讓推理意識無痕發(fā)展

楊慧

【摘? ?要】發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，是當前數(shù)學教學的重要目標。教學“三角形按角分類”時，教師引導學生充分經歷概念產生、完善以及概念體系形成的過程，使學生在深刻理解數(shù)學知識的同時，獲得推理意識的錘煉，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升。

【關鍵詞】三角形分類；數(shù)學概念；推理意識

《三角形的分類》是人教版教材四年級下冊的教學內容，旨在讓學生通過操作、觀察、比較、歸類等活動，經歷給三角形分類的過程，辨認和識別銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，知道這些三角形的特點。其中，既包含圖形認識和概念建構的雙基目標，又蘊含發(fā)展空間觀念的能力目標。分類是一種科學的思維方法，根據分類標準的不同，通?？梢苑譃榛谛问降姆诸惻c基于性質的分類。三角形按角分類，是基于顯性的外在形式的分類。本課的教學在學生初步掌握三角形內角和是180度的基礎上，關注如何在分類過程中，引導學生理解三角形的內在本質。

【教學目標】

（1）通過動手操作，經歷給三角形分類的過程，辨認和識別銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，知道這些三角形的特點。

（2）通過觀察、畫圖、計算等活動，培養(yǎng)空間觀念和歸納推理能力。

（3）通過比較、歸類等活動，滲透分類思想和集合思想。

【課堂實踐】

一、分類交流，建構概念

理解三角形按角分類的分類結果不難，學生預學后就能大致明白。教學時，教師在學生暴露自身“原始概念”的基礎上，呈現(xiàn)教材上的“標準概念”，以此引發(fā)學生的認知沖突，讓學生通過思考和分析，理解如此分類的原因，并建構相關的概念，在感受數(shù)學語言嚴謹性的同時，錘煉推理意識。

師：同學們，今天我們一起來研究三角形的分類，研究的內容是按角分。昨天我們進行了預學，有關知識想必大家已經知道了不少?，F(xiàn)在黑板上有六個三角形（如圖1），哪位小老師能上臺來分一分、講一講？

生：圖①和圖⑥是直角三角形，因為它們都有一個直角兩個銳角；圖③和圖⑤是鈍角三角形，因為它們都有一個鈍角兩個銳角；圖②和圖④是銳角三角形，因為它們的三個角都是銳角。

（其他學生都表示同意）

師：這名同學在表達的時候，既能說出結果，又能說出理由，非常棒。我現(xiàn)在把他說的寫在黑板上。（結合學生的分類，板書簡要記錄）

師：我們來看看課本上是怎么描述這三類三角形的。（課件出示圖2）仔細觀察并比較，課本上說的和剛剛這個同學說的有什么不同？

生：課本中銳角三角形的描述和同學說的一樣，但鈍角三角形和直角三角形，課本上只說了其中的一個角，沒有說兩個銳角。

師：你們一定產生疑惑了吧。課本在直角三角形和鈍角三角形的概念中，為什么不說明它們都“有兩個銳角”？（學生安靜思考）

生：三角形的內角和是180°，直角是90°，那么直角三角形中另外兩個角的和也是90°，所以直角三角形中另外那兩個角肯定都是銳角。同樣，鈍角是大于90°的，三角形中如果有一個鈍角，那么另外兩個角的和就會小于90°，它們只能是銳角。既然都一定是銳角，也就不需要再特地說明了。

（學生清晰的表達，得到了同學們熱烈的掌聲）

師：這名同學通過推理，分析了原因。同學們，數(shù)學表達就是要既嚴謹又簡潔。

二、質疑問難，說理求證

在學生知道了銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的概念后，教師適時拋出“有沒有第四類三角形存在”這個問題，引導學生通過不同的方法來證明“三角形只有三類”這個結論的正確性。這個說理的過程，是學生數(shù)學思維不斷調整、完善的過程，也是其推理意識不斷增強、發(fā)展的過程。

師：我們把三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三類，那么有沒有第四類三角形呢？

生：沒有了。

師：能用充分的理由來說明自己的觀點嗎？可以想一想，畫一畫，說一說。（組織同桌討論）

生：老師，我到黑板上來畫一畫。如果三條線段組成兩個直角，是不可能圍成一個三角形的；組成一個直角、一個鈍角也不行；組成兩個鈍角就更不可能圍成三角形了。因此只有這三種情況（如圖3）。

師：畫圖是個好方法，它讓大家非常直觀地理解你的觀點。

生：我們也可以通過計算來證明，三角形內角和是180°。如果三個角中有兩個角是直角，那第三個角就是0°了；如果有一個直角和一個鈍角，那第三個角就是負數(shù)了……

師：你是通過計算進行推理的，也非常不錯！所以，三角形按角分的確只有三種情況，我們可以用這樣的集合圖來表示。（課件出示圖4）

三、利用“負遷移”，引發(fā)新思考

教師利用學生思維的“負遷移”——有一個銳角的三角形叫銳角三角形，引導學生對三角形的角（尤其是銳角）展開更深入的思考。學生通過對三類三角形中各個角的對比分析和歸納，得出“三角形中至少有兩個銳角”，進而形成確定三角形的類型“要看兩個銳角外第三個角”的經驗。在這個過程中，學生發(fā)展了理性的思維方式。

師：現(xiàn)在我們知道了有一個直角的三角形叫什么？

生（齊答）：直角三角形。

師：有一個鈍角的三角形叫什么？

生（齊答）：鈍角三角形。

師：有一個銳角的三角形叫什么？

生（齊答）：銳角三角形。

（教師有意停頓，很多學生突然發(fā)現(xiàn)答案不對，紛紛舉起了手）

師：怎么了，出什么問題了嗎？

生：因為任意三角形中都有銳角，所以有一個銳角不能確定是什么三角形，有三個銳角才能確定是銳角三角形。

師：這樣??！請大家觀察板書，并比較，你們有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

（教師組織學生觀察、討論和交流）

生：每種三角形都至少有兩個銳角，判斷三角形時，光看兩個銳角還不夠，還要看第三個角，兩個銳角外的第三個是什么角就是什么三角形。

（教師根據學生的回答，通過板書引導學生更清晰地理解分類標準）

師：現(xiàn)在，誰能完整地說說我們的發(fā)現(xiàn)。

生：每種三角形至少有兩個銳角，所以要再看第三個角。第三個角是銳角的就是銳角三角形，第三個角是直角的就是直角三角形，第三個角是鈍角的就是鈍角三角形。

四、利用幾何畫板，掌握新判斷方法

從“需要知道三個角的度數(shù)”到“只需要知道一個角的度數(shù)”，再到“關鍵要看最大角的度數(shù)”，這是學生深刻理解三角形本質、提升思維能力的過程。教師以幾何畫板為載體，引導學生觀察、想象、分析，直觀地感知三個角的內在關聯(lián)，使學生的推理意識和空間觀念得到同步發(fā)展。

師：要判斷這是一個什么三角形，需要知道幾個角的度數(shù)？（課件出示圖5）

生（齊呼）：三個。

（有學生大喊“看一個也行”）

師：有人說看一個角也行，這有什么道理嗎？

生：在這個三角形中，∠S最大，有點像直角，也有點像銳角，所以只要確定∠S就可以了。

師：好，現(xiàn)在我們來測量一下∠S的度數(shù)。（課件顯示∠S=87°）它是什么三角形？

生（齊答）：銳角三角形。

師：為什么？

生：因為這個角最大，而且是銳角，那另外兩個角一定也是銳角，所以它是銳角三角形。

師：想象一下，如果現(xiàn)在向右拖動S點，這個角會發(fā)生什么變化？

生：∠S會變小。

師：我們來試一下，看看是不是這樣。

（課件動態(tài)演示過程，結果如圖6）

師：現(xiàn)在是什么三角形？

生：鈍角三角形。

師：∠S明明只有19°了，這個三角形怎么會是鈍角三角形呢？

生：因為∠R變成鈍角了。

（課件分別顯示∠Q、∠R的度數(shù)，其中∠R為101°）

師：現(xiàn)在關于如何判斷一個三角形的類別，你們有什么新的想法？

生：關鍵要看三角形中最大的那個角。如果最大的角是直角，它就是直角三角形；如果最大的角是鈍角，它就是鈍角三角形；如果最大的角是銳角，它就是銳角三角形。

【教學反思】

本設計的主要特點如下。

（1）當學生按角對三角形進行分類時，教師設計了“有沒有第四類三角形存在”這個問題，讓學生用畫圖、計算等不同的方法來說明思考過程，引導學生理解概念本質，感悟分類思想。

（2）學生在分類過程中，往往關注每類三角形的獨特之處，而忽視它們的共性部分。針對這一現(xiàn)象，教師設計了找一找“直角三角形的另外兩個角”“鈍角三角形的另外兩個角”等練習，讓學生既對直觀的現(xiàn)象進行觀察與歸納，又根據三角形的內角和來分析和解釋。

（3）發(fā)展學生的空間觀念，離不開動態(tài)想象。教師在學生對三角形進行靜態(tài)探究時，運用幾何畫板，展示三角形的動態(tài)變化過程，讓“推理”和“驗證”結合，清晰呈現(xiàn)學生思維的發(fā)展變化。

教學時，教師引導學生經歷數(shù)學問題的分析和解決過程，培養(yǎng)學生的推理意識。本課圍繞四個主題設計教學。前兩個主題是：“直角三角形和鈍角三角形的另外兩個角一定是銳角嗎？”與“除了這三類，還存在第四類三角形嗎？”這兩個主題的解決，其實都用到了推理。教師通過提問，引導學生進行觀察、分析、討論，學生會主動地利用“三角形內角和等于180°”進行思考和說理。學生的說理過程實際上就是推理過程，在這個過程中，學生既解決了問題，又感受了數(shù)學的嚴謹性。第三個主題是：“一個三角形中至少有幾個銳角？”看似簡單的一個問題恰恰是本節(jié)課的難點。通過觀察、比較，學生感悟到三角形的分類由第三個角來確定，他們理解問題的方式也從直觀感知發(fā)展為抽象推理。第四個主題是：“判斷三角形的類型需要知道哪些角的度數(shù)？”從需要知道三個角到只需知道一個角，從看特殊角到看最大角，在教師的不斷追問下，學生的思考不斷深入，最終實現(xiàn)概念理解。在以上解決問題的過程中，通過多種方法的碰撞、多樣思維的分享，學生的推理意識在無形中得到發(fā)展。

在小學數(shù)學教學中，教師要特別注意挖掘數(shù)學知識點之間的邏輯關系，在此基礎上，精心設計教學的過程和形式，有意識地培養(yǎng)學生的推理意識，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的有效提升。

參考文獻：

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［3］劉偉.淺談通過問題設計培養(yǎng)學生的邏輯推理意識［J］.試題與研究，2022（22）.

（浙江省舟山市普陀區(qū)教研室? ?316100）