Python在微積分教學中的應用

劉加菊

（湖南電氣職業技術學院）

在信息技術被運用到教育領域后，“教與學”的形式均有所改變。線上教學不斷普及下，學生對于課程選擇與知識記憶方面有明顯的需求。常規課堂教學也不再局限在板書上，為滿足學生高效吸收知識的需要，教師應當通過各種方法優化授課效率。而Python可提供繪圖功能，將各類定理、幾何意義以動態圖像的形式呈現出來，便于學生提煉知識，加強理解。

一、Python

（一）Python語言

Python在1991年誕生，時至今日已經成為一種主流編程語言，被用到爬蟲與數據處理等方面。Python屬于面向目標的解釋性語言，便于維護、拓展、讀取，并具有較強的可移植性。其分成2.x與3.x版本，直至2020年，前者已經不再維護，所以在教學實踐中都要選擇3.x版本。Python應用優勢具體表現在標準庫，覆蓋范圍廣，而且支持跨平臺運行。該標準庫能夠進行不同功能模塊與函數運行，新內容也被保存在標準庫中，讓Python實際功能愈發強大。同時，Python是通過縮進方式將程序塊結構進行分層處理，編寫代碼規格標準，便于讀取使用[1]。

（二）Matplotlib

Matplotlib為Python中 的二維繪圖庫，工具相對齊全，包含等高線圖、散點圖、線圖與柱狀圖等許多繪圖函數，而且能生成圖形動畫等更加高端的繪制內容。另外，該繪圖庫也具備交互功能，支持動態調整繪圖參數，這便于在教學過程中使用。而且此繪圖庫中還設有坐標軸與圖例等多個子模塊，可以給教師提供多種繪圖樣式。在面對三維繪圖需要中，Python中在此繪圖庫的基礎上，搭配mpl_tookits工具包，在不用設置大量代碼的前提下，就能繪制出所需的三維圖像。同時，此繪圖庫還設有Python圖像用戶界面的接口，能夠與pyqt單元整合運用。選擇Matplotlib生成圖像，隨后利用pyqt完成前端展示，這是Python實現可視化的主要方式。

（三）和微積分有關的Python庫

首先，內置函數。Python中的內置函數，很多是為支持某個系統功能，實施邏輯判斷以及類型轉換。其在Python啟動過程中一同加載，教師能直接應用。其次，math模塊。例如三角函數、指數函數等眾多符號運算、數值計算的函數，均未被歸納到內置函數范圍內，直接保存在math庫里。調取math庫的函數中，教師能提前利用下達系統命令完成加載，隨后以“math.函數名”實現調用。另外，也能直接提出“from math import *”的指令，完成math庫的加載，之后便可編輯函數名稱實現調用。而在實際應用中，如果進行同時加載，會令運行中的第三方庫數量偏多，容易面臨函數重名的情況，不利于精確使用。最后，sympy（數學符號函數庫）。在利用Python開展符號運算教學中，應當要加載sympy函數庫，其可以讓Python轉化成代數系統。值得注意的是，微積分符號運算教學中，要提前定義會遇到的全部代數字母。此環節能借助“symbols()”輔助定義數個字母，過程中要關注字母大小寫的問題。

二、微積分教學中Python主要運用

（一）函數可視化生成

1.任意指定性質函數

（1）隨機函數。隨機屬于概率學領域的概念之一，隨機也是數學討論的主要方向，同時在密碼學中也有涉及。隨機數能分成真與偽兩類，前者一般是通過物理過程，如量子效應；后者按照特定數學算法形成，自身存在一定規律性，只不過由于循環周期過長，將其視為隨機，相關算法有很多，如RAND、線性與非線性同余法[2]。此處利用Python把隨機數形成過程以可視化的方式呈現出來，實質上是偽隨機數，但在微積分教學下，足夠讓學生了解隨機數。把隨機數與函數整合起來，確認x定義域和待生成點的數量（n），設置映射值域，借助Python中random函數便能得到n個通過隨機算法形成的yi。定義域選擇在[-5,5]，而值域是[-2,2]，按照點對（xi,yi），便能生成相應的散點圖以及折線圖。該過程完全是隨機的，所有（xi,yi）函數值均為隨機賦予，這會令生成圖像比較雜亂。在微積分教學中，利用Python可視化生成任意隨機函數相應的操作程序為：自建動圖、新函數、新增隨機函數、任意函數，隨后選擇定義域與值域，“確定”后返回操作主頁面開始“運行”，直接能得出函數圖像結果。

（2）連續函數。繪制任意連續函數（y=f(x)）圖像中，僅需在任意隨機函數的基礎上，調整y的取值方式即可。按照連續表達如下：

所以隨機形成第一個點，之后的函數點便可按照以上方法形成點對。借助Python中的對應函數，能夠按照指定區間，形成滿足均勻分布的點，繼而產生y。微積分教學中，因為計算機既有限制以及Python按點繪線的特征，應當提前設置與，而二者能直接選取較小值，這樣能提高繪制曲線的平滑度。

（3）可導函數。針對該類函數的繪制，考慮到Python僅能以離散點作為目標進行繪圖，因而實際教學中可運用的繪圖程序為：第一步，設置與，兩者能對y與x數值間隔進行調整，同時還可以設置定義域。第二步，基于定義域左端，隨機選出函數第一個點，即（x1,y1）。第三步，形成第二個點，其橫坐標是x2，令x2-x1=，符合領域標準。根據連續性要求，形成f(x2)，讓前兩個點符合連續性。第四步，形成第三個點x3坐標，令x3-x2=，根據可導要求得到f(x3)。第五步，重復上一步操作，借助前兩個點得出后面的可導點，直至達到定義域的右端點。通過把微積分內容利用Python進行可視化處理，讓學生直接看到可導函數圖像，并且在不設置限制條件的情況下，可導函數能形成“趨勢”，結果和該函數基本特征一致。

2.微積分重要定義

（1）導數定義。在微積分學科中，導數是極為關鍵的概念，學生如若要快速使用導數解出問題，應當先明確導數概念與幾何意義[3]。為可以動態化顯示出其定義，用幾何形式呈現，先要在曲線上確認點x0，以此為基礎畫出切線。在x0周邊選出x1點，畫出二者對應割線，而后調整x1取值，讓其不斷靠近x0，將該過程中的割線情況進行動態呈現。這樣能夠使學生以比較直觀的狀態，體會從割線變為切線的幾何規律，繼而形成對導數定義的認識。實踐教學演示期間，為便于課上演示操作，教師應當把導數定義直接當成案例保存在資料庫內，按照“自建動圖”“趣味案例”“導數的幾何意義”完成參數設置。隨后教師能直接選擇現有的函數形式圖像與默認第一個點x0，或是自定義函數，在相應定義域中選擇x0，“確定”后便能立即獲得相應的幾何動態演示。

（2）極限定義。在講解“極限”部分的知識中，為讓學生可以清楚地認識道“極限”概念，大多數教師傾向于用“割圓術”為例子展開講解。相關數學原理為：算出圓形正n邊形的面積，視為圓形面積近似值，在n的取值持續加大中，正n邊形實際面積也就更接近圓形面積，但不可能相等，這就能體現出“極限”概念。在運用Python進行動態化教學中，也能直接繪制“割圓術”，當作一個趣味案例保存下來。在微積分領域中，“極限”一般是研究函數與數列，考慮到數列理解難度較低，此處選擇數列作為分析對象。以下述數列為例，n是橫坐標，而數列值是縱坐標，借助基于Python構成的可視化程序，動態呈現數列數值持續接近極限的過程，呈現出“極限”表述內容。

在n持續提高中，函數值始終處于“O”周圍，而且持續接近“O”。通過散點圖呈現出x軸上點列，并且為了更清楚地反映出“逼近”的情況，把n當成動態變化要素，持續性提高其取值，這樣就能呈現出數列“延伸”的狀態。

（3）微分定義。對于一元微積分來說，“可微”相當于“可導”，即：

f(x)函數上，隨意選擇一點L（x0,y0）和其周圍一點L'（x0+△x,y0+△y），穿過二者作一條和x軸平行的虛線，基于L點作此切線，并過（x0,0）與（x0+△x,0）分別與x軸虛線及切線相交，用△y表示。因為f’(x)為切線與x軸夾角對應正切值，加之一元微積分特點，所以，函數f(x)在點L的微分，能夠用其切線縱坐標的增量代表。運用Python可視化處理工具繪制出函數圖像。微分和導數的幾何意義圖像比較接近，教師也可以直接將其保存在相應案例資料庫中，相關操作流程也可參考導數定義的方法。

3.自定義表達式函數

（1）直角坐標函數。在直角坐標函數中，比較多見的形式是y=f(x)。繪制該基礎函數圖像中，教師僅用確認函數的定義域，假設需要繪制出動態的圖像，就應額外設置變化參數[4]。比如，在講解y=sin(x)中，教師直接選擇在基于Python的可視化系統上，進入到“自建動圖”模塊，點擊“新函數”，便能輸入所需的函數參數，確認新增與輸入表達式函數，設置區域是[-5,5]，不設定可變參數。完成上述操作并“確定”后，啟動運行就能得到完整的直角坐標函數。

（2）極坐標函數。極坐標方程的基本形式是p=f(θ)，鑒于在實際教學中錄入“θ”存在一些不便之處，因而改用“r”作為自變量。比如，在繪制從0至2π區間內的阿基米德螺線，此時極坐標方程能用p=r/6代表。教師操作系統中，同樣通過“自建動圖”模塊中的“新函數”，完成相關的參數錄入操作。

（3）參數方程。微積分教學中，為便于操作應用，方程參數直接選定“t”，比如在“參數方程畫圓”講解中，參數方程是：

參數t的取值范圍為[0,2π]。按照上述操作流程，新建函數即可，通過動態圖像觀察到的結論，和參數方程基本規律、性質相同。

（二）重要定理可視化

1.連續與極限

（1）介值定理。對于閉區間的連續函數，該定理是其主要性質，其被運用在迭代法求根等類似的“逼近”算法上。為了讓學生以比較直接的形式感受介值定理，可視化處理應當是最有效的方法。教學實踐中，基于任意閉區間，繪制出連續函數f在其中的圖像，同時要確認函數端點數值。在閉區間[f(a),f(b)]內，由ξ動態取遍全部值，但因為繪圖形式約束，取值存在間隔，能根據連續定義確認間隔。各個ξ在函數上均有與之相等的點。

（2）零點定理。和上一個定理比較接近，需要先確定合適的“a”與“b”，在[a,b]區間內繪制出f函數圖像，讓f(a)與f(b）是異號狀態。下一步則是使ξ=a，并繪制出此處切線。讓后使ξ取遍此閉區間內的全部值，觀察該過程中ξ對應切線斜率等于零的情況下，ξ的對應點。

（3）數列極限性質。一方面，有界性，即假設{xn}數列是收斂的，則意味著其一定有界。微積分教學期間，教師可以利用圖像呈現出收斂數列性質。以下述震蕩數列為例：

該序列極限是3，n是橫坐標，而縱坐標是數列值，動態表現出該數列在n數值提高中的變化狀態。通過Python繪制，得到的證明結果和收斂序列性質相同。另一方面，單調有界必有極限。針對該準則，此處主要從幾何意義角度討論加以證明。在單調數列（{xn}）中，數列值僅能基于數軸進行正方向與負方向上的運動，并且只能向一側移動。假設數列值朝著負方向移動，此時單調數列取值只會出現兩種現象，分別是：數列趨于“-∞”；趨于某個固定值。如果單調數列有界，則前者不成立，也就是數列有極限。經過動態圖像講解的方法，發現單調遞減數列的數值是無限逼近某個固定值，這意味著此數列的極限就是該值。

2.導數定理

在微積分課程中，關于極限的單元，具體討論數列與函數極限具備有界性、子列收斂、唯一性、保號性，并包含“夾逼準則”與“單調有界必有極限”[5]。因為定理和性質本身存在明顯的特殊性，所以教學講解證明大多是理論推導，很少會用到圖像。但如果在課上教師能夠靈活運用Python，實現直觀化教學，更容易讓學生理解。

（1）羅爾中值定理。其在微積分課程中占據重要定位，通過對其進行動態化處理，可以直接在（a,b）中鎖定ξ點，對此應當建立符合相應要求的函數曲線。在連續可導函數（f(x)）中，選擇[a,b]區間，讓f(a)與f(b)相等。在繪制圖像中應標記出圖像端點，并通過虛線連接。使ξ由a至b移動，顯示出ξ對應切線，鎖定切線斜率為0的取值，由此可以反映出該中值定理的幾何意義。實踐教學中，為提高課堂上演示過程的便利性，把此中值定理與其他相關定理都當成教學例子集中保存，相應的調用操作流程和前文關于導數幾何意義的處理方式一致。

（2）拉格朗日。此項中值定理描述了在閉區間中，可導函數的導數改變與其端點割線斜率的聯系。在講解其幾何以一種，同樣要先繪制出原始函數圖像，設置端點。使ξ由a至b完成取值，繪制相應切線，在此期間確認其和割線相互平行的點。通過運用Python繪制動態圖的方式，將中值定理呈現出來，使學生可以直觀理解定理描述的關系。

3.積分定理

（1）不等式。微積分課程的眾多不等式中，積分不等式屬于比較重要的抑制，其是解出微分方程的重要工具，具體有閩可夫斯基與楊不等式等。例如，在講解楊不等式中，對其進行幾何意義分析。教師先要繪制函數圖像，區間為[0,a]，標出端點與對應虛線。在縱坐標軸上選擇一點b，使其動態移動。由此形成兩個多邊形，在b不等于f(a)的情況下，兩個多邊形的面積和大于ab。

（2）積分中值定理。其包含一重積分與二重積分兩種，前者還能細分成積分第一與第二中值定理。以積分第一中值定理為例，這是由于其在實質上和二重積分中值定理比較接近，所以，更具分析代表性。該定理的基本描述為：假設在[a,b]區間上，f(x)函數是連續的，則在該區間中至少有一點ε符合以下條件：

在函數定義域內，等于曲線和x軸構成一個面積，則在積分第一中值定理對應幾何意義為：定義域作為圖形的底，曲線上某個點是高，由此形成的矩形面積就是曲線積分值。而該幾何分析過程能根據介值定理得出。相應的分析推導思路為：假設在[a,b]區間上，函數最大值是M，最小值是N，在以二者為高形成的矩形面積中，會存在下述結果：

按照介值定理，便能確認在此區間中，函數上至少有一點ε符合要求。

三、結束語

微積分知識本身的理解難度較大，而且各類定理、定義較多，倘若僅依靠理論推導，可能容易導致學生理解偏差以及混淆等問題出現。而借助Python繪圖功能，可以按照設定條件直接生成函數圖像，并支持動態演化，這樣有利于學生掌握定理描述本質，靈活運用解出數學問題。