帶有非奇異核分數階差分方程的比較原理及解的不確定性分布

陳雨婷, 李曉艷, 王雪芹

(安徽大學數學科學學院，合肥 230601)

0 引言

分數階微積分起源于1695 年左右，由于其應用的廣泛，分數階微積分和分數階微分方程得到了迅速發展，如熱系統、動力系統、物理學等應用領域[1–3]。因此，受到了學者們的廣泛關注。隨著分數微分方程理論的發展，文獻[4—7]對分數階差分方程進行了更深入的研究。一些學者致力于分數階差分方程的應用，文獻[8—9]研究了分數階差分方程的初值問題，文獻[10—11]分別討論了不同類型分數階差分方程的穩定性問題。在文獻[12]中，作者研究了分數階差分方程正解的存在性。最近，Abdeljawad 和Baleanu[13]提出了具有Mittag-Leffler 核的ABR 型分數階差分算子的定義。之后，ABR 型分數階差分算子的許多基本性質和結果被給出，例如，文獻[14]研究了離散Mittag-Leffler 核的分數階差分方程的初值問題；文獻[15]討論了ABC 型分數階差分算子的單調性和均值定理。此外，在文獻[16]中，Abdeljawad 進一步提出了具有Mittag-Leffler 核的高階分數階差分算子。

另一方面，學者們研究了不同類型方程的比較原理，例如，文獻[17]討論了Riemann-Liouville 型分數階微分方程的比較定理；Denton 和Vatsala[18]以積分不等式的形式給出了此定理；文獻[19]研究了分數階微分方程的比較定理；文獻[20—21]推導出了分數階微分方程的比較定理。此外，文獻[22]給出了以下方程的比較定理

Liu 在文獻[23—24]中分別提出了不確定性理論和不確定性微分方程的概念，它們通常用于描述隨時間演化的不確定性動力系統，學者們無論是在理論，還是應用中都討論了不確定性微分方程[25–28]。近年來，文獻[29]通過比較原理提供了一種求解不確定分數微分方程的數值方法，并在文獻[30]中引入了不確定性分數階微分方程的定義。此外，文獻[31]提出了一種Riemann-Liouville 型分數階方程的比較定理，并應用此定理建立了不確定性分數階微分方程和分數階微分方程之間的關系。因此，在以往結論的啟發下，本文的目的是利用ABR 型分數差分方程的比較定理給出ABR 型分數階差分方程和其對應的不確定性分數階差分方程之間的聯系。

本文結構如下：第1 節介紹了分數階微積分和ABR 型分數階差分的基本定義；第2 節給出了ABR 型分數階差分方程的比較定理；基于第2 節的比較定理，在第3 節建立了ABR 型不確定性分數階差分方程的解與ABR 型分數階差分方程的解之間的關系，并舉例闡述了定理的正確性；第4 節給出了具有對稱的不確定性變量的ABR 型不確定性分數階差分方程解的不確定性分布。

1 預備知識

本節將介紹在整篇論文中用到的離散型分數階積分的一些基本定義和結論。另外，在本文中我們記：Na={a,a+1,···}，其中a ∈R, aN={··· ,b ?1,b}，其中b ∈R。

定義1(離散型分數階和分)[13]設ρ(t) =t ?1 為向后跳躍算子，0<β< 1，函數f:Na →R，則離散型β階和分的定義如下

定義2(雙參數離散的Mittag-Leffler 函數)[13]對于λ ∈R,|λ|< 1，β,γ,z ∈C，Re(β)>0，雙參數離散的Mittag-Leffler 函數定義如下

引理1 離散的Mittag-Leffler 函數的分數階和分和差分滿足：

更多關于離散的Mittag-Leffler 函數的性質可以參考文獻[13]。

2 ABR 型分數階差分方程的比較原理

考慮下列給出的ABR 型分數階差分方程

本節將運用反證法來給出ABR 型分數階差分方程的比較原理。

定理2 設f(t,y)和g(t,y)是定義在Na×R 上的實值函數，函數g是連續的，關于y滿足利普希茨條件(利普希茨常數為Lg)，且滿足y1(t)和y2(t)分別是下列方程的解

(a) 如果f(t,y)≤g(t,y)，則y1(t)≤y2(t), t ∈Na；

(b) 如果f(t,y)>g(t,y)，則y1(t)>y2(t), t ∈Na。

證明 (a) 假設y1(t)≤y2(t)不成立，那么至少存在一點t0∈Na，使得y1(t0)>y2(t0)。定義{}

另一方面，由定理條件知f(t,y)≤g(t,y)，函數g是連續的且關于y滿足利普希茨條件，利普希茨常數Lg滿足

因此，我們有x(t1)<0，與(10)式矛盾，假設不成立，定理2 的(a)部分證畢。

(b)與(a)的證明過程類似，假設y1(t)>y2(t)不成立，則至少存在一點t0∈Na，使得y1(t0)≤y2(t0)。記

另一方面，由定理條件可知f(t,y)>g(t,y)，函數g是連續的且關于y滿足利普希茨條件，利普希茨常數Lg滿足

3 ABR 型不確定性分數階差分方程的α-路徑

本節定義不確定性分數階差分方程的對稱不確定性變量和α-路徑，并給出ABR 型不確定性分數階差分方程的解和對應的分數階差分方程的解之間的聯系，然后結合第2 節中的比較定理，我們得出具有對稱不確定變量的不確定性分數階差分方程的解及其α-路徑之間的聯系。首先，本節將給出有關不確定性理論的一些基本知識。

設Γ是一個非空集合，稱Γ中一些子集所構成的集合L為σ代數，稱每個σ代數L中的元素Λ為事件，稱集函數M為不確定性測度，如果它滿足以下公理。

公理1(正則性)[23]對于所有的集合Γ, M{Γ}=1；

公理2(單調性)[23]M{Λ1}≤M{Λ2}, Λ1?Λ2；

公理3(自反性)[23]對于任意的Λ, M{Γ}+M{Γc}=1；

公理4(次可列可加性)[23]對于每個可數列Λi，我們有

定義5[23]不確定性變量ξ的不確定性分布Φ:R?→[0,1]的定義為

定義6[23]我們稱不確定性分布Φ(x)是均勻的，若它關于x是連續的、嚴格遞增的，0<Φ(x)<1，且

定義7[31]設ξ是具有均勻的不確定性分布Ψ(x)的不確定性變量，若Ψ(x)+Ψ(?x)=1，則稱ξ是對稱的。

定義8[31]若不確定性變量ξ的不確定性分布Φ(x)是均勻的，則稱函數Ψ?1(α)為ξ的不確定性逆分布。

當N(t,x)<0 時，我們有

因此，對任意的y ∈V+∩V ?，都有

利用定理2，我們得到對任意的t ∈Na ∩[0,T]，都有Xt(y)≤Xαt成立。因此

根據單調原理，我們有

另一方面，令

重復上述步驟，對任意的y ∈U+∩U?，有

類似地，我們可以推斷出

因為

是對立事件，所以

根據單調原理可得

又因為

即

因此，由(23)～(25)式，我們可以得出下列等式成立：

4 ABR 型不確定性分數階差分方程解的不確定性逆分布

關于x是利普希茨連續的，利普希茨常數為Lg且滿足

且利普希茨常數為

則函數

關于x是利普希茨連續的。因此，根據存在唯一性定理可得方程(27)有唯一解。

由定理4，我們得到方程

有唯一解

5 結論

本文主要介紹了ABR 型分數階差分方程的比較原理，并應用比較原理給出了ABR 型分數階差分方程的解與具有對稱不確定性變量的ABR 型不確定性分數階差分方程之間的聯系。通過引入α-路徑的概念，本文證明了ABR 型不確定性分數階差分方程解的逆分布就是解的α-路徑。此外，還通過例子來闡述結果的正確性。我們未來可能的工作是討論ABR 型不確定性分數階差分方程的其它不確定性變量，并研究相關文獻中提出的ABR 型不確定性分數階差分方程的數值解。