面勻速上升，力F與斜面體間的夾角為α，這一過程中斜面體也保持靜止.

(1)當α為多大時力F有最小值，力F的最小值多大？

(2)當α=θ時，水平面對斜面體的靜摩擦力多大？

圖3

解析(1)小物塊在斜面上勻速下滑時，有：mgsinθ=μmgcosθ

解得：μ=tanθ

小物塊在力F的作用下沿斜面向上勻速運動時，有：

沿斜面方向上：Fcosα=mgsinθ+Ff

垂直于斜面方向上：Fsinα+FN=mgcosθ

又因為：Ff=μFN

解得：

由數學三角函數的知識得：

所以，當α=θ時，F有最小值Fmin，最小值為：Fmin=mgsin2θ

(2)由于斜面體和物塊均處于平衡狀態，取斜面體和物塊組成的整體為研究對象，對

整體進行受力分析，在水平方向上由二力平衡得：

Ff=Fcos(α+θ)

當α=θ時，由(1)問知F=mgsin2θ

例4如圖4所示，傾角為37°的斜面足夠長，a點位于斜面b點的正上方2.5m處，現以v0=2m/s的速率拋出一個可視為質點的小球，小球初速度的方向不定，小球運動的軌跡與abO處在同一豎直平面內，取g=10m/s2,sin37°=0.6.則小球落回斜面的最長時間為( ).

圖4

A．1.5s B．1s C．0.5s D．2s

答案：B

3 基本不等式知識求解極值問題

例5如圖5所示，已知電源的電動勢E=6V，電流表A可視為理想電流表，變阻器R可調的范圍為0～10Ω，定值電阻R0=4Ω.將開關S閉合，變阻器的阻值調至R=3Ω時，電流表的示數I=0.5A.求:

(1)電源的內阻r；

(2)當變阻器R多大時，電源的輸出功率最大？最大值Pmax是多少？

圖5

解得：r=5Ω

電源的輸出功率為:

P=I2(R+R0)

所以，當R=1Ω時，電源的輸出功率有最大值Pmax，最大值為：

例6如圖6所示，OB是一水平地面，OA是一豎直線，A點距離點O的高度h可調節，O點與B點間的距離為x.先將一可視為質點的小球從A點以合適的速度水平拋出，小球每次都能擊中水平面上的B點.空氣阻力不計，則( ).

圖6

B．h越大，小球到達B點時的動能越大

C．小球到達B點時的動能最小值為mgx

D．h越大，小球到達B點時重力的瞬時功率越大

答案：CD

上述三種方法是高中物理中求極值最重要的方法，也是最常見的方法.高中物理中的極值問題靈活多變，要讓學生徹底掌握此種方法，需要平時學生多練相關題目，在此基礎上學生才能感悟、積累、歸納極值問題，最終實現靈活運用此方法的目的.