平行四邊形的面積：從否認到確認

郜舒竹　李娟

【摘? ?要】“平行四邊形的面積”作為小學數學課程第三學段的內容，具有承上啟下的地位和作用。教科書的設計是利用長方形面積公式得到“平行四邊形的面積=底×高”，回答了平行四邊形面積公式“是什么”。這樣的設計缺失了針對“相鄰邊長度乘積等于面積”以及“邊越長—面越大”這兩個誤解的否認過程。因此，在教學設計中應當嘗試設計“否認”的認知活動，讓學生有機會經歷在多種可能性中進行比較，通過否認實現承認與確認的過程。應當注意的是，否認不等于否定，“從否認到確認”的教學設計立足于認知活動的開放性，讓“用數學的眼光看，用數學的思維想，用數學的語言說”真實地發生，讓認知成為真正的“過程”，而不僅僅是走個“過場”。

【關鍵詞】面積；平行四邊形；否認；確認

小學數學課程中“平行四邊形的面積=底×高”這一內容，常見于第三學段（五年級）“多邊形的面積”單元的起始課，以第二學段（三年級）“長方形的面積=長×寬”為認知基礎。教科書的設計是通過“數方格”和“分、移、補”的活動，讓學生直觀感知平行四邊形面積與相應長方形面積“形異量等”的等價關系，進而利用長方形面積公式得到“平行四邊形的面積=底×高”。

這樣的安排應當說符合“從已知到未知”的學科邏輯，回答了平行四邊形面積公式“是什么”和“為什么是”的問題。在此基礎上對公式進行記憶，可以達到利用公式計算平行四邊形面積并解決相關問題的目的。但是，如果把課程與教學目標指向學生的認知過程和素養，那么僅有“是什么”和“為什么是”的學科邏輯是不夠的，還需要“如何知道并相信”的認知邏輯。

一、承認與否認

人在認識陌生事物的初期處于與自身熟悉的經驗建立聯系的直覺階段，熟悉的經驗在思維中的存在形式也叫“圖式（Schema或Scheme）”。羅馬尼亞著名數學教育家、國際數學教育心理學會（PME）創始人菲茨拜因（Efraim Fischbein，1920—1998）的研究表明，圖式是影響直覺過程中感知、推理與想象最重要的因素之一［1］。人會無意識地將思維中的圖式應用于對陌生事物的認識與理解，這樣的應用可能是正面的、積極的，也可能是負面的、消極的。負面的、消極的影響往往表現為面對多種可能性難以取舍的茫然與徘徊。

因此人對“是什么”的承認和確認必然會伴隨著對“不是什么”的否認與篩選。同樣，對“為什么是”的理解與對“為什么不是”的解釋一定是共生、并存的。排除了可能性中的“不是”，才能真正相信并確認“是什么”和“為什么是”。因此對陌生對象的認識，不單純是接受和承認，還包括對諸多可能性進行枚舉、比較和排除的否認過程。

平行四邊形面積對小學五年級學生來說，是新的、陌生的認識對象，與之最為接近的經驗自然源于長方形的面積。平行四邊形與長方形相比較，可以說是異同并存，從形狀上看都是四邊形，而且具有對邊相等且平行等諸多共同的性質。學生在三年級就已經熟悉“長方形的面積=長×寬”，從視覺上看，長與寬是長方形相鄰兩邊及其長度，因此在思維中自然形成的圖式是“長方形面積等于相鄰兩邊長度乘積”。如果長方形相鄰兩邊長度分別為3厘米和4厘米，那么面積為“3厘米×4厘米=12厘米²”。這樣的圖式會無意識地影響到學生對平行四邊形面積的認識（如圖1）。當面對相鄰兩邊長度分別是3厘米和4厘米的平行四邊形時，學生會自然而然地認為面積也是“3厘米×4厘米=12厘米²”。

此類直覺認知并不荒謬，也不能視為錯誤。對于相鄰兩邊長度分別為3厘米和4厘米的長方形（如圖2），默認的面積單位為“邊長1厘米正方形的面積”，因此運用“行數×列數”得到長方形面積為“3厘米×4厘米=12厘米²”［2］。

同樣，如果把相鄰兩邊長度分別為3厘米和4厘米的平行四邊形（如圖3），按照類似方式等分為12個邊長為1厘米的菱形（小平行四邊形），并且規定每一個小菱形的面積為“1平方厘米”，那么這個平行四邊形面積自然也是“行數×列數”，即“3厘米×4厘米=12厘米²”。

學生應用長方形面積認知的經驗得到了平行四邊形面積是“相鄰兩邊長度乘積”，這就成為與“平行四邊形的面積=底×高”不同的另一種可能性，這種可能性不僅合情，而且合理。相信并且承認“平行四邊形的面積=底×高”的前提，是對這種可能性的否認。

二、對“相鄰邊長度乘積”的否認

數學中的演繹推理通常遵循“從給定到確定”的模式，從給定的條件得到確定的結論。平行四邊形面積公式如何確定，取決于給定的前提條件，即如何定義面積單位。圖2中長方形面積計算中的“1平方厘米”是邊長1厘米正方形的面積，圖3中平行四邊形面積計算中的“1平方厘米”是邊長1厘米菱形的面積（如圖4）。

首先需要澄清這兩個圖形面積是否相等，二者是否具有“形異量等”的等價關系。比較的方法是多樣的，比如可以在方格紙中畫圖或剪紙等。用動態變化的眼光看，這兩個圖形的關系實質是旋轉導致形變，邊長1厘米正方形兩條豎直的邊沿順時針方向旋轉一個角度，邊長保持不變，但面積變小了，而且隨著旋轉的繼續，面積會越來越小（如圖5）。

通過這樣的比較活動可以形成兩點認識：第一，邊長相等的正方形面積與非正方形的菱形面積并不相等，不具有“形異量等”的等價關系。第二，給定正方形邊長，那么正方形的形狀和大小（面積）隨之確定；但給定菱形邊長，其形狀和大小（面積）不能隨之確定。

類似的結論同樣適用于長方形與平行四邊形的關系，給定長方形相鄰兩邊長度，長方形的形狀和大小（面積）隨之確定；而給定平行四邊形相鄰兩邊長度，其形狀和面積不能隨之確定（如圖6）。

由此可知，如果采用邊長1厘米的菱形面積作為面積單位“1平方厘米”，就會出現“同一名稱、所指多樣”的歧義現象。通常所說的“單位”可以有兩種理解，第一是主觀的非標準單位（Nonstandard Unit），第二是客觀的標準單位（Standard Unit）［3］。非標準單位具有因人而異的差異性和多樣性；標準單位則要求確定性和一致性，確定性指的是時間意義的不變性，一致性指的是空間意義的處處相同。邊長1厘米的不同菱形面積未必相等，具有不確定性和不一致性，可以作為具體問題中的非標準單位，但不能成為標準單位。邊長1厘米的正方形面積具有“邊長相等、大小一致”的確定性和一致性，可以成為標準單位。

通過比較得到的結論是，應當選取邊長1厘米的正方形面積作為面積測量的標準單位。用這個統一的標準單位測量長方形和平行四邊形面積，就會發現圖1中對應邊長度相等的長方形和平行四邊形面積是不相等的。至此就完成了平行四邊形面積公式認識的第一步，否認了“相鄰兩邊長度乘積等于面積”。

接下來需要認識等底等高平行四邊形與長方形二者“形異量等”的等價關系，這樣的關系具有“邊長不等—面積相等”的反直覺特征，表現為“邊越長—面越大”或“邊越短—面越小”的直覺誤解。因此對二者關系的認識，首先不是對相等的承認，而是對不等的否認。

三、對“邊越長—面越大”的否認

小學數學教科書中對等底等高平行四邊形與長方形二者“形異量等”等價關系認識的主要活動為“分、移、補”，先將平行四邊形分割出一個三角形，而后平移到另一側，補齊成為長方形（如圖7）。

這樣的設計指向的是特殊的平行四邊形面積與相應長方形面積的“相等”和“為什么相等”，并沒有指向“邊越長—面越大”的直覺誤解。同時，教科書中圖示的平行四邊形的高位于平行四邊形內部（以下簡稱：形內高），對于高位于形外（以下簡稱：形外高）的情況也未涉及（如圖8）。

格式塔（Gestalt）心理學創始人之一，著名科學家愛因斯坦的生前好友，德國心理學家韋特海默（Max Wertheimer，1880—1943）在《有效思考》一書中，描述了其在德國小學數學課堂教學中的觀察與發現：當學生已經經歷了圖7中“分、移、補”的過程，得到了“平行四邊形的面積=底×高”的結論之后，對于圖8中長方形和平行四邊形面積的等價關系仍然拒絕接受，認為圖8中平行四邊形面積大于長方形面積，理由是平行四邊形看上去比長方形“更長”，而且無法將左側平行四邊形轉化為右側的長方形［4］。許多研究都表明，像這樣“邊越長—面越大”的直覺誤解是極其普遍的［5］。因此，對平行四邊形與長方形二者“形異量等”關系的認識，僅有“分、移、補”的“動態轉化”過程是不夠的，還需要“靜態對比”中的想象與推理。

面對同樣的認識對象，動態轉化與靜態對比的認知過程是不同的：前者是同一對象時間意義上的先后變化，著重于“變與不變”的關系；后者是兩個對象構成元素之間的對應，關注的是“相異與相同”的關系。舉例來說，圖9中兩個正方形（實線與虛線），用靜態對比的眼光看，是兩個不同的對象，表現為空間位置和擺放方式的不同。

用動態轉化的眼光看，它是同一個正方形旋轉運動過程中的不同狀態（左側虛線正方形繞一個頂點旋轉成為右側實線正方形），運動過程中圖形的形狀、大小保持不變（如圖10）。這樣的運動實質是在思維中發生的，是一種“想象性運動（Fictive Motion）”［6］。

對于圖8中的平行四邊形和長方形，如果用靜態對比的眼光看，是兩個形狀、位置均不相同的圖形。這時如果運用“盈虧互補”的方法，在平行四邊形左側“虧”的部分補上一個直角三角形，長方形右側補上同樣的三角形，可以發現兩個組合圖形（直角梯形）形狀、大小完全相同（如圖11）。

應用“等量加（減）等量仍然是等量”的基本事實，立刻可以知道原來的平行四邊形和長方形面積具有“形異量等”的等價關系。類似的方法還可以是“無中生有”地想象兩個圖形之間不存在的梯形是存在的，分別補到平行四邊形和長方形上，同樣發現兩個組合圖形（陰影部分）形狀、大小完全相同（如圖12），因此推理出補之前的長方形與平行四邊形面積相等。

靜態對比的認識過程，彌補了動態轉化的不足，可以實現對“邊越長—面越大”這一誤解的否認，認識到邊的長度不能成為面積大小的制約因素。在此基礎上，使用類似的方法可以進一步意識到決定平行四邊形（包括長方形）面積的因素為“寬度”與“高度”，得到“寬度與高度分別相等的平行四邊形面積相等”的結論（如圖13）。

由此可以認識到“平行四邊形的面積=底×高”中的“底”實質是此類圖形的寬度，“高”其實是此類圖形的高度。給定平行四邊形的寬度和高度，雖然平行四邊形的形狀不能確定，但面積能夠確定，這樣的認識就成為相信并確認“平行四邊形的面積=底×高”的思想基礎。

四、“從否認到確認”的教學設計

“從否認到確認”作為一種“如何知道”的認知方式，可以廣泛地應用于不同課程內容的教學設計。教學設計實質是依據認知對象對認知過程和認知活動進行的設計。如果把“是什么”視為認知對象，那么認知過程首先是對多種可能性進行比較與選擇的認知活動。比較與選擇的活動首先不是承認“是什么”，而是對可能性中“不是什么”的否認，在此基礎上形成對認知對象“是什么”的承認與確認。這樣的認知過程與認知活動可以概括為“枚舉—否認—承認—確認”的基本框架。

l枚舉：依據學生已有經驗枚舉“可能是什么”。

l否認：通過對諸多可能性的比較和篩選，得到“不可能是什么”。

l承認：在篩選的基礎上承認“應當是什么”。

l確認：在承認的基礎上進一步證實并確信“一定是什么”。

這一認知過程所遵循的思維邏輯是“為知是什么，先知不是什么”，強調否認是承認與確認的前提，對“是”的承認與確認需要經歷對“不是”的否認。事實上，這樣的思維方式在人的日常經驗中普遍存在。比如購物時，對某商品產生購買愿望，通常不是立刻付款取貨，而是貨比三家，“再看看”其他商家的類似商品。“再看看”其實就是枚舉可能性的過程，通過對多種可能性的比較，在否認若干可能性后，才會確認應當購買的商品。將這種應用廣泛且行之有效的思維邏輯應用于學生的認知過程與活動，無疑對學生認知能力的提升是十分有益的。圖14用流程圖的形式呈現這樣“從否認到確認”的教學設計框架。

“從否認到確認”的教學設計，立足于開放性的認知活動。否認是以多樣的可能性為前提，這一過程具有主觀的差異性。比如，對于“分數意義”的理解重點是認識分數與單位的關系，不同的單位會得到不同數的表達。舉例來看：

一個半蘋果平均分給3人，每人得到多少？

面對這樣貌似簡單的問題，自然而然的答案是每人分得“半個蘋果”或“1/2個蘋果”。事實上，這一問題的答案并不確定，存在多種可能性，無論是“半個蘋果”還是“1/2個蘋果”，是將“一個蘋果”看作單位。如果改變看“一”的眼光，這個答案也會隨之改變。比如把“兩個蘋果”看作單位，每人分得的半個蘋果就是“兩個蘋果的1/4”。表1枚舉了常見的四種可能性。

這些可能性顯示出答案的開放性，這樣的開放性表現為“同量不同數”，每人分得蘋果的“量”是確定的，但表達這個量的“數”是多樣的。多樣的表達并無對錯之分，這就說明否認不是否定，而是依據人的習慣、偏好和需求對諸多可能性進行比較與選擇。正如前文中對邊長1厘米小菱形面積作為面積單位的否認，并不是否定其成為面積單位的可能性，而是因為其形狀、大小的不確定性和不一致性，否認其作為面積測量中的標準單位。事實上，任何平面圖形都可以成為比較圖形大小的非標準單位。

將一個半蘋果平均分給3人，每人分得“1/2”，即便不寫出單位，也會明晰是一個蘋果的1/2，原因在于作為離散量的蘋果，把“一個”視為單位是最自然的。但自然并不等于唯一正確，對于其他答案的否認，原因是不注明單位就容易出現意義模糊或誤解。因此表1中的答案都是正確的，從語言表達與交流追求簡潔、清晰的習慣，人們更偏愛的是1/2。因此“從否認到確認”的教學設計與教學，應當避免“是非分明—非對即錯”的二元思維，許多情況下的否認，不是“不對”，而是“不當”或“不習慣”。

總之，數學課程與教學應當融入“從否認到確認”的認知活動，讓數學學習成為在多種可能性中進行比較和篩選的過程，使學生“用數學的眼光看，

用數學的思維想，用數學的語言說”的活動真實地發生，讓認知成為真正的“過程”，而不僅僅是走個“過場”。

參考文獻：

［1］FISHBEIN E.Intuitions and schemata in mathematical reasoning［J］.Educational Studies in Mathematics，1999，38（3）：11–50.

［2］郜舒竹，李娟.“長×寬”為什么等于“長方形的面積”［J］.教學月刊·小學版（數學），2022（6）：4-9，14.

［3］郜舒竹.看“一”的眼光［J］.教學月刊·小學版（數學），2020（11）：4-8.

［4］WERTHEIMER M. Productive thinking［M］. Basel：Springer Nature Switzerland AG，2020：51.

［5］鄭倩，郜舒竹.數學學習中的直覺與誤解［J］.教學月刊·小學版（數學），2018（11）：4-5.

［6］郜舒竹，馮林.例說“數學的眼光”［J］.教學月刊·小學版（數學），2022（1/2）：4-9.

（1.首都師范大學初等教育學院? ?100048

2.首都師范大學教育學院? ?100037）