對數比較大小試題的解法探究兩例

李鴻昌

(貴州省北京師范大學貴陽附屬中學 550081)

1 課本習題

例1(2019年人教A版《數學必修第一冊》第141頁13題)比較題中三個值的大?。?/p>

log23,log34,log45.

由基本不等式可知

所以log23>log34.

同理可得log34>log45.

綜上所述，log23>log34>log45.

解法2 由糖水不等式可知

即log32

所以log23>log34.

同理可得log34>log45.

綜上所述，log23>log34>log45.

點評基本不等式和糖水不等式是解決這一類對數比較大小試題的常用方法.高考題源于課本而高于課本，這需要我們對課本的例題和習題做深入的研究，通過研究，可以將例1作如下推廣.

推廣1 設n∈N*且n>1，則

logn+1n

證法1 因為

由基本不等式知，

所以logn+1n

證法2 由糖水不等式得

=logn+2(n+1).

由推廣1可得到本習題的推廣：

推廣2設n∈N*且n>1，則

logn(n+1)>logn+1(n+2).

證明由logn+1n

即logn(n+1)>logn+1(n+2).

推廣3設a>b>1,m>0，則

logab

證明由糖水不等式得

=loga+m(b+m).

上述的推廣1和推廣3，我們通常形象地稱其為“對數型糖水不等式”.我們還可以將推廣2作如下推廣.

推廣4若x>1，則函數f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上單調遞減.

由1

所以xlnx<(x+1)ln(x+1).

因此，當x>1時f′(x)<0，所以函數f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上單調遞減.

推廣5 若x>1，b>0，則函數f(x)=logx(x+b)在(1,+∞)上單調遞減.

證明由換底公式，有

由于x>1，b>0，則

1

從而xlnx<(x+b)ln(x+b).

所以f′(x)<0.

因此函數f(x)=logx(x+b)在(1,+∞)上單調遞減.

由此可得：當a>1,b>0,c>0時，有

通過連續運行系統3h，每間隔0.5h測1次數據，設定系統每分鐘霧化0.2mL水為工作方式一；每分鐘霧化0.4mL水為工作方式二。經實驗測得數據如表1和表2所示。兩種方式下實際產生的霧化量和設定值基本一致，系統能夠實現無線遠距離控制。通過間斷和連續運行測試，實驗結果表明系統各部分工作正常，能滿足超聲波霧化系統智能檢測、自動控制、遠程集群監控和高穩定性低功耗的要求。

loga(a+b)>loga+c(a+b+c).

2 高考試題

例2(2020年全國Ⅲ卷理科12題)已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則( ).

A.a

C.b

解法1 由55<84，得

log855

所以5b<4.

由134<85，得log13134

所以5c>4.

因為34<53，

所以4a=4log53=log534

因為54>83，

所以4b=4log85=log854>log883=3，

綜上所述，a

故選A.

解法2a-b=log53-log85

所以a

因為b=log85，

得8b=5.

所以85b=55<84.

所以5b<4.

因為c=log138，

所以135c=85>134.

所以5c>4.

綜上所述，a

故選A.

解法3 由基本不等式得

=log53×log58

所以a

綜上所述，a

解法4 由題意及糖水不等式可知

用排除法可知選項A正確.

點評對于b和c，由參考數據55<84,134<85，可以直接用對數或者化為指數進行比較大??；而對于a和b，需要用到34<53,83<54，這是題目沒有給出的，需要考生通過類比去發現，這就得到了解法1，考查了類比思想和數學運算能力.

解法2和解法3，主要是通過作差或者作商來比較a和b的大小.而作差或者作商之后，都需要用到基本不等式，這是值得重視的.

用與解法1類似的方法，可以比較出log32與log53的大小：

因為23<32，

所以3log32=log323

又因為52<33，

結合解法1的結果，可以得到

設Fn是斐波那契數列(Fibonacci)：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即F1=F2=1，當n≥3時，Fn=Fn-1+Fn-2.我們觀察到上述不等式鏈中對數的底數和真數組成的數列2,3,5,8,13恰好是斐波那契數列的一個子列，通過探究可得：

由此可見，本題是以斐波那契數列為背景，考查數列{logFn+1Fn}的單調性或者其數值的取值范圍，這樣該題不僅融合了指數與對數的運算，也融入了數學史知識，滲透了數學文化.

3 變式應用

因為數列{logFn+1Fn}單調遞增，所以數列{logFnFn+1}單調遞減，且前面幾項的數字不大，可以不提供參考數據，于是得到變式1.

變式1 設a=log23,b=log35,c=log58，則( ).

A.a

C.a

解析由糖水不等式得

同理可得log35

即a

根據例1及其推廣，可得到如下的變式題.

變式2 設a=log34,b=log56,c=log78,則( ).

A.a

C.a

解析由推廣2知，log23>log34>log45>log56>log67>log78，所以c

變式3 設a=log35,b=log57,c=log79,則( ).

A.a

C.a

解析由推廣5知，當x>1時，函數f(x)=logx(x+2)在(1,+∞)上單調遞減.

所以f(3)>f(5)>f(7).

即c

變式4 設a=log63,b=log74,c=log85,則( ).

A.a

C.a

解析由推廣5知，當x>1時，函數f(x)=logx(x+3)在(1,+∞)上單調遞減.

所以f(3)>f(4)>f(5).

即log36>log47>log58.

所以log63

即a