基于最小距離法的高過載條件下發動機燃面推移與內彈道性能研究

吝 琳，尚永騰，李沖沖，白 濤，郭夢飛

(1.航空工業第一飛機設計研究院，西安 710089；2.中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009；3.西安航空學院 飛行器學院，西安 710077；4.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048)

0 引 言

固體發動機在深空探測、重載運輸和導彈武器等方面得到了廣泛的應用[1-4]，其內彈道性能參數直接影響發動機以及飛行器的性能，且裝藥推移過程中燃面的精確計算是固體發動機燃燒室內彈道性能計算的基礎，是發動機設計中的關鍵參數。燃面計算的目的是獲得發動機燃燒室內固體推進劑燃燒的面積。發動機工作過程中，推進劑會發生燃燒推移，導致燃燒面積變化，需要精確計算出發動機的燃面面積隨工作時間的變化關系。

隨著復雜藥型以及高填充裝藥發動機的使用[5-6]，燃面面積、燃面推移經歷了二維至三維的變化，計算方法也由之前的“解析法” “作圖法”等方法發展到目前的“Level-Set” “最小距離函數法(MDF)”。解析法是指使用數學模型對藥柱進行建模，具有高的精度；作圖法即依據藥柱的幾何形狀進行裝藥推移模擬。解析法和作圖法不適用于三維復雜的藥柱。為了解決三維復雜藥柱的燃面計算問題，Osher等[7]提出使用Level-Set界面追蹤方法解決活動邊界問題，具有較好的精度。秦飛等[8]使用Level-Set方法計算了發動機燃燒室的燃面面積。然而，Level-Set方法在遇到曲率過小或過大時求解存在問題[9]。Willcox等[10-11]提出最小距離函數(MDF)燃面計算方法，并使用該方法開展了發動機裝藥燃面推移和燃面面積計算。郭夢飛等[12]使用MDF方法計算星孔裝藥的燃面面積，發現MDF方法穩定性好，精度高。馬長禮等[13]優化了MDF方法的計算過程，提高了計算效率，并使用不同藥型驗證了MDF方法的通用性。彭博等[14]使用復雜藥柱，驗證了MDF方法的通用性和高精度，認為其適用于復雜裝藥的燃面計算。王革等[9]將MDF方法的計算思路引入Level-Set方法中，提高了Level-Set方法的精度。Hwang等[15]對比了Level-Set方法和MDF方法的區別，結果表明，MDF方法的精度高于Level-Set方法。

固體發動機面臨多種工作環境[16-17]，包括高的橫向過載。例如在第四代空空導彈中，其主動段的橫向過載達到了60～100。高橫向過載下發動機燃燒室內推進劑出現不等速燃燒現象，燃面相應地發生變化，影響發動機的壓強和推力；同時，推進劑的不等速燃燒可能導致部分裝藥提前燃燒完畢，暴露出發動機的熱防護層[18-19]，過載導致的粒子射流會惡化熱防護層的工作環境，嚴重時甚至引起發動機燒穿爆炸[20-22]，目前關于過載情況下發動機內燃面面積計算的研究較少，限制了過載工況下發動機內彈道性能的精確計算和發動機的優化設計。

為了解決高橫向過載時發動機燃面精確計算的難題，本文使用MDF方法，針對高橫向過載的發動機工況，計算獲得推進劑裝藥燃燒時的燃面面積、燃面推移以及發動機內彈道性能，為高過載發動機的設計優化提供理論基礎。

1 計算模型

1.1 MDF方法

MDF是一種可以快速計算固體發動機復雜三維裝藥燃面推移的方法。該方法需要一個包含藥柱的三維最小距離網格和初始燃燒面，以此計算出每個網格點至初始面的距離，同時判斷出該點的距離符號，按照正號代表在藥柱上、負號代表在燃燒室空腔的原則，燃面自然就處于正負最小距離的網格點之間，即最小距離為零的點。依據裝藥的燃燒速度進行推移，得到不同時刻每個網格點的推移量，依據推移量重新計算最小距離函數，并抽取出發動機下一個時刻的燃面點，將燃面點組成燃面并進行面積計算，以此獲得實時的燃面面積。

MDF方法計算步驟分為三步：(1)裝藥初始化。將發動機裝藥使用CAD軟件進行STL離散，使用C++程序讀取發動機的網格數據和初始燃燒曲面，并進行最小距離計算。(2)燃面推移。依據每個點的燃燒速率進行發動機裝藥的推移模擬，得到不同時刻的燃面外形。(3)燃面面積計算。根據每個時刻得出的燃面推移結果，得出每個時刻的燃面網格點，進而求出燃面面積。國內外學者的研究均證實，MDF方法在處理燃面推移和一維內彈道性能時具有精度高、通用性強和穩定性好的特點[12-17]。

1.2 燃燒速率計算模型

燃燒速率的計算是推進劑推移過程的關鍵參數。首先，計算出推進劑的初始燃燒速率r0:

r0=apn

(1)

其次，引入Lenoir-Robillard模型[23-24]，計算侵蝕對燃燒速率的影響:

(2)

最后，建立過載工況下推進劑穩態燃速增大模型[25-26]，獲得過載工況下推進劑的燃燒速率，采用steffensen方法進行迭代求解:

(3)

式中：r0為基本燃速；a為燃速系數；p為燃燒室壓強；n為壓強指數；ρ為燃氣密度；u為燃氣速度；L為藥柱軸向距離；α主要取決于氣流中心溫度和燃燒產物特性；rg為過載下推進劑燃速；β為熱流系數；Ga為加速度質量通量;ρp為推進劑密度；cp為燃氣定壓比熱容；δ0為燃燒區厚度；λ為氣相熱導率。

研究表明，Lenoir-Robillard燃速模型和過載燃速增大模型均具有較高的精度[23-26]。

過載方位角φ的計算如下：

(1)由燃面三角形網格的三個頂點確定出三角形的平面方程ax+by+cz+d=0，其法向矢量為(a，b，c)；

(2)通過已知的過載條件, 得到過載的方向矢量(l，m，n)；

(3)計算出過載方位角φ：

(4)

1.3 內彈道性能計算模型

在計算過程中，如果滿足燃氣流速遠小于當地聲速，燃氣密度遠小于推進劑密度，燃氣通道面積變化遠小于燃氣通道面積，則燃氣流動參數隨時間的變化很小，這時認為燃氣在裝藥通道中的運動是準定常的流動，控制方程中對時間的偏導數各項可以忽略。此外，忽略發動機工作期間裝藥通道內燃氣向燃燒室壁的散熱損失，通道內燃氣的一維準定常流動可以認為是絕能流動，此時得到絕能條件下的一維準定常控制方程組為[27-28]

(5)

由式(1)～(5)獲得一維內彈道準定常絕能流動條件下的控制方程組，具體的推導過程見文獻[29]：

(6)

式中：ρ為燃氣密度；Ap為通氣截面積；Ab為燃燒表面積；Π為藥柱燃燒周長；r為推進劑燃燒速率；p為靜壓；T為靜溫；R為氣體常數；Tf為總溫。

計算時，將導彈在彈身長度方向平均分成11個截面，令第一個截面的流速為0，使用平衡壓強作為壓強迭代的初始值p1，迭代計算每個截面的燃燒面積和通道面積，通過截面裝藥基礎燃速的線性插值，得到各個點的基礎燃燒速度。

2 結果與分析

2.1 燃燒速率

將推進劑在無過載時(即過載值=0)的燃燒速率定義為1，使用式(3)計算獲得不同過載值時推進劑燃燒速率的比值。過載方位角和過載值對發動機裝藥燃燒速率的影響如圖1所示。可以看出，當過載方位角較小時，過載值對燒蝕速率影響較大。當方位角為0°，過載值為100g時，發動機裝藥的燃速增大系數為1.34，燃燒速率顯著增大，影響發動機燃燒室內的燃面面積，導致發動機的內彈道性能發生較大變化。當過載方位角較大時，過載值對燒蝕速率影響較小，過載繼續增大，燃速的增加不顯著，此時過載對燃速的影響可以忽略不計。

圖1 過載方位角和過載值對發動機裝藥燃燒速率的影響

2.2 過載工況下燃面面積計算

采用工程中常用的圓管+星孔裝藥，前段裝藥為圓柱狀，后段裝藥為星孔狀，見圖2。推進劑裝藥參數：推進劑密度1 730 kg/m3，推進劑比熱1 553.4 J/(kg·K)，燃面絕熱燃燒溫度3 400 K，燃速壓強指數0.35，燃速參考壓強6 MPa，推進劑參考燃速9 mm/s，燃氣平均氣體常數290.5 J/(kg·K)。

圖2 裝藥結構示意圖

根據藥柱尺寸，將其劃分為50×50×201個基礎網格點，同時在圓管與星孔的結合部進行局部加密，選取藥柱推移步長為2 mm，推移步數為n。在燃面推移計算時，考慮侵蝕燃燒和橫向過載(80g)對發動機燃燒速率的影響，使用MDF方法計算裝藥的推移過程，進而獲得不同時刻的燃面面積，圖3～6給出了星孔藥柱的燃面推移情況。

圖3 橫向過載下的裝藥燃面推移(推移步數1～12)

圖3和圖4中推移步數0～12時使用藥柱末端為主視角，隨著步數的推移，藥柱內徑逐漸增大，空腔也隨之增大。在推移步數為12時，橫向過載下裝藥已經燃燒至星孔裝藥的邊界，裝藥末端的一部分已經燃盡(見圖3)，而在無橫向過載時裝藥并沒有燃盡(見圖4)。由于過載的存在，使得藥柱與過載方向一致的部分燃燒速度增大，藥柱較早地出現了偏燒現象。

圖4 無橫向過載時的裝藥燃面推移(推移步數1～12)

接下來將視角切為藥柱整體。無橫向過載時，隨著燃燒繼續，裝藥也燃燒至星孔裝藥的邊界，星孔段大面積減少，t=19 s時，星孔段燃盡，一級發動機工作完成，如圖5所示。再次將視角切回藥柱尾部，此時圓柱段內腔持續增大，燃燒面積也增大，最后剩下薄壁圓筒迅速燃燒完畢，發動機進入二級低壓強、低推力的巡航階段。

圖5 無橫向過載時的裝藥燃面推移(推移步數13～24)

在橫向過載下，發動機出現了明顯的偏燒，裝藥下部快速地燃燒完畢，而裝藥的上部燃燒速率相對較慢，如圖6所示。由于橫向過載的影響，使得藥柱上部的燃燒時間明顯長于藥柱下部，導致星孔段藥柱和圓柱段藥柱燃盡的時間變長，且燃燒后期出現了大量余藥。此時，余藥燃面面積迅速下降，發動機工作壓強降低，藥柱的燃燒速度低，發動機的拖尾段時間增長。

圖6 橫向過載下的裝藥燃面推移(推移步數12～24)

依據裝藥燃面的推移過程可以獲得裝藥燃面隨時間的變化關系，如圖7所示。與無橫向過載相比，有橫向過載時藥柱的燃面面積出現了明顯變化。可以看出：

圖7 發動機燃面面積及壓強隨時間的變化關系

(1)一維內彈道壓強的總體變化趨勢與燃面的變化趨勢基本一致；

(2)藥柱在過載一側的燃速增加較為明顯，但并沒有引起燃面面積的大幅變化以及最大壓強的過高增加；

(3)有過載時，藥柱出現了偏燒現象，發動機具有明顯的拖尾段，導致發動機的總工作時間變長，此時，藥柱的燃燒面積小，壓強低。

由MDF計算結果可以看出，橫向過載不會引起較為明顯的燃燒面積增加和壓強的增大。其主要的影響是改變燃燒室內藥柱的燃燒速率，造成藥柱的偏燒，從而導致部分發動機殼體過早地暴露在高溫高壓的兩相燃氣中，對發動機的熱防護系統設計提出了很高的要求。

3 結 論

針對固體火箭發動機過載這一特殊工況，首次使用MDF方法計算了發動機裝藥的燃面面積以及發動機的藥柱推移過程，并將發動機一維內彈道與燃面計算耦合，獲得了過載工況下發動機裝藥燃面面積、燃燒室內壓強等參數隨時間的變化曲線。研究結果表明，橫向過載會引起發動機藥柱出現偏燒現象，改變了發動機裝藥的燃面面積和燃燒室內的壓強，并延長了發動機的工作時間。同時，偏燒會導致部分藥柱提前燃燒完畢，需要對發動機熱防護系統進行針對性的加強。