以“核心概念”引領(lǐng)單元整體設(shè)計和分步實施
——以《長方形和正方形的面積》單元教學(xué)為例

文|成艷斌

一、學(xué)生困擾帶來的思考

教師都熟知“周長”和“面積”“表面積”和“體積”是“圖形的測量”內(nèi)容中兩對相生相伴的易混概念，如何降低這種易混易錯率，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度認(rèn)識它們，優(yōu)化教學(xué)效果呢？

1.典型的教學(xué)片斷。

【片斷一】

新授環(huán)節(jié)的第一個任務(wù)，教師用課件動態(tài)演示“線動成面”，學(xué)生有的發(fā)現(xiàn)了面有長短，有的發(fā)現(xiàn)了面有大小，有的甚至清楚地表示自己發(fā)現(xiàn)了“面積有大有小”。緊接著，教師根據(jù)學(xué)生已知面積名稱的具體學(xué)情，展開了如下互動。

師：根據(jù)你的理解說一說什么是1 號圖形（一條線段經(jīng)過平移變換成的長方形）的面積？

生1：長加寬的和乘2。

生2：你計算的不是面積，你是在求周長，我覺得面積應(yīng)該是圖形這一面的大小。

（一邊摸一邊說）

教師緊接著追問生1：你還認(rèn)為長加寬的和乘2是在求面積嗎？這是之前學(xué)習(xí)的求什么的方法啊？

生1：周長。

通過不同層次的表達和抽象，學(xué)生最終得出：封閉圖形的大小就是它們的面積。

【片斷二】

新授環(huán)節(jié)的第二個任務(wù)，教師繼續(xù)演示“線動成面”。

師：如果將2 號長方形的長繼續(xù)平移會怎么樣，現(xiàn)在還能看出兩個圖形的面積誰大誰小嗎？

生1：一個橫著的，一個豎著的，看不出來了。

師：那怎么辦呢？

生1：可以拿著尺子來測量一下，把它分成一個一個的小格子，再數(shù)一數(shù)。

生2：可以先算出周長，再來比較周長哪個大哪個小，就知道面積哪個大哪個小了。

師：通過比較它們的周長來比較面積的大小，可以嗎？咱們留作一個問題來探索。

生3：把下面的圖形和上面的圖形重疊，就可以比較出它們的大小。

師：重疊的方法確實能比較兩個圖形的大小，但是實際生活中操作不方便，還是用小方格比較合適。

緊接著，教師安排學(xué)生用透明方格紙測量兩個長方形的面積，并作出比較。

2.可能的成因分析與干預(yù)。

在片斷一中，學(xué)生以1 號長方形為例表達對面積的理解時，試圖用求周長的方法給出一個數(shù)表征面積。從教師的視角看，顯然這個學(xué)生已經(jīng)把面積和周長混淆了。仔細分析，我們可能有這樣的收獲。

（1）這個想法從哪來的？

學(xué)生在學(xué)習(xí)周長后，可能有以面的大小判斷周的長短而成功的經(jīng)驗。這個經(jīng)驗雖不是普遍規(guī)律，但確實常見。在學(xué)生沒有將周長大而面積小的強刺激納入認(rèn)知范圍前，這種合情推理便會一直存在。他們會認(rèn)為周長與面積正相關(guān)，面越大，周越長；反之，周越長，面也越大。當(dāng)學(xué)生誤以為教師讓大家用一個數(shù)表征1號長方形的面積時，因為缺乏定量描述的經(jīng)驗，所以便調(diào)用了“周長”。

（2）教學(xué)干預(yù)的時機是否恰當(dāng)？

不難發(fā)現(xiàn)，按照這樣的教學(xué)設(shè)計，學(xué)生在產(chǎn)生困惑的時候，正處于定性描述階段，還沒有經(jīng)歷以小量大、定量刻畫，“面積”還只是個“有某種語言結(jié)構(gòu)要求”的概念。等到下節(jié)課學(xué)習(xí)了面積單位并產(chǎn)生度量值的時候，最好的時機已經(jīng)錯過了。

（3）教師的干預(yù)方法是否得當(dāng)？

學(xué)生基于舊知學(xué)習(xí)新知，概念理解的認(rèn)知偏差有很多種，他們從糊涂到明白，需要教師多角度有針對性地共情與支持。在片斷二中，當(dāng)不能直觀看出兩個圖形的面積時，學(xué)生就再次提出了“通過比周長來比面積”的想法。

3.可怕的“后遺癥”。

這節(jié)課的一開始學(xué)生就把“周長”和“面積”混了，直到結(jié)束也沒有厘清。教師從面積的板書中擦掉了周長的計算公式，卻沒擦去學(xué)生的錯誤認(rèn)知。可想而知，緊接著我們需要上周長與面積的區(qū)分課，如果還分不清，那就再練、再測……

4.思考和啟示。

要想解決這個問題，還是應(yīng)該先從研究“教什么”開始。

（1）度量的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

《度量——一首獻給數(shù)學(xué)的情歌》這本書中寫到：“什么是度量？在度量某個物體的時候，我們到底是在做什么？……其實我們正在進行比較，比較我們正在度量的物體和用來度量的物體。換句話說，度量是相對的。我們所做的任何度量，無論是真實的還是假想的，都必然取決于我們選定的度量單位。”

可見度量的本質(zhì)是比較，就是不斷用度量單位與度量對象進行比較，最后給度量對象一個數(shù)的結(jié)果。（2）現(xiàn)有的典型做法有哪些不足？

教師的磨課片斷，體現(xiàn)了我們平時教學(xué)面積時的一些典型做法。

做法一：我們常常會將關(guān)注點及大量時間放在讓學(xué)生通過直觀操作（摸、涂色等）感知“面積”，然后引導(dǎo)學(xué)生概括出“面積定義”。我們總愿意相信：如果這些詞語出自學(xué)生之口，而非教師之口，那么學(xué)生就真正理解了。

做法二：我們通常組織學(xué)生經(jīng)歷“觀察——重疊、剪拼——數(shù)格子”來比較兩個圖形面積的過程，同時有意識地設(shè)計不同大小的“格子”，強調(diào)單位統(tǒng)一的重要性。至于比較結(jié)果，比出誰大誰小即可，具體有多大，在這節(jié)課我們并不關(guān)注。

這些照本宣科的典型做法，并沒有梳理清晰“周在面上，面在體上”的易混關(guān)系。要想?yún)^(qū)分周長與面積，還得從“度量”的本質(zhì)出發(fā)，方能得到解答。

（3）應(yīng)該做出哪些調(diào)整？

面積的學(xué)習(xí)主要經(jīng)歷兩個階段：階段一是比較兩個或多個面的大小；階段二是精確地求出某個面的大小。第二個階段有兩種方法，方法一是用單位密鋪，然后數(shù)出單位的個數(shù)；方法二是間接度量，利用公式直接計算。我認(rèn)為，“用單位密鋪”的方法應(yīng)該貫穿面積學(xué)習(xí)的兩個階段，直觀看出就是以小量大的一次度量，多次疊合就是不斷細化單位多次度量，數(shù)格子就是統(tǒng)一單位進行度量。

這樣，我們的基本做法也應(yīng)該做出相應(yīng)的調(diào)整。

第一，“……的大小就是……的面積”這種表述容易將數(shù)學(xué)概念的理解異化為文字游戲。一個面究竟有多大，以及兩個面比大小時究竟相差多少，給出的那個數(shù)，才是面積的本質(zhì)。“直觀比大小”并非難點，應(yīng)大量縮減，相應(yīng)的時長替換為“用數(shù)表征”。

第二，在觀察、重疊、數(shù)格子等顯性方法的背后有更具價值的內(nèi)容，例如誤差、密鋪（等積變形）、曲化平、單位細化、極限思想等，以及在這個過程中對學(xué)生的思維訓(xùn)練（單位滿鋪到半鋪，不是只能在長方形和正方形面積的那節(jié)課才開始教學(xué)，從面積的認(rèn)識就可以開始）……這些關(guān)乎數(shù)學(xué)本質(zhì)的思想方法應(yīng)該在過程中得以體現(xiàn)。

這些調(diào)整已經(jīng)在這個單元的整體設(shè)計中得以體現(xiàn)，在《認(rèn)識面積》《長方形和正方形的面積》這兩篇教學(xué)設(shè)計中，可見一斑。

二、基于核心概念的整體設(shè)計、分步實施及效果評議

1.以“度量”本質(zhì)為核心概念進行單元整體設(shè)計。

度量的一般過程就是根據(jù)度量對象，先定標(biāo)準(zhǔn)，再數(shù)個數(shù)。我們今天學(xué)習(xí)的是面積，度量的對象是面，它有大有小，它的大小是用小面的個數(shù)來刻畫的。以此為單元教學(xué)的主題思想，將這個單元的四個教學(xué)內(nèi)容整體設(shè)計如下：

（1）內(nèi)容主題明確。

第一節(jié)課是起始課，讓學(xué)生經(jīng)歷大量用非標(biāo)準(zhǔn)單位進行度量并用數(shù)刻畫結(jié)果的過程，在不斷度量的過程中認(rèn)識面積的度量對象，建立“以小面量大面”的規(guī)則，與周進行區(qū)分，初步溝通周長與面積的聯(lián)系；第二節(jié)課認(rèn)識標(biāo)準(zhǔn)單位，建立1cm2、1dm2、1m2的量感，并繼續(xù)用標(biāo)準(zhǔn)單位進行度量，進而建立幾cm2、幾dm2、幾m2的量感；第三節(jié)課，基于前兩節(jié)課的度量經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)直接度量大面積操作有困難，產(chǎn)生間接度量的需求，探索長、正方形的面積計算公式，再次溝通長度與面積之間的關(guān)系；第四節(jié)課，基于前三節(jié)課的經(jīng)驗，自主推理面積單位之間的進率，進一步發(fā)展量感。

（2）任務(wù)銜接緊密。

第一節(jié)課經(jīng)歷用非標(biāo)準(zhǔn)單位度量，如單位滿鋪到半鋪、半鋪如何數(shù)……為后續(xù)課時用標(biāo)準(zhǔn)單位度量、從直接度量走向間接度量的公式推理等提供直接經(jīng)驗支持；第二節(jié)課用1dm2測量課本封面、用1m2測量籃球場的活動引發(fā)了第三節(jié)課的真實探索；第三節(jié)課中1dm2不能滿鋪課本封面、單位細化后能滿鋪的探索過程又為第四節(jié)課的單位進率探索，乃至五年級不規(guī)則圖形面積估計（化曲為直、極限思想）等奠定了基礎(chǔ)……

抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)就能克服碎片化教學(xué)，把一個自然單元的若干課時貫通起來，回到知識單元的線索中，講成一個核心概念——“面的度量”，以“定標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)個數(shù)”為抓手，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)化、任務(wù)遞進化、能力進階化，在不斷度量的過程中學(xué)習(xí)面積。這就是以單元教學(xué)為載體，表達面積度量與圖形度量、知識進階與素養(yǎng)進階的整體性、一致性和階段性。

2.對應(yīng)新設(shè)計的教學(xué)效果評議。

北京教育科學(xué)研究院張丹教授認(rèn)為：大概念的內(nèi)涵有內(nèi)容大概念、過程大概念以及價值大概念三個層面。劉延革老師在《整體視角下有關(guān)度量內(nèi)容的研究與實踐》一文中具體描述了度量的五個大概念，我們不妨對照這五個大概念，看看《認(rèn)識面積》《長、正方形的面積計算》這兩節(jié)課的實施效果。

大概念1：度量是對現(xiàn)實生活中事物的某些屬性大小的刻畫。

面積的度量對象是面，有地面、墻面等平面，球面、桶側(cè)面等曲面，把面從體上“請”下來就是封閉圖形。面有大有小，且它的大小可以用具體的數(shù)刻畫出來。學(xué)生經(jīng)歷了多次、及時的定量刻畫面積后，就能很好地區(qū)分周長和面積，“封閉圖形一周邊線的長度是周長，數(shù)的是幾厘米、幾分米……而周長里面的部分（的大小）才是面積，數(shù)的是地板、小格子……”從學(xué)生用自己的語言表達“什么是面積”的這段話中可以看出，學(xué)生對周長、面積的度量屬性區(qū)分得很清楚，已經(jīng)深刻理解了“周在面的邊沿，而面在周的內(nèi)部”。從后測看，相關(guān)練習(xí)的錯誤率也大大降低。

大概念2：度量的基本方法是同一單位的不斷累積，將多個度量單位組合在一起產(chǎn)生了工具，使得測量更加方便。

在《認(rèn)識面積》這節(jié)課中，對度量基本方法的體驗經(jīng)歷了如下三個階段：

第一，真實情境中的以小量大。無論是在父子拖地的真實情境中比較鋪著同一款地磚的客廳和臥室地面哪個更大，還是生活中的其他窗面、柜面、墻面……

第二，自選單位測量課桌面。學(xué)生選擇不同的單位測量課桌面，體會面積度量的正則性；并通過比較封面、手掌面、三角形等自選單位，體會正方形“密鋪”的優(yōu)勢，從而感受面積的有限可加性。

第三，在方格紙中描述三個平面圖形的面積。此處不僅比較了周長和面積的度量對象不同，同時在求不規(guī)則圖形面積的過程中，以“總量等于分量和”支撐面積的運動不變性。

定標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)個數(shù)，就是將多個度量單位組合在一起數(shù)出結(jié)果。從這個意義上看，“方格紙”可以看作是同一正方形不斷累積產(chǎn)生的度量面積的工具。

大概念3：度量方法和度量單位的選取源于實際生活的需要，以及對度量結(jié)果精確程度的需求。

學(xué)生在自選單位測量課桌面時，對這個概念體會很深。度量課桌面的大小時，大家都選比桌面更小的面來度量；在度量結(jié)果的描述中，體現(xiàn)了度量結(jié)果的精確程度；同時，面積是指面的大小，用小面量大面，類比線段有長短，用短線量長線，物有輕重，用輕物來量重物等，這就是在大度量觀下源于生活實際需要的度量本質(zhì)。

大概念4：尋找所度量的屬性與圖形要素之間的關(guān)系可以獲得常見圖形的計算公式，而轉(zhuǎn)化、類比等提供了運用推理產(chǎn)生新的圖形計算公式的視角。

這次我們以《長方形和正方形的面積》為例，這節(jié)課的核心就是用轉(zhuǎn)化思想輔助學(xué)生完成推理。

轉(zhuǎn)化一——化未知為已知。

學(xué)生用1m2量籃球場的面積時，發(fā)現(xiàn)班里的單位不僅不夠滿鋪，連一行或一列都鋪不滿時，主動想到了將“鋪面積單位”轉(zhuǎn)化為“量長和寬”。學(xué)生的這種想法本身就來源于上節(jié)課面積單位的規(guī)定，邊長1m 的正方形的面積是1m2，所以，每量出一個1m 的長度，就能擺一個1m2的面積單位。這是非常典型的用舊知解決新問題的轉(zhuǎn)化思路。

同時，在這個轉(zhuǎn)化過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了長與每行個數(shù)、寬與行數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，助推學(xué)生發(fā)現(xiàn)了長方形面積與其關(guān)鍵要素長、寬之間的關(guān)系，從而引發(fā)了新探究。

轉(zhuǎn)化二——化繁為簡。

學(xué)生測量長度，從直接度量走向間接度量，本身就是化繁為簡的重要表現(xiàn)。進一步，我們把從測量籃球場面積過程中得到的啟示，推廣到其他大長方形面積的度量中，尋找一種普遍的計算規(guī)律，又是另一種化繁為簡，這也是數(shù)學(xué)建模思想的重要表現(xiàn)，從特殊走向一般。

此外，我們應(yīng)該格外關(guān)注在這節(jié)課中無處不在的“特殊到一般”“一般到特殊”的推理方式。長方形面積計算公式的推導(dǎo)過程就是“特殊到一般”的重要表現(xiàn)。而推導(dǎo)過程中與上節(jié)課銜接出現(xiàn)的“無法滿鋪數(shù)學(xué)書封面，那用長乘寬計算長方形面積還合適嗎”的質(zhì)疑，又是“一般中的特殊”。

大概念5：以上過程發(fā)展了學(xué)生的量感、推理能力、直觀想象、解決問題能力及創(chuàng)新意識。

這五條大概念，前四條闡述了度量的核心內(nèi)容及研究的思想方法，最后一條則是這部分內(nèi)容對促進學(xué)生發(fā)展的教育價值。顯然，價值大概念的實現(xiàn)有賴于前四條度量大概念的落地。

3.大單元整體備課的核心要義。

本次《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》最大的新意是將核心素養(yǎng)寫入了總目標(biāo)，且核心素養(yǎng)的內(nèi)涵表現(xiàn)了整體性、一致性和階段性。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化便是這一理念的具體體現(xiàn)。因此，基于新課標(biāo)的新教學(xué)也應(yīng)該強調(diào)基于知識邏輯體系和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的整體設(shè)計，改變過去過于注重以課時為單位的教學(xué)現(xiàn)狀，制訂指向核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，整體把握教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中，經(jīng)歷指向高階思維的自主遷移和深度學(xué)習(xí)，走出碎片化認(rèn)知，實現(xiàn)知識與素養(yǎng)的同步進階。

事實上，這兩篇教學(xué)設(shè)計便是最好的例證。因為前后知識銜接緊密，學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗被充分喚醒，經(jīng)歷了知識的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”，學(xué)習(xí)效果很好。