精確華寧不等式與最佳Hermite 插值結點組

于曉晨, 許貴橋

(天津師范大學數學科學學院，天津 300387)

0 引言

記N和R分別為正整數集和實數集。對p=∞，用L∞[a,b]表示[a,b]上本性有界可測函數組成的函數空間，其范數定義為對1≤p<∞，用Lp[a,b]表示p-次勒貝格可積函數f: [a,b]→R構成的Lp-賦范空間，其范數定義為

且當a=?1, b=1 時，把Lp[a,b]和Wrp[a,b]分別簡記為Lp和Wrp(1≤p ≤∞)。

在不等式理論中最令人關注的問題之一是涉及函數及其導數的華寧不等式。華寧不等式一方面與線性微分方程和微分幾何研究密切相關，近年來有許多結果[1–4]。另一方面華寧不等式與Hermite 插值H?f的誤差估計式

文獻[5—6]給出了當αi= 1(i= 1,2,··· ,n)和αi=k(i= 1,2,··· ,n/k, k ∈N)時最佳常數C(n,∞,∞)的計算方法，文獻[7]給出了當r= 1 時最佳常數C(n,2,2)的計算方法，文獻[8]給出了當r= 2 時最佳常數C(n,1,1)的計算方法。注意到上述結果都是基于插值誤差的積分型余項公式，本文將首先給出Hermite 插值的一種新的誤差估計，再利用這種誤差估計把C(n,∞,p)(1≤p ≤∞)的值轉化為一個顯式積分表達式，并用兩個例子來說明結果。

在構造插值算法時，插值結點組的選擇是十分重要的。給定一個足夠光滑的函數，如果插值結點組選擇的不好，當插值結點個數趨于無窮時，插值函數不收斂于函數本身，例如：龍格現象。因此，最優插值結點組的研究是函數逼近論研究的一個熱門課題，近期研究可見文獻[9–12]。注意到上述研究的結果都是關于Lagrange 插值算子，其是Hermite 插值當αi= 1(i= 1,2,··· ,n)時的特殊情況。本文將研究一般Hermite 插值的最優插值結點組問題，給出了當信息個數固定時的最優Hermite 插值結點組。對于p= 1,2,∞，我們給出了最優結點組的顯式表達式。對于其它情況，我們把最優插值結點組的計算歸結為求函數的最小值點，并用Mathematical 計算最小值，得到了當n=2,3,4,5, p=3,4,5,6 時華寧不等式最優系數的值。

一元函數的插值方法在多元計算問題中起著關鍵的作用[13–17]，在上述文章中用到的都是Lagrange 插值方法。最近，文獻[18]用Hermite 插值方法構造多元算法解決高維問題，這就涉及了如何選擇一元Hermite 插值的插值結點組問題，尋找Hermite 插值在各種意義下的最優Hermite 插值結點組有著重要的理論意義和應用價值。

1 基本概念和定理

首先介紹Hermite 插值。設

和(10)式，可得(4)式。

下面給出本文的第一個主要結果。

定理1 設

是一個Hermite 插值結點組，則對任給滿足條件f(xi) =f′(xi) =···=f(αi?1)(xi) =0(i=1,2,··· ,r)的函數f ∈Wn∞，有精確不等式

2 最優Hermite 插值結點組

由例1 和例2 可知，盡管結點組元素的個數相同，但當結點組的元素不相同時，相應華寧不等式精確系數的值是不同的。下面我們給出當結點組元素的個數固定時，系數取得最小值的結點組，即給出結點組

使得

其中Cp,?可參見(12)式。由(16)式可知，此結點組也是逼近問題的最優Hermite 插值結點組。

用Pn表示次數不超過n的代數多項式的集合，記

且用Wn,p表示滿足條件

由(12)、(26)式，可得

結合(25)、(27)式，可得(24)式。

注1 在過去的研究中，人們討論的都是最優Lagrange 插值。Hermite 插值是比Lagrange 插值更廣的一類插值，其不僅可用Lagrange 插值所需要的函數值信息，而且可以使用導數值信息，那么在使用同樣多的信息量的情況下，增加使用導數值信息能否使得計算的結果更加精確呢？對比文獻[12]和本文的結果可知，如果在Lp(1≤p ≤∞)范數下考慮Sobolev 類Wn∞在使用n個信息時的多項式插值逼近，那么最優Hermite 插值與最優Lagrange 插值是一致的，均為

3 數值算例

對于p=1,2,∞，上節給出了最優系數的顯式表達式。對于其它情形，我們可以把最優系數的值轉化為下面的優化問題用數值方法求解。

由定理2 可知，對固定的n ∈N,1≤p<∞，基于Hermite 插值的華寧不等式的最優系數為

而最優插值結點組可用求上面優化問題的最小值點來得到。

用Mathematical 計算上式，可以得到Cp,?p,n的值。表1 列出了當n=2,3,4,5, p=3,4,5,6 時Cp,?p,n的值。

表1 華寧不等式的一些最優系數