非線性擾動的切換系統(tǒng)的異步控制：模態(tài)依賴的平均駐留時間方法

高 娟, 李同彬

(1. 哈爾濱師范大學數(shù)學科學學院，哈爾濱 150001; 2. 哈爾濱師范大學經(jīng)濟學院，哈爾濱 150001)

0 引言

切換系統(tǒng)屬于一類重要的混合系統(tǒng)，由有限數(shù)量的子系統(tǒng)和協(xié)調(diào)子系統(tǒng)之間切換的切換信號表示，研究此類系統(tǒng)的動機主要有兩方面。首先，許多真實系統(tǒng)可以建模為切換系統(tǒng)；其次，多控制器切換提供了一種有效的機制來處理高度復雜的系統(tǒng)。由于多個子系統(tǒng)和各種可能的切換信號，切換系統(tǒng)表現(xiàn)出非常復雜的動力學行為。切換系統(tǒng)的研究越來越受到人們的重視，特別是切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制設計是研究的重點。

穩(wěn)定性問題是切換系統(tǒng)的基本研究問題之一，已有的研究結(jié)果可分為兩類：任意切換下的穩(wěn)定性和約束切換下的穩(wěn)定性[1–7]。對于切換系統(tǒng)，只要構(gòu)造一個公共李雅普諾夫函數(shù)，就可以保證系統(tǒng)在任意切換下的穩(wěn)定性。然而，大多數(shù)切換系統(tǒng)不具有共同的李雅普諾夫函數(shù)，并且在任意切換下無法保持穩(wěn)定性，但通過使用多李雅普諾夫函數(shù)技術和設計適當?shù)那袚Q律仍然可以保證穩(wěn)定性。設計適當切換律的有效方法是平均駐留時間(ADT)方法[3,8]。ADT 已被許多研究人員廣泛用于研究切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題[9–10]。最近，作者在文獻[11]中提出了模態(tài)依賴平均駐留時間(MDADT)方法，其中每個子系統(tǒng)都有自己的ADT。MDADT 已被證明是一類更具一般性的ADT[12–14]。

控制問題是為系統(tǒng)設計一組控制器，使系統(tǒng)在一定的切換信號下穩(wěn)定并獲得更好的性能，學者們已經(jīng)對其進行了廣泛的研究[15–18]。然而，在控制器設計中，通常假設控制器和子系統(tǒng)同步切換，這是不現(xiàn)實的。正如文獻[19—20]中所述，在實際操作中，需要一些時間來識別運行的子系統(tǒng)和應用與之匹配的控制器，所以子系統(tǒng)和控制器之間不可避免地存在異步切換。因此，有必要為切換系統(tǒng)設計異步切換控制器。近年來，關于異步切換控制的研究大量涌現(xiàn)，如狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定[15,21–23]、輸出反饋鎮(zhèn)定[24–25]和H∞濾波[26–28]等。

基于上述討論，本文使用模態(tài)依賴平均駐留時間技術研究了切換系統(tǒng)的異步控制。另外，考慮到切換系統(tǒng)在實際應用中不可避免地受到外部因素的干擾。因此，非線性擾動的切換系統(tǒng)的異步控制問題具有重要研究價值。

與文獻[22—23]相比，本文的創(chuàng)新點如下：

1) 使用模態(tài)依賴的平均駐留時間方法設計比平均駐留時間方法保守性低的切換律；

2) 利用異步切換系統(tǒng)狀態(tài)方程的解析解直接研究系統(tǒng)的動力學，而無需構(gòu)造任何李雅普諾夫函數(shù)，從不同的角度去理解這個問題。

1 問題描述及引理

考慮如下帶有非線性擾動的切換系統(tǒng)

其中γ>0 為常數(shù)。

注1 條件(2)稱為李普希茨約束(L 約束)，這說明該模型對輸入干擾不敏感，并且可以提高模型的泛化性能。

令σ′(t)表示控制器的實際切換信號，控制器的實際切換序列為

其中

?k>0(或?k<0)表示控制器的切換時刻滯后(或超前)于子系統(tǒng)的切換時刻，不失一般性，本文考慮?k>0。

考慮狀態(tài)反饋控制器

2 主要結(jié)果

2.1 穩(wěn)定性分析

本節(jié)研究閉環(huán)切換系統(tǒng)(4)的穩(wěn)定性。為方便描述，令T?p(0,t)(T+p(0,t))表示第p個子系統(tǒng)在時間區(qū)間[0,t)上受控于匹配(不匹配)的控制器的總時間。Re(ˉApq)表示矩陣ˉApq的特征值的實部。

證明 依據(jù)βp的值，將所有的子系統(tǒng)分為兩類：如果βp ≤?αp，子系統(tǒng)屬于集合S1={1,2,··· ,l}，否則，屬于集合S2={l+1,··· ,N}。

由式(8)，可得

重復上面的過程，對于任意的t ∈[ˉtk,tk+1)，我們也可以得到不等式(15)。于是，對于任意的t ∈[tk,tk+1)，不等式(15)成立。

由定義2，可知閉環(huán)系統(tǒng)(4)在切換信號(9)下是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的。

2.2 控制器設計

本節(jié)給出狀態(tài)反饋控制器的設計方法。

將式(23)分別代入到等式ˉAp=Ap+BpKp和ˉApq=Ap+BpKq中，可以得到矩陣ˉAp和ˉApq。進一步，由式(12)可得矩陣Fp和Fpq。常數(shù)ξp和?ξp可以由關系式得到。因此，根據(jù)定理1，切換系統(tǒng)(1)在切換信號(9)下是異步穩(wěn)定的。

注2 定理2 中對切換時滯和的比率沒有約束。而在文獻[24]的定理1 中，切換時滯之和的比率需要小于某個值。從這一點來看，本文的結(jié)果更加靈活。

基于定理1 和定理2，下面給出算法1，計算狀態(tài)反饋控制器增益和最小MDADT 的算法，具體的求解步驟如下：

3 數(shù)值仿真

下面給出一個數(shù)值例子來驗證本文方法的有效性。

考慮由三個子系統(tǒng)組成的切換系統(tǒng)(1)，子系統(tǒng)矩陣參數(shù)為

其中A1、A2和A3是不穩(wěn)定的。取γ=0.1，我們的目標是設計狀態(tài)反饋控制器和MDADT切換信號，使得系統(tǒng)在異步切換下穩(wěn)定。異步切換所涉及的時滯為?1M= 0.5,?2M=0.4,?3M=0.7。

為了顯示MDADT 相較ADT 的優(yōu)勢，設計使得系統(tǒng)穩(wěn)定的ADT，我們知道ADT 不要求參數(shù)α、β、ξ、?ξ和?M依賴模態(tài)，即α1=α2=α3, β1=β2=β3, ξ1=ξ2=ξ3,?ξ1= ?ξ2= ?ξ3,?1M=?2M=?3M。不妨取

平均駐留時間為

通過設定適當?shù)膮?shù)，然后根據(jù)算法1 計算MDADT 和ADT，計算結(jié)果見表1。給定參數(shù)α1= 0.8, α2= 0.6 和α3= 0.7，最小的MDADT 是τ?1= 7.358 0,τ?2=15.709 4 和τ?3=9.391 3。給定參數(shù)α=0.6，最小的ADT 是τ?=15.851 0，可見ADT 大于MDADT。因此，MDADT 切換信號比ADT 切換信號更具靈活性。

表1 兩種不同切換信號的參數(shù)設定和計算結(jié)果

根據(jù)算法1，可得控制器增益為

接下來，進行仿真。取τ1= 7.4, τ2= 15.8 和τ3= 9.4。圖1 描述了切換信號，圖2 給出了閉環(huán)系統(tǒng)在初值x0= [?0.2 0.3]T下的狀態(tài)曲線。可以看到，切換系統(tǒng)在設計的切換信號和控制器下是穩(wěn)定的。

圖1 切換信號

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應

4 結(jié)論

本文研究了具有非線性擾動的切換系統(tǒng)的異步控制問題，通過分析系統(tǒng)狀態(tài)方程的解析解并利用MDADT 方法，推導了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的條件。然后，形成了相應的控制器可解條件。此外，給出了控制器設計和最小MDADT 的算法，該方法可用于處理非線性擾動切換系統(tǒng)的異步有限時間控制問題，這將是未來工作中一個有趣的課題。