變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

黑龍江省北安市通北林業(yè)局第一中學(xué)校 賈悅琪

一、變式訓(xùn)練的應(yīng)用價(jià)值

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中常遇到三種類型題：標(biāo)準(zhǔn)型、探究型和變式型。標(biāo)準(zhǔn)型作為最常見的題目，有固定的答案與解題方法；探究型在高中數(shù)學(xué)中是比較有難度的，對(duì)學(xué)生思維能力的要求比較高；變式型是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)換而來(lái)的，變式訓(xùn)練主要是通過對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)換來(lái)解決問題，其解題的過程其實(shí)就是學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高的過程。

（一）提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

變式訓(xùn)練以學(xué)生的成績(jī)?yōu)楹诵模瑥膯栴}的不同方向進(jìn)行分析，用不同的方法對(duì)問題進(jìn)行解答，引領(lǐng)學(xué)生參入進(jìn)來(lái)，共同思考、研究，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。在變式訓(xùn)練中，要讓學(xué)生了解解題方法的多變性，進(jìn)一步提高學(xué)生的分析能力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用變式訓(xùn)練不僅能對(duì)學(xué)生的解題方法進(jìn)行擴(kuò)展，還能提高學(xué)生的綜合能力和自主學(xué)習(xí)的能力。

（二）增進(jìn)師生感情

在變式訓(xùn)練中，教師要對(duì)學(xué)生有充分了解，多從學(xué)生的角度考慮問題，做到互相尊重。第一，根據(jù)學(xué)生發(fā)展的需求，對(duì)自身的角色進(jìn)行定位，不僅做教導(dǎo)者，還做學(xué)生學(xué)習(xí)路上的指路明燈，對(duì)其進(jìn)行引導(dǎo)；第二，要與學(xué)生建立良好的師生關(guān)系，熟悉學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力，使其感受到學(xué)習(xí)的樂趣；第三，在教學(xué)過程中，要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生大膽提問與探討；第四，在課堂教學(xué)中，要面帶笑容，用心愛護(hù)每一名學(xué)生，建立平等互愛的師生關(guān)系，進(jìn)一步增強(qiáng)師生之間的感情。

（三）培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

在教學(xué)概念、理論和公式時(shí)，要通過對(duì)公式進(jìn)行不同程度的轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的相同之處，進(jìn)而把握其本質(zhì)，培養(yǎng)思維能力。

二、變式訓(xùn)練的應(yīng)用方式

（一）一題多變法

一題多變法就是把一道數(shù)學(xué)題變換成多道數(shù)學(xué)題。在講解題目時(shí)，教師應(yīng)對(duì)經(jīng)常出錯(cuò)的典型題目詳細(xì)講解，通過不同方式增強(qiáng)學(xué)生的分析能力，提升學(xué)生的應(yīng)變能力。

例如，若f（x）=mx2＋8x+4的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：偶次根式若有意義，需保證被開方數(shù)非負(fù)。解決這道題目較容易，主要利用轉(zhuǎn)化的思想，將該題目轉(zhuǎn)化成恒成立問題求解。

定義域?yàn)镽,則mx2＋8x+4在R上恒成立。

解：由題意：mx2＋8x+4≥0在R上恒成立。

∴m>0且△≤0，得m≥4，

∴m的取值范圍是[4，+∞）。

變式：f（x）=log3（mx2＋8x+4）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：令t=mx2＋8x+4，若要使f（x）的值域?yàn)镽，則t可以取到全體正實(shí)數(shù)。

解：令t=mx2＋8x+4，則要求t可以取到全體正實(shí)數(shù)。

①當(dāng)m=0時(shí)，t能取到所有正實(shí)數(shù)，

②當(dāng)m≠0時(shí)，m>0且△≥0，則0

∴0＜m＜4。

綜上可得：m的取值范圍是[0,4]。

這個(gè)變式把函數(shù)的定義域、取值范圍和相關(guān)題型進(jìn)行融合，有助于學(xué)生進(jìn)一步了解知識(shí)之間的關(guān)系，也有助于學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信。

在解答高中數(shù)學(xué)題時(shí)，通常都有多種方法，很多題中都包含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，注重考查學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多變轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步提高學(xué)生的分析能力和解題水平，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提升。高中生的學(xué)習(xí)任務(wù)重，內(nèi)容多，若對(duì)題目進(jìn)行分類總結(jié)，對(duì)常錯(cuò)題進(jìn)行變式訓(xùn)練，將會(huì)大大緩解教師的教學(xué)壓力，提升課堂教學(xué)效率。

（二）一題多解法

一題多解法是進(jìn)行變式訓(xùn)練的另一種方法。在課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在已知條件的基礎(chǔ)上分析題目，但不要局限于已知條件，要調(diào)動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維，進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力。

例如，解不等式3<2x-3<5。

解法一：根據(jù)絕對(duì)值的定義，進(jìn)行分類討論求解。

（1）當(dāng)2x-3≥0時(shí)，不等式可化為3＜2x-3＜5，則3＜x＜4。

（2）當(dāng)2x-3＜0時(shí)，不等式可化為3＜-2x+3＜5，則1＜x＜0。

綜上：解集為3

解法二：轉(zhuǎn)化為不等式組求解。

原不等式等價(jià)于|2x-3|＞3且|2x-3|＜5，

則3＜x＜4或1＜x＜0，

綜上：解集為3

解法三：利用等價(jià)命題法。

原不等式等價(jià)于3＜2x-3＜5或-5＜2x-3＜-3，

即3＜x＜4或-1＜x＜0，

綜上，解集為3

在上述題目中，解法一根據(jù)絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)，通過分類討論進(jìn)行解答，這就要求學(xué)生較好地掌握與絕對(duì)值相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)。解法二根據(jù)不等式組的轉(zhuǎn)換解答問題，主要考查學(xué)生對(duì)不等式的掌握情況。解法三采用的是等價(jià)命題法，相當(dāng)于將原不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，主要考查學(xué)生對(duì)原不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力。一題多解實(shí)際上就是對(duì)問題進(jìn)行不同角度的分析，不但可以增加學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。

（三）多題歸一法

高中數(shù)學(xué)知識(shí)覆蓋面廣，內(nèi)容多，雖然每次考試都會(huì)涉及很多知識(shí)點(diǎn)，但考查重點(diǎn)一直都是對(duì)所學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力。所以在平時(shí)的教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多題歸一法解題。

例如：如圖1，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB=DE,AC=DF,BE=CF。

圖1 例題

求證：∠A=∠D。

評(píng)析：本題主要訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用“邊邊邊”條件判定三角形全等，進(jìn)而運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)得出所求證的角相等。由條件BE=CF不難得出BC=EF，又有已知條件AB=DE，AC=DF，利用“邊邊邊”條件可得△ABC≌△DEF，從而∠A=∠D得證。這就是一道簡(jiǎn)單的變式訓(xùn)練題。

可以結(jié)合此題命制以下幾道題：

變式一：如圖2，已知AC=EF，BC=DE，點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是_________。

圖2 變式一

評(píng)析：本題采用的是與上題同樣的方法，通過添加條件證明兩個(gè)三角形全等，并運(yùn)用“邊角邊”理論進(jìn)行三角形全等的驗(yàn)證以及運(yùn)用三角形的性質(zhì)對(duì)其夾角進(jìn)行相等的論證。由條件AC=EF，BC=DE，且點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，得知∠A=∠F，進(jìn)而通過“邊角邊”得知，添加的條件是∠A=∠F，促使△ABC≌△FDE。

變式二：如圖3，點(diǎn)B、D、C、F在一條直線上，且BC=FD，AB=EF。請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不再加輔助線），使△ABC≌△EFD，你添加的條件是_______。

圖3 變式二

評(píng)析：變式二同樣也是應(yīng)用“邊角邊”理論對(duì)三角形全等進(jìn)行驗(yàn)證，由已知條件點(diǎn)B、D、C、F在一條直線上，且BC=FD,AB=EF，可以得出∠B=∠F，由此可知添加的條件是∠B=∠F，進(jìn)而可以證明△ABC≌△EFD。

這兩道變式題都應(yīng)用了三角形的相關(guān)理論，都是對(duì)多題歸一法的綜合運(yùn)用。多題歸一法就是運(yùn)用固定的基礎(chǔ)知識(shí)，通過不同的方式對(duì)不同問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，如轉(zhuǎn)換條件、轉(zhuǎn)換結(jié)論、轉(zhuǎn)換圖形等。在課堂教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用多題歸一法，以此訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造性思維。大多數(shù)學(xué)題雖然題型不同，但問題的本質(zhì)都一樣，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行深入分析，總結(jié)題目的規(guī)律，掌握答題的技巧，提高應(yīng)變能力。

綜上所述，要提高學(xué)生的思維能力，就要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入變式訓(xùn)練，以此幫助學(xué)生更好地掌握解題思路，提升解題能力，進(jìn)而提高課堂教學(xué)效率。