多視角探究一道2022年模考題

賀鳳梅

(新疆維吾爾自治區伊犁州鞏留縣高級中學 835400)

高考和模考都經常針對圓錐曲線的對稱性命題，既有大題也有小題，理論是相近的，但運算卻有明顯差異.我們可以利用角平分線性質、二倍角、到角等知識來解答，只有比較才能發現自己喜歡的簡捷解法.下面以一道2022年模考題為例，展示解法，并推廣出一般情形.

1 呈現試題

(1)求C的方程；

(2)已知點F(1,0)，直線l:x=4與x軸交于點D，直線AM與l交于點N.是否存在常數λ，使得∠MFD=λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.

2 探究解法

解析幾何中有關角度問題有很多解決策略，可以轉化為斜率來求解；如果涉及到求參數的值，突破策略是由特殊情況求解，求出參數的值，一般情況驗證成立即可；如果是2倍角關系，可以采用角平分線的性質、到角公式或正切的二倍角公式來求解；在具體的求解過程中，可以直接設直線的斜率，也可以借助于設其中一個點的坐標，聯合直線和曲線方程來求解；還可以借助于圓錐曲線上的點，采用設而不求的方法解決.此類題入口寬，多視角、多方法均可完成解答.

3 解答試題

第(2)問，由(1)可知，F1(1,0)為其右焦點.

根據對稱性，不妨設點M在x軸上方，則點N也在x軸上方.

故∠MFD=2∠NFD，因此存在實數λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

據此，可以猜測實數λ=2.以下進行具體論證.

視角1 直接設AM的斜率求解.

(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0.

在y=k(x+2)中，令x=4,得

y=6k，即N(4,6k).

所以直線MF:4kx+(4k2-1)y-4k=0.

點N(4,6k)到MF的距離

而點N到DF(即x軸)的距離為6k，

所以NF是∠MFD的角平分線.

即∠MFD=2∠NFD.

因此存在實數λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

評注此解法屬于常規解法，根據特殊位置的求解，猜測是二倍關系，所以考慮點N在∠MFD的角平分線上，通過上面的計算得到了驗證.

解法2(借助正切二倍角公式)

由正切二倍角公式,得

所以tan∠MFD=tan2∠NFD.

結合圖形知，∠MFD，∠NFD均為銳角，

所以∠MFD=2∠NFD.

因此，存在實數λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

評注由數形結合可知，兩角的其中一邊均為x軸的正半軸，所以滿足tan∠MFD=kMF，tan∠NFD=kNF，因此要找兩角的關系，可通過兩角的正切關系來判斷，進一步通過對應的斜率關系來判斷，找到了解決的思路和關鍵點，問題也就迎刃而解了.

而tan∠NFD=2k，

所以tan∠MFN=tan∠NFD.

結合圖形知，∠MFN，∠NFD均為銳角，

所以∠MFN=∠NFD.

因此NF是∠MFD的角平分線.

即∠MFD=2∠NFD.

故存在實數λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

評注解法3中用到了到角公式，現行教材已經不涉及，不過老師們還是可以適當了解，針對程度好的學生，也可以適時介紹，拓寬學生的解題思路.

視角2借助于點N的坐標及正切的二倍角公式求解.

(t2+27)x2+4t2x+4t2-108=0.

由斜率公式,得

即∠MFD=2∠NFD.

因此存在實數λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

視角3 借助于點M的坐標求解.

由正切的二倍角公式,得

①

即∠MFD=2∠NFD.

因此存在實數λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

評注此解法是設點M的坐標，表示直線AM的方程，將點N的坐標求出，同時借助于點M在曲線C上，滿足曲線方程，不需要聯立而將兩角的正切值用點M的坐標巧妙表示，成功求解，值得借鑒和運用到解題中去.

文中多視角、多方法解答了此題，但如果止步于此，也只是解答了一道題.進一步思考，此題能不能推及一般呢？在橢圓中成立，雙曲線中是否也有相同或相似的結論呢？以下通過推導來進行驗證.

4 橢圓中的一般推廣

利用解法1推導與證明一般情形如下：

AM:y=k(x+a)，M(x1,y1)，

(a2k2+b2)x2+2a3k2x+a2(a2k2-b2)=0.

利用斜率公式求得

由正切的二倍角公式,得

即∠MFD=2∠NFD.

因此存在實數λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

5 雙曲線中的一般推廣

利用解法1推導與證明一般情形如下：

AM:y=k(x+a)，M(x1,y1)，

(b2-a2k2)x2-2a3k2x-a2(a2k2+b2)=0.

利用斜率公式求得

由正切的二倍角公式,得

即∠MFD=2∠NFD.

因此存在實數λ=2，使得∠MFD=λ∠NFD.

在高中數學新課改全面推行的形勢下，高中數學學科教學內容、模式和方法也是當代教育研究的熱點.為了實現數學教學的時效性，教師必須做到全方位思索，多角度為學生提供解題思路.而一題多解是目前高中數學教學所研究的方向之一，且一題多解思維屬于創建“變式教學”體系，在該過程中，學生的數學思維也被發散、開放，思維得到了有效地鍛煉和提高.

另外，對于一些具體問題，我們可以通過推廣拓展至一般情形，從而深入地分析和解決問題，能很好地將知識系統化.