對“布洛卡點”幾何模型的幾點思考

金 毅

(內蒙古自治區呼和浩特市第二中學 010000)

布洛卡點是一類重要的幾何模型，在很多與幾何有關的問題中有重要應用.我們從布洛卡點的定義出發展開思考.

1 對布洛卡點定義與存在性的思考

命題1(布洛卡點定義)如圖1，已知△ABC中，P是內部一點，當∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ時，點P為△ABC的布洛卡點.角θ為布洛卡角.

圖1

思考在此定義中，我們有兩點疑問.一是對任意的三角形，是否一定有布洛卡點？二是如果存在，如何找到布洛卡點？我們將通過以下命題來進行探究.

命題2(布洛卡點的存在性)如圖2，在銳角△ABC中，過點A作垂直于AB的直線l，過點B作垂直于BC的直線m，過點C作垂直于AC的直線n，其中，l∩m=D,m∩n=E,n∩l=F，作△ABD,△BCE,△ACF的外接圓，證明：三圓共點于P，且∠PAB=∠PBC=∠PCA.

圖2

故∠APC+∠APB=2π-∠AFC+∠ADB.

即∠AFC+∠ADB=2π-∠APC+∠APB=∠BPC.

同時∠AFC+∠ADB=π-∠BEC.

所以∠BPC=π-∠BEC.

故B,E,C,P四點共圓，則這三圓共點于P.

接下來證明角相等.

在圓APBD中，可得

根據BD⊥BC，可得

所以∠PAB=∠PBC.

同理，可以證得∠PAB=∠PCA.

綜上，∠PAB=∠PBC=∠PCA.

圖3

所以B,P,C,E四點共圓.則三圓共點于P.

所以∠PAB=∠PBC.

由此，我們得到，布洛卡點的存在性與三角形形狀無關，也即對任意形狀的三角形均存在布洛卡點，這是非常重要的.同時，通過對命題2的研究，我們也得到了在任意三角形內尋找布洛卡點的方法.

2 對布洛卡點性質的思考

從定義出發，我們進一步思考，提出若干命題，對布洛卡點的性質進行拓展延伸.

命題3如圖1，已知△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，P是布洛卡點，則有等式cotA+cotB+cotC=cotθ成立.

證明如圖1，根據命題1，可得

∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ.

設△ABC的面積為S，且AP=x,BP=y,CP=z，

對以上cotθ三式使用合比定理,得

命題4已知△ABC中，P為布洛卡點，當A=2θ時，則有a2=bc.

所以a2=bc成立.

圖4

證明根據命題3，有

綜上，△ABC為等邊三角形.

命題6在△ABC中，∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ，則有θ≤30°

思考本例說明三角形中布洛卡角的取值范圍不會超過30°.并且根據命題5，當布洛卡角恰好取到30°時，此時△ABC為等邊三角形.

命題7 在銳角△ABC中，∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ，有不等式tanA+tanB+tanC>cotθ成立.

同理，可得cotC

以上相加，可得

cotA+cotB+cotC

根據命題3，即tanA+tanB+tanC>cotθ成立.

根據命題3，a2+b2+c2=4Scotθ.

命題9 在△ABC中，∠PBA=∠PBC=∠PCA=θ，有不等式2cotθ≥cscA+cscB+cscC成立.

證明根據a2+b2+c2≥ab+ac+bc，可得b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2≥ab+ac+bc，2bccosA+2accosB+2abcosC≥ab+ac+bc.

根據正弦定理，可得

2sinBsinCcosA+sinAsinCcosB+sinAsinBcosC

≥sinAsinB+sinAsinC+sinBsinC.

不等式兩邊同除sinAsinBsinC，可得

2cotA+cotB+cotC≥cscA+cscB+cscC.

根據命題3，可得2cotθ≥cscA+cscB+cscC成立.

3 對布洛卡點模型應用的思考

圖5

分析當∠APB=150°時，∠APC=120°，可知∠PCA+∠PAC=∠PCA+∠PCB=60°.

所以∠PAC=∠PCB.

同理可得∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠PAC=30°.

所以∠PBA=∠PAC.

設∠PAC=∠PBA=∠PCB=θ，可知點P為△ABC的布洛卡點.

根據命題2，可得cotA+cotB+cotC=cotθ.

思考本例首先通過證明∠PAC=∠PBA=∠PCB，說明點P是△ABC的布洛卡點，之后使用相關結論迅速解決∠PBA的正切值.當然，在這樣的問題中，除了布洛卡點的性質之外，我們還可以使用“角元塞瓦定理”，也即

這說明布洛卡點的模型也可用塞瓦定理處理.

布洛卡點是平面幾何中非常重要的幾何模型，總結本文，有幾點需要重點關注.

(1)布洛卡點對任意三角形均存在，是三角形內的等角點，因而可能得到角相等或者相似的結論.

(2)布洛卡角和三角形的三個內角有密切聯系，它們的三角函數值存在著很多相等與不等關系，這里有很多命題值得挖掘；布洛卡點的問題可以借助別的定理解決(如塞瓦定理等)，在思考時要充分對數與形的關系進行結合.數與形是數學中永恒不變的主題，良好的結合會對數學思維有極大地提升，這也是思考數學問題的樂趣所在.