新教材“拓廣探索”欄目函數題賞析

王 芳

(江蘇省蘇州市常熟市梅李高級中學 215500)

人教版《數學新教材》拓廣探索欄目在習題方面的設置比較好，注重培養學生的探究、創新精神，關注相關知識的綜合運用，能夠較好地提高學生的綜合素養.為此，現選取必修第一冊第三章《函數的概念與性質》、第四章《指數函數與對數函數》中有關特色習題加以具體闡釋，旨在幫助同學們深刻領悟教材習題設置的良苦用心，進一步提高解題能力.

1 考查多個對數比較大小

例1 (教材第141頁拓廣探索欄目第13題)比較下列各題中三個值的大小：

(1)log0.26,log0.36,log0.46；

(2)log23,log34,log45.

即log0.26>log0.36.

同樣，作差可得log0.36>log0.46.

所以log0.26>log0.36>log0.46.

同樣，作商可得log0.46

所以log0.26>log0.36>log0.46.

于是，根據0<0.2<0.3<0.4<1，得

f(0.2)>f(0.3)>f(0.4).

即log0.26>log0.36>log0.46.

同樣，可知log45

從而有log23>log34>log45.

評注本題設計較好，關注比較大小的各種常用方法在解題中的運用.常用一般結論：(1)設函數f(x)=logxN，其中N>0,x>0且x≠1，則當N>1時，函數f(x)在區間(0,1)和(1,+∞)上均單調遞減；當01，則loga(a+1)>log(a+1)(a+2)>log(a+2)(a+3)>….

2 考查含參函數的性質

(1)探索函數f(x)的單調性；

(2)是否存在實數a使函數f(x)為奇函數？

具體證明過程如下：

易知函數f(x)的定義域為R.

任取x1,x2∈R，且設x1

因為2x1<2x2，2x1+1>0,2x2+1>0，

所以f(x1)

故存在實數a=1，使函數f(x)為奇函數.

評注關于函數的單調性、奇偶性，若進行判斷，則利用外在結構特點即可；若進行證明，則必須根據函數的單調性、奇偶性的定義加以證明.處理是否存在型問題，往往需要先假設存在，再進行合情推理、分析.若得到矛盾，則表明不存在；若沒有得到矛盾，就會得到存在的具體情形.

3 考查數學思想在函數問題中的應用

例3(教材第102頁拓廣探索欄目第13題)如圖1，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t(t>0)左側的圖形的面積為f(t)，試求函數y=f(t)的解析式，并畫出函數y=f(t)的圖象.

圖1 圖2

綜上，函數y=f(t)的圖象如圖2所示，

評注本題設計較好，側重考查了數形結合思想、分類與整合思想在解題中的綜合運用，同時也考查了分段函數的解析式與圖象，顯然能夠較好地培養學生在直觀想象以及數學運算方面的核心素養.

4 考查指數函數與歸納推理的交匯

(1)連續進行5次，容器中的純酒精還剩下多少？

(2)連續進行n次，容器中的純酒精還剩下多少？

5 考查函數圖象的對稱性與類比推理的交匯

例5 (教材第87頁拓廣探索欄目第13題)我們知道，函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為奇函數.有同學發現可以將其推廣為：函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數.

(1)求函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心；

(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y=f(x)的圖象關于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x)為偶函數”的一個推廣結論.

解析(1)設函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心為點(a,b)，則函數y=f(x+a)-b為奇函數，即y=(x+a)3-3(x+a)2-b為奇函數.

根據奇函數的定義可得(-x+a)3-3(-x+a)2-b=-[(x+a)3-3(x+a)2-b]，整理得(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0對任意x∈R恒成立，從而可知6a-6=0，且2a3-6a2-2b=0，解得a=1,b=-2.

故所求函數圖象的對稱中心為點(1,-2).

(2)類比思維，可知推廣結論為：函數y=f(x)的圖象關于直線x=m成軸對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+m)為偶函數.

總之，結合上述舉例解析可知，人教版《數學新教材》拓廣探索欄目在習題方面的設置是比較成功的，不僅關注習題本身的探索性、創新性、綜合性，而且關注培養學生分析問題、解決問題的實際能力，能夠較好地提高學生對所學知識、方法的綜合運用能力，進而提升學生在直觀想象、邏輯推理、數學抽象、數學運算以及數學建模方面的核心素養.