基于學習路徑分析的“小數的意義”單元整體教學

尚飛　章勤瓊

【摘? ?要】小數延續了整數的計數規則，是十進制的反向延伸。從知識習得過程來看，整數、分數、小數本質上是一個整體；從數的組成角度而言，它們都是基于“計數單位”建構的。因此，要從整體視角來關聯整數、小數、分數，這是小數的數位意義。另外，整數表示整體，之前學生學習過分數整體部分意義，小數是十進分數的另一種表現形式。引導學生加強對部分整體意義的理解，凸顯小數的單位量，并遷移到非十進率情境表征小數的意義，可以幫助他們更好地理解小數的意義。

【關鍵詞】小數的意義；十進制；一致性；學習路徑

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）指出，數學課程內容的一大特點就是整體性。教材編寫與教學設計應當突出核心內容，呈現不同數學知識之間的實質性關聯。從知識習得過程來看，整數、分數、小數本質上是一個整體；從數的組成角度而言，它們都是基于“計數單位”建構的。數的發展過程就是計數單位的發展過程。整數和小數的計數單位是十、個、十分之一等，分數的計數單位就是分數單位。建構整數、分數與小數的關鍵是計數單位。［1］ 但從當前的教材和教學來看，關于數的認識，整數、分數、小數都各有其不同的習得方法，這些知識和方法之間內在的整體性、一致性不足。

“小數的意義”在《2022年版課標》中被安排在第二、三學段進行教學。第二學段結合具體情境初步認識小數；第三學段結合具體情境探索并理解小數的意義，感悟計數單位。“小數的初步認識”安排在“小數的意義”之前，那學生要認識到什么程度？理解到什么程度？兩者之間有什么界限？在“小數的意義”教學前認識了整數、分數，認識數的關鍵是理解數的建構方法，那么如何體現所有數都是基于計數單位來建構的？另外，對“小數的初步認識”和“分數的初步認識”的學習，會給“小數的意義”的學習帶來“助力”還是“阻礙”？綜觀各版本教材理解小數的意義，基本上有兩條路徑：一是把“1”平均分成10份，每份是1/10，也可以說是0.1；把“1”平均分成100份，每份是1/100，也可以說是0.01；把“1”平均分成1000份，每份是1/1000，也可以說是0.001。如果只形成這樣的認識經驗，學生在十進分數的改寫中會遇到困難。二是以分數的意義來認識小數，然而，分數本身有多種不同意義，在小數的再認識之前，學生對分數的認識是“部分與整體”關系的意義。此時學生理解的分數，是一種關系，并不是作為一個“數”。因此，學生并沒有認識基礎，從“數”的意義把分數與小數關聯，很難真正以計數單位來認識小數的意義。從單元整體教學的角度來看小數的意義這一內容的教學，怎樣能讓學生更好地理解小數的意義？下面基于學習路徑的分析，對這一單元如何進行整體教學展開思考。

一、理解單元學習目標

（一）單元內容概述

人教版教材將“小數的意義”作為獨立單元進行設置。北師大版教材沒有獨立的“小數的意義”單元，將其設置在四年級下冊第一單元“小數的意義和加減法”中。這兩個版本的教材分別將教學目標定位如下。

人教版：使學生理解小數的意義，認識小數的計數單位，會讀、寫小數，會比較小數的大小；使學生掌握小數的性質和小數點移動引起小數大小變化的規律；使學生會進行小數和十進復名數的相互改寫；使學生能夠根據要求會用“四舍五入法”保留一定的小數位數，求出小數的近似數，并能把較大的數改寫成用“萬”或“億”作單位的數。

北師大版：進一步認識小數的意義，會進行十進分數與小數的互化；會用小數表示常見的量，能把較小的單位轉化為較大的單位；理解和掌握小數的數位順序表，認識小數各個數位的計數單位及進率關系；理解并掌握小數的性質；能比較小數的大小。

通過對比得出，本單元的學習內容主要有三個：理解小數的意義，認識小數的計數單位；掌握小數的性質并會比較小數的大小；知道小數點位置的移動引起小數大小變化的規律并會進行名數的改寫。

（二）單元核心目標

“小數的意義”的教學重點是位值記數和“十分”“十進”［2］，這是學生理解小數的核心內容。小數是通過十進分數來定義的，可以看成十進分數的另一種形式。另外，十進制的位值原則是小數產生的根本性質，這也是整數與小數能得以溝通的原因。［3］教學中需要做好十進制從自然數向小數的過渡，即建立小數與“十分”“十進”的聯系。對“十分”“十進”的理解也就是對小數的意義的理解，有助于學生掌握小數的性質、大小比較以及小數點移動引起小數大小的變化等內容。

小數是基于十進位值制建構的，認識小數的關鍵是認識基于十進制的小數計數單位。如果把整數、小數的計數單位有序排列在一起，如“102，101，100，10-1，10-2”，我們會發現：小數的計數單位是整數計數單位的自然延伸。認識計數單位，又可以關聯“小數的意義”整個教學內容，比如：了解小數的性質，0.3=0.30，因為恒等計數單位變了，計數單位的個數也變了；小數比大小，就是比較計數單位的個數，可以和整數比大小建立聯系；小數點位置移動引起小數大小變化，從0.25到2.5，計數單位變了，但計數單位的個數沒有變；等等。所以把理解小數的意義和認識小數的計數單位定為本單元的核心目標。

（三）核心目標具體化

1.小數的意義

小數的意義在學生理解小數知識中具有核心作用。對小數的意義的理解程度直接影響學生小數知識的掌握程度。從小數的意義層面講，小數意義可以分為數位意義和整體部分意義兩個維度。具體內涵如下。

數位意義就是理解小數的構數系統，在學習“小數的初步認識”時，學生已經知道只有將“1”平均分成10份才能產生小數，其中的幾份就是零點幾。在這個基礎上，學生需要知道“1”可以繼續細分產生更小的數，每一個小數的計數單位都可以繼續“十分”得到更小的計數單位。

整體部分意義就是理解小數是十進分數的另一種形式，即理解小數的具體內涵，通過小數反映部分與整體的關系，包括小數與整體部分意義的聯結，小數在不同情境下內涵的反映。

2.認識小數的計數單位

認識小數計數單位的內涵，包括：（1）知道“1”繼續細分可以產生新的計數單位，能使小數大小比較和整數大小比較建立聯系，它們比的都是相同計數單位的個數。（2）知道“小數點移動引起小數大小變化”的根本原因是計數單位變了，這個變化的規律，是由于有十進制，還有計數單位的意義。（3）知道單位換算的本質就是等量代換，即大小不變——“計數單位變了，計數單位的個數也發了變化”。

二、確定學習起點

小學階段學生接觸的數有整數、分數、小數，其中小數的學習是整個數系統的重要組成部分。理解小數的意義需要從整個數系統去思考，要像理解整數一樣，去理解小數的計數單位以及構數系統。劉加霞教授將學生對基本知識的理解水平進行了如下劃分：（1）事實性水平——只知道所學內容是什么；（2）概念性水平——能解釋為什么；（3）方法性水平——能溝通知識之間的本質聯系與區別，形成概括性認識；（4）主體性水平——能靈活運用，創造性地解決問題。

依據四個水平，對認識小數的水平進行了描述，并對學生進行了前測。有超過80%的學生處于事實性水平與概念性水平，能達到方法性水平與主體性水平的很少。學生具體的表現水平如表1。

基于上述測評和統計分析，可以確定學生的學習起點和理解難點（如表2）。

因此，知道小數的本質是“十分”，是學生理解小數意義的認知起點；用多種表征描述小數和把小數應用到像時間這樣的非十進率的情境中，是學生的認知難點。

三、分析學習路徑

基于對小數的兩種意義，以及學生學習起點和理解難點的分析，對于“小數的意義”的學習，可以確定如下學習路徑。

首先，認識小數的數位意義并進行表征。第一，結合面積模型、立體模型等不同模型理解小數“十分”本質。第二，在構造數的規則上，小數和整數都是由各個數位的位值相加構成，這與整數的構數保持一致。第三，根據列出的數軸、面積、群組、貨幣以及抽象的數位位值情境下的小數示例，能互相聯結在每一種情境中說出各個數位的計數單位，會用不同表征方式表示同一個小數。表征小數是理解小數的重要活動，通過多樣化的表征，促使學生以不同思維方式進行轉化思考，最終抽象出它們的共同屬性，回歸到數位位值意義。在這個不斷轉化抽象的過程中，概念就形成了。

其次，能理解小數的整體部分意義。對整體部分意義的理解關鍵在于凸顯小數的單位量。在三年級學習“分數的初步認識”時，學生知道分母就是把單位量平均分成幾份，分子表示的是其中的份數，所以學生在學習分數的時候特別強調單位“1”的量。然而在學習小數內容時，弱化了單位量的教學，導致學生對整體部分意義的理解有困難。所以，教師要加強小數與分數的關聯，重視小數中單位量的概念，可以提供多元化的情境凸顯小數的單位量，讓學生理解小數中的單位量其實就是分數中的整體“1”。

因此，可以分為以下三個方面逐步進行理解：第一，在純小數中凸顯單位量，純小數中沒有整數部分的干擾，通過分數與小數的聯系，讓學生明晰0.3的單位量是1；第二，在連續型和離散型情境中充分體驗十等分概念，比如情境可以是線段、月餅等連續型的，也可以是一盒餅干（包含10片、100片）等離散型情境，這樣學生不僅知道0.1=1/10，還會關注把單位量分成了10份、100份，其中的1份有可能是單個的，也有可能是多個的，加深對整體部分意義的理解；第三，在多元化情境中感知小數點兩邊數的大小及大小單位之間的關系，除了長度情境，盡可能提供離散型情境，小數點左邊表示的是幾個一，小數點右邊表示的是不超過“1”的部分，這個不超過“1”的部分還要看單位量來確定每份的數量，有助于理解十等分及整體部分的意義。

四、單元整體教學思考

綜上所述，結合單元學習目標和學生的學習起點，我們對教材內容進行了優化調整，把小數的意義分成兩個模塊來進行教學：一是數位意義。從小數意義的本質“十分”引入，理解數位意義，幫助學生認識從整數到小數，由離散性特點轉化為連續性特點，也就形成了小數的稠密性特征。二是整體部分意義。設計多元化情境強化小數與分數的關系。突出整體部分意義的教學，意在讓學生形成“小數就是分數的一種特殊表示形式，兩者之間是等價的”的認識。每個模塊設置2～3課時，共6課時，與整合前教材課時相同。重點是讓學生從多元化角度理解小數，建立小數是分數的另一種特殊表示形式的概念。本單元具體教學內容的安排如表3所示。

參考文獻：

［1］鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

［2］張園，張奠宙，鞏子坤，等.小數意義教學的重點在于位值記數與“十分”“十進”：對“小數的意義”教材處理的討論［J］.小學數學教師，2017（6）：10-13.

［3］章勤瓊.3/10米有助于學生理解0.3米嗎：如何幫助學生更好地認識小數［J］.教學月刊·小學版（數學），2019（9）：51-54.

（1.內蒙古包頭市九原區世紀路第一小學? ?014060

2.福建師范大學教育學院? ?350117）