對一道課本例題的解法探討

彭光焰

(湖北省廣水市第一高級中學 432700)

課本是幾代人集體智慧的結晶，它具備相當完備的知識體系和能力架構系統，其中的例題和習題是學生解題能力的核心生長點，有些典型例習題由于其自身所蘊含的數學概念、數學思想、數學方法非常突出.因此，在教學中利用好典型例習題，不僅可以在教學中強化基本概念和定義，還可以引導學生重視并運用定義解題，同時引導學生對課本的例題、習題進行多解、變式、遷移、整合、拓展.因此，在教學中要切實把握好概念教學，這樣既能提升學生運用數學概念分析問題和解決問題的能力，又能提升學生的數學素養.

1 題目呈現

此題目是人教A版《普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修 4-5》第35頁例2.

2 解法探討

2.1 利用柯西不等式函數的最值

解法1 函數的定義域為1,5，且y>0，

此解法是人教A版選修4-5提供的.

2.2 利用判別式求函數最值

分析2把函數轉化為關于x的一元二次方程f(x)=0.由于方程有實根，故判別式Δ≥0,求得原函數的值域.

所以y2-23x+15≥0.

由(y2-23x+15)2=100(x-1)(10-2x),得

729x2-(46y2+1890)x+(y4+30y2+1225)=0.

上述關于x的方程有實數根，

故Δ=(46y2+1890)2-4×729×(y4+30y2+1225)≥0.

即y4-108y2≤0，0

2.3 利用導數求函數的最值

分析3 設y=f(x) 的導數為f′(x)，可求得極值點.若函數定義域為a,b，則最值必定在極值點和區間端點中取得.

2.4 利用三角換元求函數的最值

分析4利用三角恒等式sin2α+cos2α=1將所給函數轉化為值域容易確定的另一函數,進而求得函數最值.

函數的定義域為x∈1,5,

以下同解法4.

令cos2θ=t，其中0≤t≤1.

2.5 構造向量求最值

分析5 由向量不等式ab≥a·b,可考慮用構造向量的方法進行求解.

2.6 利用方差求函數的最大值

分析6 方差公式在數學解題中有著極其廣闊的應用價值,充分利用方差S2非負性求函數最大值.

則y=25a+2b.

因為y=25a+2b，

2.7 構造直線截距式求函數的最值

分析7求形如y=f(x)+g(x)函數最值,可以把f(x),g(x)當作是變量,即令v=f(x),u=g(x),φ(u,v)=0一般表示一條曲線,則y可以當作是y=v+u的直線在縱軸上的截距，因此截距的最小值也即是函數的最值.

2.8 利用拉格朗日乘數法求函數最值

分析8用“拉格朗日乘數法”求函數f(u,v)在條件φ(u,v)=0下的最值，方法(步驟)是：

(1)設拉格朗日函數l=f(u,v)+λφ(u,v)，λ稱拉格朗日乘數；

(2)求l分別對u，v的偏導,得方程組,求出駐點P(u,v).

如果這個實際問題的最大或最小值存在,一般說來駐點唯一,于是最值可求.

設拉格朗日函數為

F(u,v)=f(u,v)+λg(u,v)，

聯立,得

所以通過比較函數值可知

此時x=b或d.

由上面方法知，

由上面探討可知,柯西不等式法、向量法、方差法只能求出函數的最大值,其它7種方法不僅可以求出最大值,而且可以求出最小值.

在平時的習題教學中,我們如果善于運用一題多解, 既發揮了例題的最大功效,拓寬了學生的學習視野,又培養了學生的綜合思維能力和創新能力,同時提高了學生的應試能力.