具有隨機投資組合的雙復合Poisson-Geometric過程保險風險模型的研究

許 灝, 魏芝雅, 彭旭輝

(湖南師范大學數學與統計學院，長沙 410081)

0 引言

近年來，學者們在保險精算領域的研究有很多[1–4]，考慮以下的經典風險模型

其中u為初始基金，c表示單位時間保費收入，{N(t),t ≥0}是一個Poisson 過程，Xi(i=1,2,···)為獨立同分布的索賠序列。Poisson 過程的期望等于方差，這可能與實際情況不一致。在現實中，計數過程中的方差往往大于期望，這種現象通常被稱為過度離散。許多模型用于描述過度離散，如廣義線性混合模型、擬似然模型、泊松回歸模型和多元統計模型等。在過去的幾年中，由于Poisson-Geometric 過程更加貼合保險行業的實際情況，獲得了廣泛的關注。因此，關于這個話題有大量的文獻，毛澤春和劉錦萼[5]研究了模型(1)，當{N(t),t ≥0}為Poisson-Geometric 過程。

然而，在實際中保費收入可能并不像模型(1)中關于時間的線性函數。為了彌補模型(1)的缺陷，Boikov[6]用另外一個復合Poisson 過程代替經典模型中的線性保費收入部分，推導出了關于生存概率的微積分方程。Dufresne 和Gerber[7]、Furrer 和Schmidli[8]則考慮在模型中加入布朗運動來模擬外界環境的干擾。趙金娥等[9]研究了一個Poisson-Geo metric 過程的風險模型，其中保費和索賠的發生均服從復合泊松幾何過程。Sundt 和Teugels[10]研究了帶利率的風險模型，在此模型下對破產概率進行了估計。除此之外，Kalashnikov 和Norberg[11]、Zhu 等[12]對帶投資的風險模型進行了研究，在各自模型下分別得到了最終破產概率。多維風險模型也是研究的熱點，Cheng 和Wang[13]、Li 等[14]均對二維風險模型進行了研究，得到了關于破產概率的上界估計和對參數變化的性質。近年來，Poisson-Geometric 計數過程得到了廣泛關注。毛澤春和劉錦萼[15]研究了一個索賠是Poisson-Geometric 過程的風險模型，在他們的論文中，分析了破產概率的更新方程，得到了個人債權分布為phase-type 時的破產概率表達式。廖基定等[16]則在Poisson-Geometric 風險模型下求出了Gerber-Shiu 折現罰金函數的更新方程和破產概率的Pollazed-Khinchin 公式。受風險模型的啟發，Chukovaa 和Minkova[17]介紹了一個新的點過程，稱做P′olya-Aeppli 過程(GPAP)，具有潛在的指數分布。他們給出了這個過程的兩個等價定義，并討論了它的一些性質，例如，GPAP 過程到時間t事件發生次數的分布、等待時間的分布等等。在文獻[18]中，作者假設P′olya-Aeppli 過程的強度參數是時間t的函數，并稱此過程為非齊次P′olya-Aeppli Process(NHPAP)。另外，他們推導了關于NHPAP 的一些有趣的性質，并且就此過程對于一些特殊的強度函數進行了模擬說明。

本文考慮以下一維連續時間下具有隨機投資組合的雙復合Poisson-Geometric 過程風險模型

其中u表示初始資金，U(t)表示保險公司t時刻的資產，{Xi,i ≥0}表示獨立同分布的保費序列，{N1(t),t ≥0}表示時間t內保費發生的次數，{Yi,i ≥0}表示獨立同分布的索賠序列，{N2(t),t ≥0}表示時間t內索賠發生的次數。

首先，我們給出Poisson-Geometric 分布和Poisson-Geometric 過程的定義。

定義1 設λ>0,0≤ρ<1，稱隨機變量X服從參數為(λ,ρ)的Poisson-Geometric分布，記為X ～PG(λ,ρ)，如果X的矩母函數為

定義2 設λ>0,0≤ρ<1，稱{N(t),t ≥0}是參數為(λ,ρ)的Poisson-Geometric過程，如果滿足：

1)N(0)=0；

2){N(t),t ≥0}具有獨立平穩增量；

3) 對任意的t>0, N(t)～PG(λt,ρ)。

對于風險模型(2)，我們作如下假設和規定：

1){N1(t),t ≥0}、{N2(t),t ≥0}分別是參數(λ1,ρ1)、(λ2,ρ2)的Poisson-Geometric過程；

其中θ>0 稱作模型(2)的相關安全負載因子；

4) 泊松幾何過程{N1(t),t ≥0}、{N2(t),t ≥0}以及隨機變量序列{Xi,i ≥0}和{Yi,i ≥0}之間均相互獨立。

定義模型(2)的破產時間為T= inf{t> 0|U(t)< 0}，基于T，我們定義無限時間破產概率ψ(u) =P(T<∞|U(0) =u)，有限時間破產概率ψ(u,t) =P(T

本文剩余部分做如下安排：第1 節利用鞅的性質和停時的技巧，得到了風險模型中破產概率的上界，Lundberger 不等式以及調節系數方程；第2 節分別推導出無限時間生存概率所滿足的微積分方程以及有限時間生存概率所滿足的偏微積分方程，在索賠和保費均為指數分布的情況下，本文求解出了關于破產概率的精確表達式。

1 上界和無限時間的破產概率

在這一章節，我們利用鞅方法和停時定理考慮破產概率的上界和無限時間的破產概率。在給出定理1 之前，我們先給出一個引理。我們令

引理得證。

因為隨機變量Y恒正，容易得到MY(0)=1,limr→+∞MY(r)=+∞，并且MY(r1)

對于上述所得的關系式，取極限s →+∞，定理結論得證。

推論1 假設R是風險模型(2)中的調節系數，則有Ψ(u)≤e?Ru。

證明 在定理2 中，令R=r，并且注意到注意到g(R)=0，推論結果顯然成立。

定理3 在風險模型(2)中，無限時間破產概率的表達式為

證明 由停時的理論可知，對于任意固定的s>0, T ∧s是有界停時。對盈余過程使用全概率公式以及利用鞅的性質，可以得到

2 微積分方程及其解

在本節中，我們利用全概率公式得到無限時間的生存概率的積分方程和有限時間的生存概率的微積分方程。考慮保費和索賠額均服從指數分布FX(x) = 1?e?ax以及FY(y)=1?e?by，我們可以得到無限區間和有限區間生存概率的精確公式。

證明 和定理4 的證明方法類似，在充分小的時間?t內，下列等式成立

通過化簡可以得到

在上式中除以?t，并取極限?t →0，定理5 的前半部分得證。

將等式(8)和(9)代入到(10)中，可以得到

通過對u求連續的偏導，我們得到下列偏微分方程

其中φ依賴于u和t。為了幫助我們解決偏微分方程(12)，引入下列輔助函數

將方程(12)乘以因子e?ts，對t從0 積分到∞，我們能夠得到下列常微分方程

顯然常微分方程(13)有兩個實根，一個是正根，一個是負根。又因為函數φ(u,t)取值范圍為[0,1]，所以函數W(s,u)的值域是有界的，并且W(s,u) =K(s)eγ(s)u，其中γ(s)是常微分方程(13)的負根。同時，我們可以通過將u= 0 代入方程(13)中，解出參數K(s)。

注1從定理5 中，我們可以得到

這個結果和定理4 中的φ(u)保持一致。