工程力學中的“虛實結合”科學思維的培養

劉小妹 李培超 范志毅

上海工程技術大學機械與汽車工程學院 上海 201620

科學思維能力是培養學生學習能力和應用能力的先決條件[1]。對于理工科學生，具備科學思維方法至關重要。尤其在遇到難題時，如果思維對了，解決問題的基本方向也就正確了。工程力學，作為專業基礎課，對于后續專業課的開展及學生科學思維能力的前期培養具有深遠的影響。

縱觀工程力學的教學過程，不難發現很多的教學內容中都體現了虛實結合的科學思維方法。在教學過程中，從具體的教學內容出發，潛移默化地介紹這種科學思維方法的巧妙運用，讓學生從中領悟和體會其中的哲學思想，對于培養科學思維方法有重要的實踐教育作用，也說明了力學課程有助于對學生進行科學思維和科學方法的培養[2]。

一、理想力學模型的建立和假想面的引用

理論力學中的“剛體”“質點”和“二力構件”都是一些假想的重要的理想模型，在實際中是不存在的，聽起來有點虛無縹緲的感覺，但很有必要。它們抓住事物的主要特征，忽略了一些次要因素，比如剛體忽略其變形，質點忽略其形狀和大小，而二力構件忽略其質量等。這樣，可以把實際的復雜問題簡化，具有重要的意義，也是實際工程建模的重要思想。力學模型的建立要實事求是，但也不能眉毛胡子一把抓。由此可見，力學的很多理想模型是基于實際情況虛構的，為解決實際問題提供了重要的可能性。

材料力學中為了表示點的應力狀態，引入了一種“單元體”方法，用一個假想的微小六面體來表示一點的應力狀態，“單元體”也是一個虛構的力學模型。單元體的構造，是圍繞研究點所截取的微小六面體，當微小六面體尺寸趨于零時，單元體就退化為一個實在的點。它為純剪切以及三向應力狀態斜截面上的應力公式提供了很大的方便，并且在此基礎上，適當地選取不同方位面所構成的微段，可以進行一些更深入的應力研究。例如，研究彎曲切應力和承受內壓薄壁容器的應力狀態，恰當地合理地選擇微段或是單元體的面所在方位，非常重要。如下圖所示，利用薄壁截面桿件研究彎曲剪應力時，教材[3]中，先是按照慣例從梁上選取dx微段，但是接下來再在該微段局部截取時，并不是常規地橫平豎直地規則選取單元體。而是特別地從沒有外力的縱向表面開始、沿橫截面邊界方向截取有限長度s，到所要求剪應力的點選取微元。我們不得不感嘆這種虛實結合的強大力量，尤其是虛的事物的多變靈活性，其中體現了科學的無窮智慧。當實際的研究對象為點，無法表達其應力(特別是與面平行的切應力，用一個點無法表示)時，可以虛構一個與之有關的六面體，把“不可能”變成了“可能”。

薄壁截面桿件彎曲微元選取示意圖

再如用疊加法求彎曲變形，有載荷疊加和結構疊加。所謂的結構疊加指的是逐段剛化法，也可以看作虛實結合，逐步將各段梁假想為剛體，再根據未剛化部分的彈性位移與剛化部分的剛體位移之間的關系，最終確定要求點的撓度和轉角。當結構比較復雜時，我們可以逐個虛化，各個擊破，最終解決。

理論力學求桁架內力的截面法，然而截面不是真實的，而是一個假想的截面。既然是一個假想的，在截的時候就可以根據所需要求解的桿子的內力來確定截面的方向，從而為解題帶來方便。假想面的方位也是靈活多變的，可以是水平面，可以是傾斜面，甚至也可以是曲面。實際的事物是確定的、不變的，但是虛構的事物可以是不確定的、多變的。在多變的外在表現下，截面法的內在實質是截開的兩部分在內力和外力的作用下處于平衡狀態，從而建立了外力與內力的關系。在材料力學中，在求拉壓、扭轉和彎曲橫截面上的內力時用截面法同樣的思路，也是通過一個假想的截面把變形桿一分為二，利用外力和內力的平衡來求解內力。而且對于任意的組合變形，也同樣適用截面法求內力。

從上述的理想力學虛構模型和虛構假想面，以實際存在為基礎，目的為了解決實際問題，“虛”離不開“實”，服務于“實”，“虛”具有不確定性、多變性從而具有靈活性，為虛實完美結合提供了無窮的可能性。

二、材料力學的一些重要假設和假說

材料力學中，虛設了一些重要的假設和假說。科學假說法是指在大量觀測數據或大量反復試驗基礎上，用以前的理論已經無法解釋觀察的現象、數據，必須提出一種全新的、前所未有的理論框架，恰到好處地解釋所觀測到的現象、數據，且被之后的實驗所驗證的方法[4]。

材料力學中的一個重要的分析方法就是，為便于進行強度、剛度與穩定性有關的理論分析，需要對變形固體進行一些必要的簡化，即通常對其作如下假設：連續性假設、均勻性假設、各向同性假設以及小變形的前提條件。這些假設都是非常理想的情況，在實際中忽略了一些影響因素。同時實際構件的變形、應變以及由變形引起的位移，一般是極其微小的。在小變形前提下，計算構件平衡問題時，可忽略其變形，而直接采用構件變形前的原始尺寸，可使計算得到相當簡化。真實的材料在顯微鏡下觀察，一般不均勻，不連續，不各向同性(各向異性)。但宏觀上，我們近似地假定，材料均勻、連續、各向同性。材料滿足連續性，則材料力學就可以被奠定在微積分這個強大的數學基礎之上。材料滿足均勻性和各向同性，材料力學的理論才最簡單[3]。

分析聯結件的剪切強度和擠壓強度，在實用計算中，假設切應力在剪切面上為均勻分布，并且由于擠壓應力在擠壓面上的分布一般比較復雜，它與接觸的方式、接觸面的形狀等因素有關。在實用計算中，也假設擠壓應力是均勻分布的。基于應力均勻分布的假設，聯結件的擠壓和剪切的應力公式比較簡單，都是用剪力或擠壓力直接除以剪切面或擠壓面的面積，方便解決了實際的工程問題。

在拉壓、扭轉和彎曲時，為了尋找應力分布規律，通過實驗觀察、分析，引入了平面假說。認為拉壓桿件的橫截面在變形后仍保持為垂直于軸線的平面；圓軸扭轉變形后，其橫截面仍保持為平面，且其形狀與大小以及相鄰兩橫截面間的距離均不改變；彎曲梁的所有橫截面在變形過程中都要發生轉動，但變形前原為平面的橫截面變形后仍保持為平面，并且和變形后的梁軸線垂直。平面假設在材料力學關于桿件應力和變形公式的推導中，起著十分重要的作用，通過這些平面假說，為理論推導提供了依據和方便。這些平面假設也不是憑空想象的，它們也是依據觀察到的實驗現象提出來的。

另外，利用開口薄壁截面推導彎曲剪應力時，雖然由于橫截面上的剪應力破壞了上述的平面假設，但仍然可以假定橫截面上的剪應力沿著厚度方向均勻分布，這是因為開口薄壁截面梁壁非常薄的緣故。除此之外，還假定了由純彎曲分析得到正應力公式在橫彎曲時仍然是可用的。

特別當現實不容易實現時，可以借助于一些虛的方法，比如組合變形強度條件的建立，實際構件或元件受力多種多樣，其主應力比值也因此而異。如果僅僅通過實驗建立失效判據，勢必需要對每一種材料在每一種主應力比值的應力狀態下進行實驗，以確定每一種主應力比值下失效時的主應力值，這顯然實際上是不現實的。但是我們可以對失效的原因作一些假說，但不是憑空假說，在有限的實驗結果的基礎上，對失效的現象加以歸納，尋找失效規律。比如特雷斯卡通過擠壓實驗研究屈服現象，而德國的洛德通過薄壁圓管同時承受軸向拉壓和內壓，驗證了第四強度理論[3]。四個經典的強度理論實質上就是四個假說，假設某一個參數作為強度破壞的依據。

由此可見，依據有限的“實”的實驗，大膽提出一些“虛”的假說，最終可以推廣解決更一般的“實”的實際問題。

三、虛位移、虛力、慣性力和慣性力矩等虛擬參數

在材料力學的能量方法里面，有虛位移與虛位移原理、虛力和虛力原理。范欽珊教授在報告《彈性桿件的能量原理——虛位移原理與虛力原理》中指出：虛位移原理與虛力原理功能原理是一個古老而傳統的命題。廣義的能量原理不僅是分析靜力學與分析動力學的基礎，而且也是現代結構分析(例如有限元分析)的基礎。進入AI時代，傳統的基礎力學教學內容如何更新，有很多問題需要思考，引入能量原理是很重要的一個方面。范欽珊教授認為虛位移系列原理基本思想就是“保持力(應力)不變，變分位移(應變)”；虛力系列原理基本思想就是“保持位移(應變)不變，變分力(應力)”，從而形成了完整的能量原理體系。虛位移，力學詞典給出的簡明定義是“在一定未知上，為約束所允許的假象的無限小位移”[5-6]。

對于處于平衡狀態的彈性體，真實作用于彈性體上的外力在假想的虛位移上做的虛功等于彈性體內力在相應的虛位移上所做的功，虛實結合可以確定彈性體桿件的內力。與之對應的有虛力和虛力原理，滿足平衡條件虛設的力或力系在真實位移上所做的功等于虛力引起的內力(虛內力)在真實位移上所做的功，如果虛力是單位虛力則就是單位載荷法。利用單位載荷法，可以確定結構上任意一點沿任意方向上的位移[4]。在這里，“虛實”真正地發生了數量的關系，而且似乎有點錯綜復雜。當然虛位移或是虛力可以是任意的，但又并不是完全虛，仍然與實際有著千絲萬縷的聯系，比如虛位移必須滿足實際的約束條件和連續條件，可以是真實位移的變分，即虛速度。對應的虛力必須滿足平衡條件，可以是真實力的變分。虛實結合的最終極目標，還是方便地求解實際的問題，也就是求真實存在的力或是真實產生的位移。

在理論力學中，達朗貝爾原理也稱為動靜法，它的核心思想是把動力學問題轉化為靜力學問題，而靜力學是利用平衡來求解問題的。為了能夠利用平衡來求解問題，需要在剛體上根據剛體所作何種運動，相應地虛擬地加上慣性力和慣性力矩。靜力學中構成的平衡力系的都是外界物體對質點的作用力，而慣性力并不是外加的。所以慣性力是一種為了便于解決問題而假設的“虛擬力”[7]。這些虛擬的慣性力和慣性力矩也是實際不存在的，但是需要根據剛體實際的運動合理虛擬地加載在剛體上。慣性力的大小等于剛體的質量乘以質心的加速度，慣性力矩的大小等于剛體的轉動慣量乘以角加速度。由此可見，虛擬的慣性力和慣性力矩是與實際運動的加速度和角加速度有關的，利用這些虛擬的參數可以把剛體或剛體系統看作是形式上的平衡，把復雜的動力學問題簡單化，求解出實際的動力學問題，不僅虛實結合，也實現了“動”與“靜”的相通[7]。

四、仿真軟件與力學實驗有機融入

材料力學課程有三個基本的實驗：拉壓、扭轉和彎曲。對于彎曲實驗，可以把理論、實驗和數值分析有機結合，例如對于同一個矩形梁的純彎曲實驗，我們可以用三種不同方法獲得不同的結果：理論計算值，虛擬仿真值和實驗真實值。通過比較加深對彎曲正應力公式的理解和掌握，同時通過仿真數值模擬加深對應力的分布的直觀感性認識[8]。

力學實驗也有“虛”“實”兩種，可分為虛擬仿真實驗和實物實驗。虛擬仿真實驗，打破傳統的實驗教學在時間和空間上的限制，充分發揮虛擬實驗所具備的低消耗、操作可逆、可完成綜合實驗等優勢。但是，實物實驗具有虛擬實驗不可替代的地位，因此，需要將虛擬仿真實驗與實物實驗綜合進行[9]。

另外，材料力學中內力和應力是不可見的，而變形和應變是可見的、可以測量的，于是使得通過實驗的方法觀察變形的規律，從而得到應力的分布規律的這一方法得以應用，虛實結合，依實知虛。

結語

科學的思維方法對于專業課程的學習有重要意義。把科學思維方法融入課程教學，在不影響教學時間和教學質量的前提下，通過具體內容知識點的傳授、典型案例的講解，引導學生，科學思維，不僅可以提高學習的興趣，還可以提高學生的思維能力和創新能力，為將來的工作和進一步學習打下良好基礎。